In dieser Arbeit betrachten wir die Ausbreitung von Flammenfronten in einem beidseitig unendlichen Zylinder. Man stellt sich vor, daß sich in diesem Zylinder ein brennbares Gasgemisch befindet. Bei der Verbrennung dieses Gases breitet sich eine Flammenfront im Zylinder aus, deren Form und Fortbewegungsgeschwindigkeit untersucht werden soll. Wir nehmen an, daß die Flammenfront sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Zylinderachse ausbreitet.
Der Zylinder wird durch das cartesische Produkt der reellen Zahlen und eines beschränkten glatten
Gebietes 
beschrieben:
Die Punkte aus 
bezeichnen wir mit 
, wobei 
und 
ist.
Gegeben sei die Situation, daß sich als Grenzwert zur linken Seite hin ( 
) nur frisches
Gas und zur rechten Seite hin ( 
) nur verbranntes Gas befindet. Gesucht ist eine
Funktion 
der Temperaturverteilung des Gases innerhalb des
Zylinders, sowie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Flammenfront. Die Verbrennung wird
modelliert durch die semilineare elliptische Differentialgleichung
wobei 
ein Geschwindigkeitsfeld in 
-Richtung ist, das dem Gas im Zylinder aufgeprägt
ist. Die Funktion g beschreibt das Maß der Verbrennung abhängig von der Temperatur.
Das Hauptergebnis der Arbeit ist ein Satz über die Existenz einer solchen Lösung (u,c) unter sinnvollen Voraussetzungen an die Problemdaten. Als Zusatz wird in Kapitel 6 die Eindeutigkeit der Lösung behandelt, wobei allerdings nicht alle Hilfsmittel bewiesen werden.
Die Arbeit gliedert sich im Anschluß an diese Einleitung in fünf weitere Kapitel. Das folgende Kapitel 2 ,,Existenz und Regularität`` stellt den Hauptteil dar, während die anderen Kapitel einige dort benutzte Teilaspekte behandeln. Es wurde bewußt an den Anfang gestellt, damit die Notwendigkeit der anderen Kapitel erkennbar wird, obwohl durch diese Aufteilung viele Verweise auf spätere Textstellen entstehen.
Kapitel 2 beginnt mit dem Abschnitt ,,Modellbildung und Hauptresultat``, in dem die Differentialgleichung hergeleitet und näher beschrieben sowie das Hauptresultat formuliert wird, nämlich ein Existenzsatz über die Lösung des Problems. Der Rest des Kapitels ist dem Beweis gewidmet, der im wesentlichen folgende Struktur hat: Im Abschnitt 2.2 wird ein ähnliches Problem auf beschränkten Zylindern behandelt, das nach Herleitung einer a priori-Abschätzung mittels einer verallgemeinerten Kontinuitätsmethode gelöst wird. Die Schwierigkeit dabei liegt in der Behandlung des unbekannten Parameters c, die mit Hilfe von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen und einer zusätzlichen Homotopie bei der Kontinuitätsmethode überwunden wird. Im Abschnitt 2.3 lassen wir dann die Größe der beschränkten Zylinder gegen unendlich konvergieren und kontrollieren das Grenzwertverhalten der Lösungen. Hierzu sind wieder a priori-Abschätzungen, Energieungleichungen und andere Betrachtungen notwendig.
Das Kapitel folgt in der Grundstruktur der Argumentation von [BLL] und [BL], wobei verschiedene Teilaspekte neu ausgearbeitet wurden. Dies betrifft zum einen die elliptischen Abschätzungen, auf die keiner der Artikel näher eingeht, und zum anderen zahlreiche Details.
Ein zentraler Punkt in der Argumentation ist die Tatsache, daß Lösungen auf dem beschränkten
Zylinder immer streng monoton wachsend in -Richtung sind. Dem Beweis dieser Aussage ist Kapitel
3 gewidmet. Sie wird gezeigt, indem man die Differenz zweier Lösungen betrachtet, wovon
eine um einen variablen Parameter 
in -Richtung verschoben ist. Man erhält so eine
parabolische Differentialgleichung, in der der sonst als Zeitparameter bezeichneten
Variablen entspricht. Die Verwendung parabolischer Maximumprinzipien erlaubt eine Aussage über das
Vorzeichen der Differenz, woraus dann leicht Monotonie- und Eindeutigkeitsaussagen für
Differentialgleichungslösungen gefolgert werden können. Die Herleitung der parabolischen
Maximumprinzipien nimmt einigen Raum in Anspruch. Zum einen werden bekannte Standardaussagen
gezeigt, wie man sie z.B. in [PW] finden kann, wobei einer der Beweise
wesentlich vereinfacht und eleganter gestaltet werden konnte. Zum anderen werden spezielle Varianten
hergeleitet, die im wesentlichen auf [BN2] und [GNN] zurückgehen, insbesondere
eine, die Aussagen in Gebietsecken ermöglicht. Da die in dieser Arbeit an vielen Stellen verwendeten
elliptischen Maximumprinzipien wie das Starke Maximumprinzip von E. Hopf wohlbekannt sind, wird auf
sie nicht weiter eingegangen.
