BEWEIS. Wir linearisieren die Differentialungleichung folgendermaßen:
Zu einem Punkt 
betrachte die Vergleichsfunktion
In einer Umgebung von 
(geschnitten mit 
) gilt dann w>0 und für ein
hinreichend großes A>0:
Das Maximumprinzip
zeigt: z kann
in der Umgebung kein nichtpositives Minimum annehmen, es sei denn z ist konstant. (Das
Maximumprinzip gilt zunächst nur im Innern. Falls jedoch z nichtkonstant ist und ein Randminimum 0
aufweist, so müßte 
dort eine nicht verschwindende Normalenableitung haben. Die Normale
liegt senkrecht zur 
-Achse, so daß 
und 
folgen würde. Das ist jedoch
aufgrund der Neumannrandbedingung an z ausgeschlossen.) Also ist die Menge
relativ offen in . Da z stetig ist, ist
sie auch relativ abgeschlossen in , so daß entweder 
oder
gilt. Das letzte ist jedoch ausgeschlossen, da z nach Voraussetzung an einer Stelle
den Wert 0 annimmt. Also folgt 
. 
