Research Group of Prof. Dr. M. Griebel
Institute for Numerical Simulation
maximize

Proseminar im Sommersemester 2001


"Wavelet- und Multiskalen-Methoden"

Leitung: Prof. Dr. Michael Griebel
Mitarbeiter: Dipl.-Math. Frank Kiefer
Ort und Zeit: Wegelerstr. 10, Raum 251, montags, 14-16 h
Beginn: 23.04.2001
Eine wichtige Aufgabe in nahezu allen Natur- und Ingenieur- aber auch Wirtschafts- und Sozialwissenschaften ist die Analyse und Handhabung großer Datenmengen. Beispiele hierfür sind Daten und Signale, die durch Wettersatelliten zur Erde gefunkt werden, um damit sinnvolle Vorhersagen zu machen, oder medizinische Daten, die etwa bei einer Computertomographie entstehen und zu Bildern verarbeitet werden, um bessere Diagnosen zu stellen. Als weitere Beispiele kann man die Verarbeitung digitaler Musik- und Videoaufnahmen nennen, aber auch die Analyse von Börsenkursen und Finanzdaten aus der Welt der Aktienmärkte.

Daten und Signale werden mathematisch zumeist als (multivariate) Funktionen dargestellt. Ein klassisches Instrument zur Untersuchung von Funktionen ist die Fourier-Transformation, die diese mittels trigonometrischer Funktionen in ebene Wellen unterschiedlicher Frequenzen (Sinus- und Cosinus-Schwingungen) zerlegt und dadurch eine Frequenz-Analyse der Daten ermöglicht. Ein Mangel der Fourier-Transformation liegt darin, daß sie für viele Anwendungen nur unzureichend die lokalen Eigenschaften eines Signals berücksichtigt, da die zerlegenden Funktionen selbst nicht lokal sind.

Wavelets durchbrechen diesen Nachteil, indem sie als kleine Schwingungen mit lokalem Charakter ebenfalls eine effiziente Analyse und Synthese von Funktionen über unterschiedliche Auflösungsstufen (Skalen) erlauben. Mit ihrer Hilfe können Daten und Signale rekursiv in ihre rauhen und glatten Anteile zerlegt werden, was mathematisch gesehen auf einer Multiskalen-artigen Zerlegung des zugrundeliegenden Funktionenraums in Unterräume von fein- und grobskaligen Anteilen beruht. Die dabei auftretenden Räume feinskaliger Anteile werden von den Dilaten und Translaten einer einzigen Funktion, nämlich dem Wavelet, aufgespannt. Wavelet- und Multiskalen-Methoden sind inzwischen zu einer wohlfundierten Theorie herangereift und haben mittlerweile in allen oben genannten Disziplinen sowie ebenfalls in der Reinen und Angewandten Mathematik große Verbreitung gefunden. Viele interessante Informationen zum Thema findet man auch über das Internet, etwa unter http://www.amara.com/current/wavelet.html oder http://www.wavelet.org, von wo aus man weiterschnuppern kann.

In diesem Proseminar möchten wir gemeinsam die mathematischen Grundlagen der Theorie der Wavelets erarbeiten, darüberhinaus aber auch unterschiedliche Anwendungen genauer kennenlernen und studieren.

I) Einführung


1. Einführung in Wavelet- und Multiskalen-Methoden

II) Die kontinuierliche Wavelet-Transformation


2. Definition und Beispiele, Plancherel- und Umkehrformeln
3. Kernfunktion und Abklingverhalten
4. Frames und die diskrete Wavelet-Transformation

III) Multiskalen-Analyse


5. Multiskalen-Analysen und ihre Skalierungsfunktionen
6. Konstruktionen im Fourierbereich und schnelle Algorithmen

IV) Wavelet-Konstruktionen


7. Orthonormierte Wavelets mit kompaktem Träger
8. Konstruktionen mittels binärer Interpolation und Spline-Wavelets

V) Anwendungen


9. Wavelet-basierte Signalverarbeitung
10. Wavelets in der Computergraphik

Ergänzende Literaturhinweise


Lebesguesche Integrationstheorie

Fourier-Transformation

Frank Kiefer
Last modified: Tue Oct 23 17:58:44 CEST 2001