Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 11

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 6. Juli 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 13. Juli 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 48: Forme die Differentialgleichung zweiter Ordnung

y′′ − y′ − 2y = 0

in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung um. Löse es mittels Picard-Lindelöf-Iteration bzgl. der Anfangswerte y(0) = 1, y′(0) = −1. (5 Punkte)

Aufgabe 49: Bestimme die Lösungen der Anfangswertprobleme

a) y′′′′ − 9y′′′ + 23y′′ − 3y′ − 36y = 0

y(0) = −2,  y′(0) = 3,  y′′(0) = 3,  y′′′(0) = 19

b) y′′ + 4y = 0

y(0) = 1,  y′(0) = −2  (10 Punkte)

Aufgabe 50: Untersuche das Anfangswertproblem

y′ = 2\sqrt{|y|}, y(0) = 0

auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. (8 Punkte)

Aufgabe 51:

a) Seien a, b : ℝ → ℝ stetige Funktionen, sei α ∈ ℝ. Untersuche die Differentialgleichung

y′ = ay^{α} + by

auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu einem beliebigen Anfangswert y(x_{0}) = y_{0}. Im Fall α ∉ 2ℤ sind nur positive Lösungen zugelassen. Führe die Lösung zurück auf die Lösung einer Differentialgleichung bekannten Typs. Hinweis: Multipliziere die Differentialgleichung mit (1 − α)y^{−α}.

b) Seien c, d, e : ℝ → ℝ stetige Funktionen, sei φ eine Lösung der Differentialgleichung

y′ = cy^{2} + dy + e.

Wie lassen sich mit Hilfe von φ und Aufgabe a) alle Lösungen bestimmen? (15 Punkte)

Aufgabe 52:

a) Sei F : ℝ^{2} → ℝ stetig differenzierbar, (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{2} mit F (x_{0}, y_{0}) = 0 und F_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0. Sei

M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : F (x, y) = 0}.

Zeige, daß es eine Umgebung U von x_{0}, eine Umgebung V von y_{0} und eine stetig differenzierbare Funktion φ : U → V gibt, so daß M ∩ (U × V) = graph φ ist und φ einer Differentialgleichung der Form

φ′(x) = G(x, φ(x))

genügt. Wie sieht G aus?

b) Sei

F (x, y) = 3x^{2}y + y^{3} + x^{3} + 1.

Bestimme die Extrema der Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung gemäß Aufgabe a). (10 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.