Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 5

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 18. Mai 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 25. Mai 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 20: Sei g : ℝ → [0, 1] eine stetige Funktion mit Periode 2, es gelte

g(t) = \{ \begin{matrix}0 & falls 0 ≤ t ≤ \frac{1}{3}, \\ 1 & falls \frac{2}{3} ≤ t ≤ 1. \end{matrix}

Definiere

f : [0, 1] → ℝ^{2}, f(t) = (∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}g(3^{2k−2}t), ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}g(3^{2k−1}t))

a) Zeige, daß f existiert, d.h. daß die Reihen konvergieren.

b) Zeige, daß f stetig ist.

c) Zeige: im f = [0, 1]^{2}, d.h. f : [0, 1] → [0, 1]^{2} ist surjektiv. Hinweis zu c): Nutze eine Binärdarstellung (0.x_{1}x_{2}x_{3} …, 0.y_{1}y_{2}y_{3} …) von (x, y) ∈ [0, 1]^{2}, um einen Punkt t ∈ [0, 1] mit f(t) = (x, y) zu konstruieren. (10 Punkte)

Aufgabe 21: Sei I ⊂ ℝ ein Intervall, sei f : I → ℝ differenzierbar. Definiere

g : I^{2} → ℝ, g(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x) − f(y)}{x − y} & falls x ≠ y \\ f′(x) & falls x = y \end{matrix}

Zeige, daß g genau dann stetig ist, wenn f′ stetig ist. (10 Punkte)

Aufgabe 22: Untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen stetig sind und in welchen differenzierbar. Berechne die Richtungsableitungen im Nullpunkt, soweit existent:

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{4} + x^{3} + xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} & falls (x, y) ≠ 0 \\ 0 & falls (x, y) = 0 \end{matrix}

g(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y^{3}}{x^{4} + y^{4}} & falls (x, y) ≠ 0 \\ 0 & falls (x, y) = 0 \end{matrix}

h(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2} + y}{x^{2} + y^{2}} & falls (x, y) ≠ 0 \\ c & falls (x, y) = 0, wobei c ∈ ℝ. \end{matrix}

(9 Punkte)

Aufgabe 23:

a) Untersuche, in welchen Punkten die p-Normen

∥ · ∥_{p} : ℝ^{n} → ℝ, x ↦ ∥x∥_{p}

mit p ∈ ℕ ∪ {∞} differenzierbar sind.

b) Untersuche, in welchen Punkten die von einem Skalarprodukt induzierten Normen differenzierbar sind, d.h. die Funktionen

ℝ^{n} → ℝ, x ↦ \sqrt{<x, x>}

für ein beliebiges Skalarprodukt <·, ·> des ℝ^{n}. (8 Punkte)

Aufgabe 24: Für n ∈ ℕ ist die Polarkoordinatenabbildung definiert durch

P_{n} : ℝ^{n} → ℝ^{n}, P_{n}(r, φ_{1}, …, φ_{n−1}) = r ( cos φ_{1} cos φ_{2} cos φ_{3} …cos φ_{n−2} cos φ_{n−1} sin φ_{1} cos φ_{2} cos φ_{3} …cos φ_{n−2} cos φ_{n−1} sin φ_{2} cos φ_{3} …cos φ_{n−2} cos φ_{n−1} ⋮ sin φ_{n−2} cos φ_{n−1} sin φ_{n−1} )

a) Finde eine rekursive Darstellung von P_{n}.

b) Zeige ∥P_{n}(r, φ_{1}, …, φ_{n−1})∥_{2} = |r|.

c) Zeige, daß P_{n} differenzierbar ist und daß die Spalten der Jacobimatrix P′_{n} ein Orthogonalsystem bilden, d.h. daß D = P′_{n}^{T} P′_{n} eine Diagonalmatrix ist. Welchen Wert haben die Diagonaleinträge von D?

d) Zeige, daß die Funktionaldeterminante von P_{n} folgenden Wert hat:

det P′_{n}(r, φ_{1}, …, φ_{n−1}) = r^{n−1} ∏_{k=2}^{n−1} cos^{k−1} φ_{k}.

Hinweis: Für d) ist c) nützlich. (12 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.