Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 6

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 25. Mai 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 1. Juni 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 25: Zeige, daß

f : ℝ^{2} → ℝ, f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{3}y − xy^{3}}{x^{2} + y^{2}} & falls (x, y) ≠ 0 \\ 0 & falls (x, y) = 0 \end{matrix}

im Nullpunkt einmal stetig partiell differenzierbar und zweimal partiell differenzierbar ist und daß gilt:

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) ≠ \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0)

(5 Punkte)

Bemerkung: Ein Beispiel für eine differenzierbare, aber nicht stetig differenzierbare Funktion ist

f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin \frac{1}{x} & falls x ≠ 0 \\ 0 & falls x = 0, \end{matrix}

vgl. Analysis I, Aufgabe 49 c).

Aufgabe 26: Sei f : ℝ^{2} → ℝ eine differenzierbare Funktion mit

f_{x}(x, y) + f_{y}(x, y) = 0.

Zeige, daß es eine Funktion g : ℝ → ℝ mit

f(x, y) = g(x − y)

gibt. (10 Punkte)

Aufgabe 27: Sei f : ℝ^{2} → ℝ eine differenzierbare Funktion mit

yf_{x}(x, y) − xf_{y}(x, y) = 0.

a) Drücke f in Polarkoordinaten aus, d.h. betrachte

g = f ∘ P_{2} : ℝ^{2} → ℝ, g(r, φ) = f(P_{2}(r, φ)),

wobei P_{2} die Funktion aus Aufgabe 24 ist. Berechne die Ableitungen g_{φ} und g_{r} in Abhängigkeit der Ableitungen f_{x} und f_{y}.

b) Zeige, daß es eine Funktion h : ℝ^{≥0} → ℝ mit

f(x, y) = h(x^{2} + y^{2})

gibt. Wie ist dies geometrisch zu interpretieren? (10 Punkte)

Aufgabe 28: Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und sei f : U → ℝ eine partiell differenzierbare Funktion. Die partiellen Ableitungen seien lokal beschränkt, d.h.

∀x ∈ U ∃ε > 0 ∃C ∈ ℝ ∀i ∈ {1, …, n} ∀y ∈ U ∩ B_{ε}(x) : |D_{i}f(y)| < C.

Zeige, daß f stetig ist. (10 Punkte)

Aufgabe 29:

a) Bestimme die Gradienten bzgl. des Euklidischen Skalarprodukts und bzgl. des Skalarprodukts

<x, y >= 3x_{1}y_{1} + 2x_{2}y_{2} + 2x_{3}y_{3} + x_{2}y_{3} + x_{3}y_{2}

der Funktion

f : ℝ^{3} → ℝ, f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{3}x_{2}x_{3}^{2}

b) Bestimme die Jacobimatrizen der Funktionen f : ℝ^{2} → ℝ^{3}, g : ℝ^{3} → ℝ und h = g ∘ f : ℝ^{2} → ℝ, die letzte mit Hilfe der Kettenregel:

f(x_{1}, x_{2}) = ( \begin{matrix}x_{1} sin x_{2} \\ x_{2} cos x_{1} \\ x_{1}x_{2} \end{matrix} ) , g(y_{1}, y_{2}, y_{3}) = y_{1}^{2} − y_{2}^{2} + y_{3}

c) Bestimme die Jacobimatrix von f und die Jacobimatrix der inversen Abbildung f^{−1}:

f : ℝ × ℝ^{+} → ℝ^{+} × ℝ, f(x, y) = ( \begin{matrix}y^{2} \\ xy \end{matrix} )

(9 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.