Wir wollen uns mit der Klassifikation von Daten in hochdimensionalen Merkmalsräumen beschäftigen, wie sie sich im Bereich der Mustererkennung ergeben. Es soll ein neuartiges Klassifikationsverfahren entwickelt werden, welches die schnelle Klassifikation großer Datensätze ermöglicht.
Gute konventionelle
Verfahren wie Neuronale Netze oder Support Vector Maschinen (SVM) eignen sich
meist nur für kleine Datensätze und sind somit für Data Mining, d.h. die Analyse
großer Datenbanken wie sie insbesondere im Bereich der Finanzmathematik oftmals
auftreten, kaum geeignet.
In den wichtigsten Fällen läßt sich die Klassifikation nach eventueller Regularisierung
als Interpolations-, Approximations- oder least square Aufgabe in hochdimensionalen
Räumen auffassen [9]. Die meisten herkömmlichen Mustererkennungsverfahren
nutzen hierfür über den Datenpunkten definierte Basisfunktionen mit globalen
Trägern. Zwar erlaubt dieser Ansatz die Bearbeitung hochdimensionaler Daten,
er ist jedoch auf eine geringe Anzahl an Datensätzen beschränkt, da hier vollständig
besetzte Matrizen entstehen. In der Praxis des Data Mining ist jedoch meist das
entgegengesetzte Problem anzutreffen: Die Daten sind relativ niedrigdimensional
(ca. 5 - 100 Dimensionen), die Anzahl der Daten ist aber sehr hoch (ca.
).
Auch der Einsatz klassischer Approximationsverfahren wie Finiter
Elemente Methoden ist nicht praktikabel, da aufgrund der hohen Dimensionen der
Aufwand 
ist, wobei N
die Anzahl der Daten und d
die Dimension des Merkmalsraumes bezeichnet.
Darüber hinaus sind die von herkömmlichen Mustererkennungsverfahren konstruierten
Klassifikationsfunktionen meist sehr umfangreich, nicht selten in der Größenordnung
der Zahl der Datensätze.
Gelänge es, die Klassifikationsfunktionen effizient
darzustellen, würde auch die on-line Klassifikation neuer Daten enorm beschleunigt.
Wir schlagen deswegen die Verwendung von Dünngitter-Techniken zur
Klassifikation vor, wie sie zur
Approximation und insbesondere zum Lösen von
Differentialgleichungen entwickelt wurden.
Der Vorteil des Dünngitter-Ansatzes ist,
daß der Aufwand zur Lösung hochdimensionaler variationeller Probleme
von der Dimension nahezu unabhängig ist [20,13], und
sich Verfahren mit dem Aufwand
ergeben.
Hochdimensionale Probleme (bis zu ca. 15 Dimensionen)
für große Datensätze, wie sie sich beim Data Mining ergeben, und
die ansonsten weit außerhalb der Leistungsfähigkeit
heutiger Großrechner stehen,
sind damit wieder lösbar.
Da Dünngitter-Techniken auf hierarchischen Basen beruhen, und hier auch
Wavelet-Basen
zur Verfügung stehen, sind die hiermit konstruierten Klassifikatorfunktionen zugleich
effizient repräsentiert und somit auf große Datensätze on-line anwendbar.
Das auf Dünngittertechniken basierende Klassifikationsverfahren soll anhand großer Datensätze vorrangig aus dem Bereich der Finanzmathematik getestet werden und für die Kursprognose auf der Basis untertägiger Tick-Daten und in verwandten Bereichen des Data Mining wie dem Direkt-Marketing eingesetzt werden.