Aufgabe 1: Phil stellt beim Sortieren seiner Plattensammlung überrascht fest, dass eine Platte fehlt. Laut seiner - leider etwas kryptischen - Aufzeichnungen hat die Platte die Nummer 11250859. Aus welchem Jahr stammt das Album?
Lösung: Die Zahl 11250859 entspricht Hexadezimal ABACAB. "Abacab" ist auch der Titel eines Albums der britischen Popgruppe Genesis mit Sänger Phil Collins aus dem Jahr 1981.
Aufgabe 2: Es ist Samstag nacht und John ist fieberhaft in seinem Garten auf der Suche nach seinem Flugzeug. Erst gestern hat ihm ein Mathematiker (vermutlich ein Numeriker) erklärt, daß man den Flugzeugtyp an einer von zwei ganz besonderen Zahlen ablesen kann. Wenn man zu beiden Zahlen Eins addiert, so ist ihre Summe gleich ihrem Produkt. Wenn man jeweils Eins abzieht, ist ihre Differenz gleich ihrem Quotient. Wie lautet die Registrierung des Flugzeugs?
Lösung: Die beiden gesuchten Zahlen sind Wurzel 2 und 1/Wurzel 2 =0.707... . Der Schauspieler John Travolta (bekannt u.a. aus Saturday Night Fever) besitzt in seinem Garten eine Boeing 707 mit der Registrierung N707JT, die er ab und zu selbst fliegt.
Aufgabe 3: Ich bin ein merkwürdiger Computer, schon Galilei soll mich gekannt haben. Meine Mantisse umfasst 12 Zahlen, mein Exponentenbereich ist theoretisch unendlich (wobei so mancher Physiker hier anderer Meinung ist), in der Praxis aber nicht größer als Acht. Aufeinander folgende Zahlen haben bei mir nicht den gleichen Abstand, sondern das gleiche Verhältnis. Welches?
Lösung: Die Halbtonleiter in der Musik besteht aus 12 Tönen (C, Cis, D, Dis, ...), wobei der musikalisch brauchbare Bereich etwa 8 Oktaven umfaßt. Eine reine Stimmung (etwa anhand der Obertöne) ist unpraktisch, wenn die Tonart sich ändert. Bei der gleichtemperierten Stimmung, die von Vincenzo Galilei, dem Vater von Galileo, entdeckt wurde, haben zwei aufeinanderfolgende Töne immer genau das gleiche Frequenzverhältnis 2^(1/12), wodurch alle Intervalle zwar leicht falsch, aber in jeder Tonart ähnlich falsch sind. Damals hatte Vincenzo nicht die mathematischen Hilfsmittel, die gleichtemperierte Stimmung zu realisieren, aber heute ist sie bei fast allen Musikinstrumenten im Einsatz.
Aufgabe 4: Ich bin ein kleiner Asteroid in einem System, das mein philosophischer Namensgeber erfunden hat (und nicht die Karthager, wie man vielleicht glauben mag). Hier sind die Normen von Vektoren (und Matrizen) leicht ablesbar. Welche Nummer habe ich?
Lösung: Der kleine Asteroid hat den Namen 3587 Descartes, benannt nach dem den französischen Philosoph und Mathematiker René Descartes, dem Erfinder des kartesischen Koordinatensystems (in dem sich der kleine Asteroid auch bewegt).
Aufgabe 5: Ich bin ein berühmter deutscher Mathematiker. Mein Geburtsjahr ist zehnmal so groß wie das Quadrat der richtigen Basis der Frage, mein Todesjahr ist das Quadrat der Antwort. Trotz alledem bin ich der Urheber eines bis heute ungelösten Problems. Welches?
Lösung: Das bis heute ungelöste Problem ist die Goldbachsche Vermutung (jede gerade Zahl größer als Zwei ist die Summe zweier Primzahlen) benannt nach dem deutschen Mathematiker Christian Goldbach, der von 1690=10*13^2 bis 1764=42^2 gelebt hat. Laut Douglas Adams' "Per Anhalter durch die Galaxis" ist 42 die ultimative Antwort auf die Frage nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest. Die möglicherweise dazugehörige Frage "Was ergibt 9 mal 6?" ist paradoxerweise in der Basis 13 sogar richtig.
Aufgabe 6: In der nebenstehenden mathematischen Schatzkarte ist ein Schatz versteckt. Alle Felder der 15 x 15 Matrix sind entweder schwarz oder weiß. Die Zahlen an den Rändern geben die Reihenfolge und die Länge der schwarzen Blöcke in der jeweiligen Zeile und Spalte an, deren genaue Position ist leider nicht bekannt. Zwei schwarze Blöcke sind aber immer durch mindestens ein weißes Feld getrennt. Der Ursprung des Koordinatensystems sei links oben, das erste Feld der Matrix habe die Koordinate (1,1). An welcher Koordinate liegt der Schatz vergraben? | 
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Lösung: Der Schatz liegt im Feld mit der Koordinate (5,11) (bzw.\ in Zeile 11, Spalte 5), gekennzeichnet durch ein großes X. | 
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Aufgabe 7: Passend zum Jahresbeginn entdeckt ein italienischer Astronom einen neuen Asteroiden. Ein paar Tage später verschwindet der Asteroid jedoch hinter der Sonne. Viele Wissenschaftler versuchen in der Folge vergeblich, den Asteroiden wieder zu finden. Erst mit einem ganz neu entwickelten Verfahren gelingt es am Jahresende. Welches Jahr schreiben wir?
