Im Gegensatz zur Eulerschen Sichtweise, bei der die das betrachtete Material beschreibenden Größen in im Raum festsitzenden Kontrollvolumen oder Punkten bestimmt werden, liegt der sogenannten Lagrangeschen Beschreibung das Konzept der sogenannten Fluidelemente zugrunde, die in der Theorie als unendlich klein angesehen werden und nicht festsitzend sind, sondern sich mit dem Fluid mitbewegen. Betrachtet man diese jedoch als nicht infinitesimal klein, so wird das Fluid durch eine endliche Anzahl von Fluidelementen, sog. Partikeln, approximativ beschrieben. Sowohl die Geschwindigkeit als auch dem Fluid zugeordnete Größen wie Dichte oder Massenverteilung werden dann allein durch die Verteilung der Partikel wiedergegeben.
Herkömmliche Methoden, die auf der Eulerschen Betrachtungsweise aufbauen, wie z.B. konventionelle Finite Element oder Finite Differenzen Verfahren, erweisen sich bei vielen Problemen mit wechselnder Geometrie, wie z.B. bei der Untersuchung von Verformungen von Materialien oder der Ausbreitung von Rissen, als problembehaftet, da ein ständiges Anpassen der Gitterstruktur an die sich ändernde Geometrie erforderlich ist. Sogar bei Problemen, bei denen nur wenige Gitterpunkte nötig sind, kann die Gittererzeugung einen großen Teil der Rechenzeit beanspruchen und sogar teurer sein, als die Konstruktion und Lösung der entstehenden diskreten Probleme.
Die aus der Lagrangeschen Sichtweise entstehenden Partikelmethoden sind, im Gegensatz zu den Eulerschen Methoden, auch zur Simulation von Problemengeeignet, denen kein Kontinuum zugrunde liegt, wie z.B. bei der Untersuchung des Fließens sog. granularer Materialien, oder der Simulation von hochverdünnten Gasen mittels der Boltzmanngleichungen. Dafür sind sie i.a. mit dem Nachteil einer schlechteren Approximationsgüte behaftet.
Weitere Anwendungsbereiche von Partikelmethoden sind z.B. die Molekülmechanik und Moleküldynamik, die Fuidmechanik, die Simulation sog. dünner Filme und auch Probleme aus der Astrophysik. Dort läßt sich mittels Partikelmethoden z.B. die Entstehung von Spiralgalaxien numerisch simulieren.
Hier ist im einfachsten Fall die Wechselwirkung zwischen einzelnen Partikeln durch ein Kraftgesetz (z.B. über die Gravitation) gegeben und die Bewegung der einzelnen Partikel kann mit Hilfe der Newtonschen Bewegungsgleichungen bestimmt werden. Wechselwirkt dabei jedes Partikel mit jedem anderen, so muß zur Berechnung der Kraft auf jedes einzelne Partikel eine Summe über alle anderen Partikel gebildet werden. Ein naiver Zugang führt hier zu einem Algorithmus mit einem Aufwand der Größenordnung N², wobei N die Anzahl der Partikel bezeichnet. Für großes N, wie es für eine hinreichend genaue Beschreibung des Problems nötig ist, sind solch Algorithmen jedoch zu aufwendig, und benötigen zu viel Rechenzeit. Mit Hilfe rekursiver bzw. hierarchischer Verfahren ist es möglich, den Aufwand auf O(N log(N)) bzw. sogar O(N) zu senken, d.h. der Aufwand wächst nur noch linear mit der Anzahl der verwendeten Partikel. Analoge Betrachtungen gelten für andere durch Potentiale gegebene Wechselwirkungen.
Eine weitere Beschleunigung der Algorithmen ist durch Parallelisierung der sequentiellen Programme erreichbar. Parallele Rechensysteme (MIMD-Rechner, Netzwerke von Arbeitsplatzrechnern) ermöglichen dann immer realistischere dreidimensionale Simulationen komplexer zeitabhängiger Vorgänge.
Ziel des Praktikums ist es, daß die Studierenden erste praktische Erfahrungen in den Bereichen
Danach wird auf numerische Methoden zur Beschleunigung der Verfahrens eingegangen. U.a. werden der Barnes-Hut-Algorithmus, sog. "fast multipoles" und Mehrgitterverfahren zur Effizienzsteigerung verwendet.
Weiterhin wird die Beschleunigung des Verfahrens durch parallele Berechnung im Vordergrund des Praktikums stehen. Ziel ist es, unser Simulationsprogramm parallel auf einem Netz von Arbeitsplatzrechnern unter PVM zu implementieren.
Parallel zur Entwicklung der Algorithmen müssen die jeweils berechneten Daten auch visualisiert werden. Dazu werden einfache graphische Darstellungsmethoden besprochen und in das bestehende Programm integriert.
Das Praktikum ist primär für Studenten der Mathematik ab dem 5. Semester gedacht. Darüber hinaus steht es aber auch interdisziplinär Interessierten anderer Fachbereiche (insb. Physikern, Informatikern, Geologen, Chemikern, etc.) offen.
Voraussetzungen für das Praktikum sind C-Kenntnisse und Interesse an numerischen Fragestellungen und an der Parallelisierung.
Die Praktikumsfortschritte sind in einem Berichtsheft zu dokumentieren, das neben den erstellten Programmteilen eine ausführliche Beschreibung der Ergebnisse enthalten soll.
Anmeldung ab sofort bei