Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 4

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 11. Mai 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 18. Mai 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 15: Bestimme den Definitionsbereich folgender Funktionen und untersuche sie auf Stetigkeit und stetige Fortsetzbarkeit nach ℝ^{2}:

f(x, y) = \frac{xy}{x + y^{2}} g(x, y) = \frac{xy}{|x| + y^{2}}

(10 Punkte)

Aufgabe 16:

a) Sei D ