Proseminar im Wintersemester 2001/02
"Inverse und schlecht gestellte Probleme und ihre Regularisierung"
Viele klassische Aufgaben der mathematischen Physik zur Beschreibung physikalischer
Systeme werden durch Integralgleichungen oder durch gewöhnliche oder partielle
Differentialgleichungen beschrieben.
Diese sind
korrekt gestellt, wenn die zugehörigen Gleichungen eindeutig lösbar
sind und die Lösung stetig von den Problemparametern abhängt.
Bei vielen Anwendungen ist die Lösung des Problems (zumindest teilweise)
bekannt, etwa aufgrund von Messungen, und man möchte umgekehrt auf die Parameter
des Systems schließen.
Ein Beispiel für ein solches
inverses Problem ist die Computer-Tomographie:
Die mathematische Aufgabe besteht hier darin, aus der gemessenen Abschwächung von
Röntgenstrahlen, die ein Objekt durchdringen, die Dichteverteilung innerhalb des
Objekts zu rekonstruieren, um diese auf einem Bildschirm darstellen zu können.
Leider sind solche inversen Aufgaben häufig
schlecht gestellt in dem Sinne, daß
die zu rekonstruierenden Systemparameter unstetig von der Lösung des direkten Problems
abhängen. Dies führt dazu, daß in der Regel kleine aber unvermeidbare Messfehler
in der Lösung zu großen Fehlern in den berechneten Parametern führen können.
Eine reizvolle Aufgabe ist es von daher, mit Hilfe geeigneter Regularisierungstechniken
(verallgemeinerte) Näherungslösungen zu inversen Problemen zu finden, bei denen
sich Datenfehler nicht über ein unvermeidbares Maß hinaus verstärken.
In diesem Proseminar möchten wir gemeinsam die mathematischen Grundlagen der Theorie
inverser und schlecht gestellter Probleme erarbeiten, verallgemeinerte Lösungsbegriffe,
unterschiedliche Regularisierungstechniken und entsprechende numerische Verfahren
besprechen, darüberhinaus aber auch Anwendungen aus der Praxis genauer kennenlernen und
studieren.
I) Einführung und Grundlagen
1. Einführung
2. Grundlagen aus der linearen Funktionalanalysis
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Anhang A.1, A.3, A.5
3. Schlecht gestellte Probleme und schlimmster Fehler
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel I.2-4
II) Regularisierungstheorie für Integralgleichungen erster Art (bei a priori Wahl der Regularisierungsparameter)
4. Allgemeine Theorie und Beispiele
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel II.1, S. 24-32
5. Regularisierung mittels Filterung/TSVD
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel II.1, S. 32-37
6. Tikhonov Regularisierung
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel II.2, II.4
7. Landweber Verfahren
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel II.3, II.4
III) Regularisierungstheorie für Integralgleichungen erster Art (bei a posteriori Wahl der Regularisierungsparameter)
8. Morozovs Methode
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel II.5
9. Landweber Iteration mit Stoppkriterium
- A. Kirsch: An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer Verlag, New York 1996, Kapitel II.6, S. 32-37
III) Anwendungen
10.+11. Lösung schlechtkonditionierter und singulärer linearer Gleichungssysteme
- A. Neumaier: Solving Ill-Conditioned and Singular Linear Systems: A Tutorial on Regularization, SIAM Review 40 (1998), S. 636-666
12. Numerische Verfahren in der Computertomographie
- F. Natterer: Numerical Methods in Tomography, Acta Numerica 8 (1999), S. 107-143
- [F. Natterer: The Mathematics of Computerized Tomography, Wiley, Chichester 1986]
Ergänzende Literaturhinweise
- H. W. Engel, M. Hanke und A. Neubauer: Regularization of Inverse Problems, Dordrecht 2000
- C. W. Groetsch: The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the First Kind, Pitman, Boston 1984
- C. W. Groetsch: Inverse Problems in the Mathematical Sciences, Vieweg Verlag, Braunschweig 1993
- A. K. Louis: Inverse und schlecht gestellte Probleme, Teubner Verlag, Stuttgart 1989
Frank Kiefer
Last modified: Tue Oct 23 17:41:00 CEST 2001
