Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
maximize

Seminar im Wintersemester 2001/02


"Dimensionsreduzierende Dekomposition hochdimensionaler Funktionen"


Leitung: Prof. Dr. Michael Griebel
Mitarbeiter: Dr. Frank Kiefer
Ort und Zeit: Wegelerstr. 6, Raum 610, n. V.
Beginn: 18.10.2001

Eine Grundaufgabe innerhalb der Mathematik besteht darin, komplizierte und komplexe Objekte in solche mit einer einfacheren Struktur zu zerlegen, um diese danach besser handhaben zu können. Beispiele sind die Faktorisierung von Polynomen oder die Zerlegung von Differentialoperatoren. In diesem Seminar möchten wir uns mit der dimensionsreduzierenden Zerlegung hochdimensionaler Funktionen in endliche Summen (von Produkten) niederdimensionaler Funktionen beschäftigen. Als eine mögliche Anwendung interessiert uns dabei die Integration multivariater Funktionen, um mit entsprechenden numerischen Verfahren den bei naiver Integration bekanntlich auftretenden ``Fluch der Dimension'' zu überwinden.

Wir betrachten zunächst systematisch die Zerlegung zweidimensionaler Funktionen in Summen von Produkten eindimensionaler Funktionen. D'Alembert untersuchte im Jahre 1747 skalare Funktionen $h$ zweier Variablen der Form $h(x,y)=f(x)\cdot g(y)$ und konnte zeigen, daß diese unter hinreichenden Glattheitsannahmen der partiellen Differentialgleichung

\begin{displaymath}
\frac{\partial^2\log h}{\partial x \partial y}=0
\end{displaymath}

genügen. Werden mehrere Summanden zugelassen, d.h. $h(x,y)=\sum_{k=1}^nf_k(x)\cdot g_k(y),
$ so wurde vermutet, daß die Klasse dieser (hinreichend glatt angenommenen) Funktionen durch die Lösungen der partiellen Differentialgleichung

\begin{displaymath}
\mbox{\rm det}(h_{x^iy^j})_{i,j=0,...,n}=0, \quad\mbox{\rm w...
... h_{x^iy^j}=\frac{\partial^{i+j} h}{\partial^i x\partial^j y},
\end{displaymath}

gegeben ist, deren linke Seite eine Wronskideterminante darstellt. Diese Vermutung konnte unlängst von Rassias durch Konstruktion eines Gegenbeispiels widerlegt werden. Die zugehörigen Entwicklungen und entsprechende Ansätze für (u.U. approximative) Zerlegungen höherdimensionaler Funktionen sollen im ersten Teil des Seminars anhand ausgewählter Kapitel der Monographie [4] behandelt werden. Weiterhin wollen wir additive Zerlegungen hochdimensionaler Funktionen besprechen, die auf Verallgemeinerungen von additiven Modellen beruhen und auf dem Gebiet der Varianzanalyse entwickelt wurden (ANOVA-Zerlegungen, MARS) [3]. Hier existieren interessante numerische Anwendungen im Bereich des ``Data Mining'' [2].

Im zweiten Teil des Seminars beschäftigen wir uns dann anhand des Buches von He [1] mit effizienten Techniken zur Integration hochdimensionaler Funktionen, die auf solchen dimensionsreduzierenden Entwicklungen und partieller Integration gründen.

Literatur:

1.
T. X. He: Dimensionality Reducing Expansion of Multivariate Integration, Birkhäuser, Boston 2001
2.
M. Hegland, V. Pestov: Additive Models in High Dimensions, MCS-VUW Research Report 99-33
3.
T. J. Hastie, R. J. Tibshirani: Generalized Additive Models, Chapman & Hall, Boca Raton 1990
4.
T. M. Rassias, J. Simsa: Finite Sums Decompositions in Mathematical Analysis, Wiley, Chichester 1995

Frank Kiefer
Last modified: Wed Oct 24 09:48:41 CEST 2001