Nachdem im vorherigen Abschnitt die 
-Abschätzungen für Gleichungen hergeleitet wurden, die nur
aus Termen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bestehen, werden wir diese jetzt auf
Gleichungen mit variablen Koeffizienten und Termen niedriger Ordnung verallgemeinern. Dies geschieht
durch eine Abschätzung der Differenz zu Gleichungen mit konstanten Koeffizienten.
BEWEIS. Sei L' der Teil von L mit den Termen zweiter Ordnung, und sei L'' der Teil mit den Termen niedrigerer Ordnung, ebenso seien B' und B'' definiert, d.h.
Dann lassen sich die Gleichungen Lu=F und 
schreiben als
Weiter unten werden wir Satz 5.3 auf die Differentialgleichung L'(0)u=f mit
der Randbedingung 
anwenden. Daher müssen zunächst 
und 
untersucht werden:
Die letzte Ungleichung ist korrekt, da die Koeffizienten 
nach Voraussetzung
Lipschitzstetig mit der Konstanten k sind
. Mit diesen Ergebnissen
kann Satz 5.3 auf die Differentialgleichung (5.28)
angewendet werden:
Wähle r so klein, daß
ist. Dann kann (5.31) weiter abgeschätzt werden:
Die Interpolationsabschätzung Lemma 5.1 garantiert nun eine Abschätzung der Art
so daß die Behauptung folgt.
BEWEIS.
Diese Abschätzung wird genauso bewiesen wie die vorherige, wobei die Randterme nicht auftreten und
Satz 5.2 anstelle von 5.3 verwendet wird.