Lösung: Am Neujahrstag des Jahres 1801 entdeckte der italienische Astronom Giuseppe Piazzi den ersten Asteroiden Ceres. Er konnte die Bahn 40 Tage lang verfolgen, dann verschwand Ceres hinter der Sonne. Mit Hilfe der gerade neu erfundenen linearen Ausgleichsrechnung (Aufgabe 39) konnte der damals 24-jährige Carl Friedrich Gauß zusammen mit dem deutschen Astronomen Franz Xaver von Zach im Dezember des Jahres Ceres wiederfinden. Gauß kam dadurch zu Weltruhm.
Aufgabe 8: Diesmal eine Knobelaufgabe vom Mathematischen Adventskalender: Immer noch so lange bis Weihnachten! Sebastian vertreibt sich die Zeit, indem er Dominoschlangen legt. Dabei werden die Dominosteine so hintereinander in eine Reihe gelegt, daß benachbarte Steine mit derselben Zahl aneinanderstoßsen:
Lösung: Man denke sich folgenden Graphen: die Knoten des Graphen sind die Zahlen von 0 bis 9; jeder Knoten ist mit jedem anderen Knoten durch eine Kante verbunden (auch mit sich selbst). Jede Kante entspricht dann einem Dominostein. Gesucht ist nun eine Tour (Eulerzug) durch den Graphen, der jede Kante genau einmal abläuft. Das geht jedoch nur, wenn der Grad (also die Zahl der ausgehenden Kanten) aller Knoten bis auf zwei, dem Anfangs- und dem Endpunkt der Tour, gerade ist. Im Dominographen haben jedoch alle Knoten einen ungeraden Grad, wodurch 10-2=8 ausgehende Kanten nicht besucht werden können. Nachdem je zwei dieser ausgehenden Kanten einen Dominostein bilden, bleiben immer mindestens 8/2=4 Dominosteine übrig.
Aufgabe 9:
Lösung: Die schönsten Antworten finden sich auf dem Prama-Übungsblatt 10.
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Aufgabe 10: Die Eisenbahnlinie auf der Insel Lummerland hat fünf Haltestellen (bei Frau Waas, Herrn Ärmel, Lukas dem Lokomotivführer, König Alfons dem Viertel--vor--Zwölften und dem Postanleger). Zwischen je zwei Haltestellen ist bekanntlich ein Tunnel. Eines Tages hat Jim Knopf eine Idee: "Weißt Du, Lukas, wir schenken Frau Waas zum Geburtstag eine Freikarte für acht Fahrten durch jeweils einen Tunnel mit Emma, der Lokomotive. Dann kann Sie der Reihe nach Herrn Ärmel, uns, König Alfons und den Postboten besuchen und auf dem Rückweg kommt sie wieder bei König Alfons, uns und Herrn Ärmel vorbei. Das ist besonders gut, denn so bekommen wir zweimal Kuchen. Wenn sie will, kann Sie aber auch zuerst den Postboten und dann den König und auf dem Rückweg wieder den Postboten besuchen, zu Hause mittag essen und nachmittags Herrn Ärmel, uns und wieder Herrn Ärmel besuchen". "Das ist eine sehr gute Idee", antwortet Lukas, "aber Du weißt daß Frau Waas abends am Ende der Fahrt wieder zuhause sein muß". "Trotzdem hat Frau Waas ganz, ganz viele Möglichkeiten, das ist doch toll"', meint Jim. Wieviele Möglichkeiten, ihre Freikarte über acht Fahrten einzulösen, hat Frau Waas nun genau? |
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Lösung: Die Adjazenzmatrix A eines Graphen mit n Knoten ist eine n x n Matrix mit Eintr"agen A(i,j)=1, falls die Knoten i und j durch eine Kante verbunden sind und A(i,j)=0 sonst. Die k-ten Potenzen einer Adjazenzmatrix A^k beschreiben, wieviele Möglichkeiten es gibt, in k Schritten von Knoten i zu Knoten j zu kommen. Die Adjazenzmatrix des Eisenbahngraphen von Lummerland und ihre achte Potenz sehen wie folgt aus:
| A= |
| und A^8= |
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Aufgabe 11: Das nebenstehende "magische Quadrat" besitzt in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale die gleiche Summe 34. Sogar in jedem der vier Quadranten, in den vier mittleren Feldern, in den vier Ecken, sowie in 70 weiteren Kombinationen ergibt sich ebenfalls diese Summe. In der Mitte der untersten Zeile findet sich die Jahreszahl 1514. In welchen Feldern hat der Erfinder sich versteckt?
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Lösung: Das magische Quadrat findet sich erstmals in dem Kupferstich "Melencolia I" des Malers Albrecht Dürer (1471-1528) aus dem Jahr 1514. Der Künstler hat sein Werk in den beiden neben dem Datum (15 und 14) liegenden Feldern 1 (=A) und 4 (=D) signiert. |
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| Aufgabe | Richtige Lösungen | Teilweise richtige Lösungen |
Falsche Lösungen |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 0 | 9 |
| 2 | 8 | 4 | 8 |
| 3 | 2 | 2 | 6 |
| 4 | 4 | 0 | 2 |
| 5 | 15 | 0 | 1 |
| 6 | 18 | 0 | 0 |
| 7 | 10 | 0 | 0 |
| 8 | 4 | 0 | 3 |
| 9 | 6 | 0 | 0 |
| 10 | 3 | 0 | 2 |
| 11 | 4 | 2 | 0 |