Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 8

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 15. Juni 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 22. Juni 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 34: Seien a, b : ℝ^{3} → ℝ zweimal differenzierbare Funktionen, sei V : ℝ^{3} → ℝ^{3} ein zweimal differenzierbares Vektorfeld. Zeige:

rot rot V = grad div V − ΔV

div rot V = 0
rot grad a = 0
Δ(ab) = aΔb + 2(grad a) · (grad b) + bΔa

(12 Punkte)

Aufgabe 35:

a) Zeige, daß ℝ^{≥1} = [1, ∞) mit d(x, y) = |x − y| ein vollständiger metrischer Raum ist.

b) Zeige, daß die Funktion

K : ℝ^{≥1} → ℝ^{≥1}, x ↦ x + \frac{1}{x}

für alle x, y ∈ ℝ^{≥1} mit x ≠ y der Bedingung

|K(x) − K(y)| < |x − y|

genügt und keinen Fixpunkt besitzt. (8 Punkte)

Aufgabe 36: Sei B ein vollständiger metrischer Raum mit Metrik d. Zu jedem s ∈ ℝ sei K_{s} : B → B eine Abbildung. Es gebe ein c ∈ [0, 1), so daß für alle x, y ∈ B und s ∈ ℝ gilt:

d(K_{s}(x), K_{s}(y)) ≤ c d(x, y)

Weiterhin sei K_{s} in jedem Punkt x ∈ B stetig von s abhängig, d.h. daß für jeden Punkt x ∈ B die Abbildung ℝ → B, s ↦ K_{s}(x) stetig ist. Gemäß dem Banachschen Fixpunktsatz existiert zu jedem s ∈ ℝ genau ein Fixpunkt x_{s} ∈ B von K_{s}. Zeige, daß der Fixpunkt stetig von dem Parameter s abhängt, d.h. daß die Abbildung ℝ → B, s ↦ x_{s} stetig ist. (10 Punkte)

Aufgabe 37: Beweise folgendes Maximumprinzip: Sei D ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, sei f : \overline{D} → ℝ stetig und in D zweimal differenzierbar. f genüge in D der Differentialungleichung

(Δ + a · ∇)f ≥ 0,

wobei a ∈ ℝ^{n} ein Vektor ist. Dann nimmt f ihr Maximum auf dem Rand ∂D an. Hinweis: Verwende eine Vergleichsfunktion der Form

g(x) = e^{ca·x}

mit einer geeigneten Konstanten c ∈ ℝ. (10 Punkte)

Differentialoperatoren:

Symbol im

Operator  Abkürzung Nablakalkül Argument Wert
Gradient  grad  ∇  Skalar  Vektor
Divergenz  div  ∇·  Vektor  Skalar
Rotation  rot = curl ∇×  Vektor (3D) Vektor (3D)
Laplaceoperator Δ  ∇ · ∇  Skalar  Skalar

Ein paar Identitäten der Vektorrechnung: a × a = 0 a · (a × b) = 0

a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c  Entwicklungssatz
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) Lagrangesche Identität

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.