In Kapitel 4 wird ein sog. verallgemeinertes Eigenwertproblem gelöst, d.h. es sind eine
Funktion 
und ein kleinstes 
zu finden, die der
Gleichung
unter homogenen Neumannrandbedingungen genügen. Dies geschieht durch Reduktion auf ein gewöhnliches
Eigenwertproblem. Es ist bemerkenswert, daß die Eigenfunktionen des verallgemeinerten
Eigenwertproblems dieselben wie die des gewöhnlichen Eigenwertproblems sind. Die so gewonnenen
Lösungen 
werden sowohl in Kapitel 2 als auch in Kapitel
6 genutzt, um aus Vergleichen von
mit Lösungen von (1.2) asymptotische Darstellungen zu gewinnen. Das Kapitel wurde unter Nutzung von Methoden aus [BN1] frei erarbeitet.
Kapitel 5 befaßt sich mit elliptischen Abschätzungen, die an vielen Stellen der
Diplomarbeit genutzt werden, so z.B. als a priori-Abschätzung oder zur Feststellung der Regularität
von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen. Die bearbeiteten Artikel verweisen stets auf
,,standard elliptical estimates``, die jedoch nicht anwendbar sind, da sie ein hinreichend glattes
Gebiet voraussetzen, was in unserer Anwendung nicht gegeben ist. Um diesen Mangel zu beheben, wurden
verschiedene Abschätzungstypen mit verschiedenen Varianten zur Umgehung der Gebietsecken
untersucht. Es stellte sich heraus, daß die sog. 
-Abschätzungen kombiniert mit einer Spiegelung
der Lösung über den Neumannrand hinweg zum Erfolg führen. -Abschätzungen beruhen auf der
Abschätzung des Newtonschen Potentials zur Dichte 
mittels der
Calderon-Zygmund-Ungleichung und anschließender Verallgemeinerung auf allgemeine gleichmäßig
elliptische Operatoren. Sie stellen eine Abschätzung der Form
zur Verfügung. Der Spiegelung kommt die Bedeutung zu, die Funktion auf ein glattes Gebiet
fortzusetzen. Die Herleitung der -Abschätzungen ist [ADN] entnommen und
wird in den Abschnitten 5.2 bis 5.4 durchgeführt.
Der Abschnitt 5.5 nutzt dann die Spiegelungstechnik zur Erzielung der
Abschätzungen auf den nichtglatten Gebieten.
Die 
-Abschätzungen implizieren mit Hilfe des Sobolewschen Einbettungssatzes sofort eine
-Abschätzung, da p beliebig groß gewählt werden kann. An zwei Stellen in Kapitel
wird jedoch die 
-Regularität benötigt, die wohl nur über
-Schauder-Abschätzungen erreicht werden kann. An dieser Stelle befindet sich
möglicherweise ein Fehler in den Artikeln [BLL] und [BL], da die
Voraussetzungen an die Koeffizienten der Differentialgleichung dazu nicht scharf genug zu sein
scheinen
. Leider ist es nur gelungen, diese Lücke für die
Raumdimensionen n=2 und n=3 zu füllen, während in den allgemeinen Fällen 
die Anwendung
der Schauderabschätzungen an möglichen Unstetigkeitsstellen der gespiegelten Differentialgleichung
scheitert. Für eine ausführliche Begründung sei auf Abschnitt
5.5 verwiesen.
Zur Abrundung befaßt sich das letzte Kapitel mit Eindeutigkeitsfragen. Da es als Zusatz über die
eigentliche Aufgabenstellung hinausgeht, werden nicht alle Hilfsmittel bewiesen; das trifft
insbesondere auf Aussagen über die asymptotische Darstellung von Lösungen zu. Einige Argumente sind
[BN1] entnommen, andere Aussagen daraus zitiert, und wieder andere Teile wie die
Abschnitte 6.2, 6.4 und auszugsweise
6.3 sind neu. Hauptergebnis ist, daß das Problem (1.2)
unter etwas schärferen Annahmen eindeutig lösbar ist. Die dargestellten Argumente ermöglichen
weiterhin unmittelbar die Folgerung, daß jede Lösung streng monoton wachsend in -Richtung ist.
Wünschenswert für eine zukünftige Arbeit wäre neben der Ausfüllung der Lücke bei den elliptischen Abschätzungen noch die Behandlung allgemeinerer Modelle des Verbrennungsproblems. Beispielsweise wäre es interessant zu untersuchen, ob es Lösungen gibt, die sich nicht mit konstanter Geschwindigkeit ausbreiten, oder wie sich andere Randbedingungen auf die Lösungen auswirken. Weiterhin lassen sich zusätzliche physikalische Größen wie die Gasdichte oder der Gasdruck in das Modell einbeziehen. Läßt man eine von 1 verschiedene Lewis-Konstante zu (siehe Abschnitt 2.1), so wird aus der einen Differentialgleichung ein System von zwei Gleichungen, so daß ganz neue Erkenntnisse zu erwarten sind. Noch andere Fragestellungen ergeben sich auch bei anderen Gebietsgeometrien.
Ich bedanke mich bei Herrn Professor Hildebrandt für die interessante Themenstellung und gute Betreuung, bei Ulrich Clarenz, Heiko von der Mosel, Gudrun Turowski und Daniel Wienholtz für viele wertvolle Hinweise und Hilfen bei Problemen aller Art sowie bei Matthias Kurzke für das Korrekturlesen.
