Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 9

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 22. Juni 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 29. Juni 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 38:

a) Prüfe, für welche c ∈ ℝ die Funktionen

f(x) = \sqrt{x^{2} + c}  und  g(x) = \sqrt{x^{4} + c}

stetig, lokal Lipschitz-stetig und (global) Lipschitz-stetig sind.

b) Sei [a, b] ein reelles Intervall. Betrachte auf den ℝ-Vektorräumen

C^{0} := {f : [a, b] → ℝ : f ist stetig}
C^{1} := {f : [a, b] → ℝ : f ist stetig differenzierbar}

die Normen

∥f∥_{C^{0}} := max_{x∈[a,b]} |f(x)|  und  ∥f∥_{C^{1}} := ∥f∥_{C^{0}} + ∥f′∥_{C^{0}}.

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen bezüglich der genannten Normen Lipschitz-stetig sind. Berechne ggf. die bestmögliche, d.h. kleinste Lipschitz-Konstante.

\begin{matrix}D_{0}: & (C^{1}, ∥ · ∥_{C^{0}}) → & (C^{0}, ∥ · ∥_{C^{0}}), & D_{0}(f)(x) = f′(x) \\ D_{1}: & (C^{1}, ∥ · ∥_{C^{1}}) → & (C^{0}, ∥ · ∥_{C^{0}}), & D_{1}(f)(x) = f′(x) \\ I : & (C^{0}, ∥ · ∥_{C^{0}}) → & (C^{1}, ∥ · ∥_{C^{1}}), & I(f)(x) = ∫_{a}^{x} f(s) ds \end{matrix}

(10 Punkte)

Aufgabe 39: Sei D ⊂ ℝ^{n} offen und f : D → ℝ zweimal stetig differenzierbar. Ein kritischer Punkt x_{0} ∈ D von f, d.h. ein Punkt x_{0} ∈ D mit f′(x_{0}) = 0, heißt ausgeartet, wenn det f′′(x_{0}) = 0 ist. Zeige, daß es zu jedem nicht ausgearteten kritischen Punkt eine Umgebung dieses Punktes gibt, in der keine weiteren kritischen Punkte liegen. (10 Punkte)

Aufgabe 40: Sei A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{m×n} eine Matrix. Zeige

∥A∥_{1→1} = max_{j} ∑_{i} |a_{ij}|  (Spaltensummennorm)
∥A∥_{∞→∞} = max_{i} ∑_{j} |a_{ij}|  (Zeilensummennorm)

wobei 1 für die Summennorm und ∞ für die Maximumsnorm stehen. (10 Punkte)

Aufgabe 41: Berechne die Operatornormen ∥M∥_{1→1}, ∥M∥_{2→2} und ∥M∥_{∞→∞} der Matrizen M ∈ {A, B, C}:

A = ( \begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) ,  B = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,  C = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

Hierbei stehen 1 für die Summennorm, 2 für die Euklidische Norm und ∞ für die Maximumsnorm. Finde jeweils einen Vektor x ≠ 0 mit ∥Mx∥_{∗} = ∥M∥_{∗→∗}∥x∥_{∗}. (10 Punkte)

Aufgabe 42: Seien X ein Banachraum und T : X → X eine lineare Abbildung mit ∥T ∥ < 1. Zeige, daß Id − T : X → X invertierbar ist und

\frac{1}{∥Id − T ∥} ≤ ∥(Id − T)^{−1}∥ ≤ \frac{1}{1 − ∥T ∥}

Hinweis: Untersuche die Abbildung

S := ∑_{i=0}^{∞} T^{i} = Id + T + (T ∘ T) + (T ∘ T ∘ T) + …

(10 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.