Seminar im Wintersemester 2000/01

"Zur Analysis und Numerik der Hamiltonschen Fluiddynamik"

Leitung:	Prof. Dr. Michael Griebel
Mitarbeiter:	Dipl.-Math. Frank Kiefer
Ort und Zeit:	Wegelerstr. 10, Raum 251, montags, 14-16 h
Beginn:	30.10.2000

Strömungen lassen sich klassisch aus der Eulerschen oder der Lagrangeschen Sichtweise heraus beschreiben. Bei der Eulerschen Methode interessiert man sich für makroskopische Strömungsgrößen, die zu einer gegebenen Zeit an einem fixierten Ort im Raume vorherrschen (ortsfeste Betrachtung). Grundlage dieser feldartigen Beschreibungsweise ist eine Kontinuumsannahme, die ihrerseits auf dem makroskopischen Charakter der hydrodynamischen Erscheinungen beruht. Die Lagrangesche Methode geht aus von Fluidpartikeln, die bei ihrer Bewegung durch den Raum verfolgt werden und in ihrer Gesamtheit der Beschreibung des Zustands des Fluids dienen. Es handelt sich hierbei also um eine teilchenfeste Betrachtungsweise.

Interessanterweise lassen sich Strömungsprobleme auch als Flüsse in einem Phasenraum interpretieren, wenn man ausgehend von der Lagrangeschen Sicht die Bewegung der Fluidpartikel mit Hilfe des Hamiltonformalismus beschreibt. Die Hamiltonsche Formulierung erlaubt hierbei durch die Verwendung von Lie- und Poisson-Klammern, Pull-back- und Casimir-Operatoren die hintergründige geometrische Struktur von Strömungsphänomenen herauszuarbeiten und gewährt so tiefergehende Einblicke in deren tatsächliche Natur. Erhaltungsgrößen lassen sich beispielsweise aus Symmetrieforderungen herleiten.

Die Hamiltonsche Fluiddynamik ist heutzutage von großer Bedeutung für die qualitative Analysis von Strömungen. Es gibt mittlerweile aber auch schon Ansätze für ihre numerische Behandlung. Im Spannungsfeld zwischen Numerik und Analysis wollen wir mit unserem Seminar versuchen, diese Ansätze genauer zu verstehen und ihren möglichen Gewinn und Einsatz für Anwendungen im Bereich der numerischen Strömungssimulation herauszuarbeiten. Das Seminar richtet sich insbesondere an Studierende im 5. oder 7. Semester.

I) Unterschiedliche Herleitungen der hydrodynamischen Grundgleichungen

1. Herleitung der inkompressiblen Navier-Stokesschen Gleichungen über die Prinzipien der Massen- und Impulserhalung

L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Hydrodynamik, Akademie Verlag, Berlin 1990, §§ 1, 2, 7, 15

2. Herleitung der Bewegungsgleichungen für ideale Fluide über das Variationsprinzip und Random-Walk Interpretation der inkompressiblen Navier-Stokesschen Gleichungen

C. S. Peskin, A Random-Walk Interpretation of the Incompressible Navier-Stokes Equations, Comm. Pure Appl. Math., Vol. 38 (1985), S. 845-852

R. Salmon, Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Oxford University Press, Oxford 1986, Kapitel I.1-8

3. Herleitung der Bewegungsgleichungen über Mittelung der molekularen Bewegungsgleichungen

R. Salmon, Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Oxford University Press, Oxford 1986, Kapitel I.1-8

II) Hamiltonsche Fluiddynamik (HFD)

4. Symmetrien und Erhaltungssätze

R. Salmon, Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Oxford University Press, Oxford 1986, Kapitel VII.1, VII.2, VII.6

5. Hamiltonsche Fluiddynamik

R. Salmon, Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Oxford University Press, Oxford 1986, Kapitel VII.7-11

III) Numerische Ansätze

6. Symplektische Integratoren

J. M. Sanz-Serna, M. P. Calvo, Numerical hamiltonian problems, Chapman & Hall, Boca Raton, 1994

7. Numerische Verfahren, die die Hamiltonsche Struktur des Flußes inkompressibler Fluide erhalten

T. F. Buttke, Velicity Methods: Lagrangian Numerical Methods which preserve the Hamiltonian Structure of Incompressible Fluid Flow, in J. T. Beale, G. H. Cottet und S. Huberson (Hrsg.), Vortex Flows and Related Numerical Methods, Kluwer Verlag, Norwell, 1993

Ergänzende Literaturhinweise

Lehrbücher zur Hydrodynamik und Mechanik:

A. J. Chorin, J. E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer Verlag, New York, 1993

L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Mechanik, Akademie Verlag, Berlin, 1990

L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Hydrodynamik, Akademie Verlag, Berlin, 1991

F. Scheck, Mechanik, Springer, New York, 1994

Bücher zur geometrisch orientierten Mechanik:

V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, New York 1989

J. E. Marsden, T. S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer, New York, 1994

Bücher zur geometrisch orientierten Mechanik:

T. F. Buttke, Velicity Methods: Lagrangian Numerical Methods which preserve the Hamiltonian Structure of Incompressible Fluid Flow, in J. T. Beale, G. H. Cottet und S. Huberson (Hrsg.), Vortex Flows and Related Numerical Methods, Kluwer Verlag, Norwell, 1993

C. S. Peskin, A Random-Walk Interpretation of the Incompressible Navier-Stokes Equations, Comm. Pure Appl. Math., Vol. 38 (1985), S. 845-852

P. J. Morrison, Hamiltionian description of the ideal fluid, Reviews of Modern Physics, Vol. 70 (1998), S. 467-521

R. Salmon, Lectures on Geophysical Fluid Dynamics, Oxford University Press, Oxford 1986

J. M. Sanz-Serna, M. P. Calvo, Numerical hamiltonian problems, Chapman & Hall, Boca Raton, 1994

G. E. Swaters, Introduction to Hamiltonian Fluid Dynamics and Stability Theory, Chapman & Hall, Boca Raton, 2000

Frank Kiefer

Last modified: Tue Oct 23 17:41:44 CEST 2001