In diesem Kapitel wird eine wichtige Eigenschaft von Lösungen unserer Differentialgleichung auf
endlichen Zylindern herausgearbeitet, nämlich die Monotonie in 
-Richtung. Zugleich erhält man
einen Beweis für die Eindeutigkeit der Lösung. Grundprinzip dieses Kapitels ist die Betrachtung der
Differenz zweier Lösungen, wovon eine Lösung in -Richtung verschoben wird. Die Verwendung
parabolischer Maximumprinzipien gestattet dann eine Aussage über die Positivität einer solchen
Differenz. Dem Zeitparameter in parabolischen Gleichungen entspricht hier die Verschiebung der einen
Lösung.
Die Herleitung der parabolischen Maximumprinzipien nimmt den größten Teil des Kapitels ein. Gezeigt werden bekannte Standardaussagen aus [PW] (Sätze/Lemmata 3.2 - 3.4), bei denen eine Vorzeichenbedingung an den Koeffizienten nullter Ordnung gestellt wird, sowie spezialisierte Varianten aus [BN2] und [GNN], die ohne eine solche Bedingung auskommen, stattdessen aber andere Voraussetzungen wie Kleinheitsbedingungen an das Gebiet machen.
Im einzelnen stellt Satz 3.2 eine Verallgemeinerung des Starken Maximumprinzips von E. Hopf auf parabolische Gleichungen dar, d.h. unter einer Vorzeichenvoraussetzung an die Koeffizienten nullter Ordnung wird das Nichtverschwinden der Normalenableitung an einem nichttrivialen Randextremum gezeigt. Ebenso läßt sich die bekannte Aussage über das Nichtauftreten nichttrivialer innerer Extrema auf parabolische Gleichungen verallgemeinern. Da diese Aussage hier jedoch nicht benötigt wird, verweisen wir auf [PW], Theorem 7 (Seite 174). Um sie zu beweisen, sind die Lemmata 3.3 und 3.4 hilfreich, die in diese Arbeit aufgenommen wurden, da sie später verwendete Beweisprinzipien gut darstellen, insbesondere die Technik der Skalierung eines Halb- oder Viertelellipsoids. Für Lemma 3.4 werden zwei verschiedene Beweise gegeben, der erste entstammt im Prinzip dem Buch [PW]. Bei den Recherchen zu dieser Diplomarbeit ergab sich, daß dieses Lemma sich schneller und eleganter mit der Halbellipsoidmethode, wie sie von Nirenberg verwendet wird, beweisen läßt.
Nach diesen noch sehr bekannten Aussagen werden speziellere Maximumprinzipien aus den Arbeiten [BN2] und [GNN] vorgestellt. Satz 3.5, der ohne die Vorzeichenforderung an die Koeffizienten nullter Ordnung auskommt, macht eine Aussage über das Vorzeichen von Lösungen im Inneren eines hinreichend kleinen Gebiets. Der Satz wurde für diese Diplomarbeit auf gemischte Randbedingungen verallgemeinert. Analog dazu stellt Satz 3.6 die Aussage über die Normalenableitung bei Randextrema dar. Der Satz 3.7 dient im Zusammenspiel mit Satz 3.5 zu verschärften Aussagen über das Vorzeichen im Gebietsinneren. Den Abschluß bildet Satz 3.8, der Aussagen in Gebietsecken ermöglicht. Da zum Beweis umfangreiche Gebietstransformationen und Konstruktionen für die Barrierenfunktion erforderlich sind, ist der Beweis recht lang, vielleicht auch ein wenig ermüdend.
Da sich die Aussagen leicht für eine große Klasse quasilinearer Gleichungen machen lassen, wird hier nicht die Differentialgleichung des letzten Kapitels zugrundegelegt. Offenbar handelt es sich bei ihr um einen Spezialfall der hier behandelten Gleichungsklasse.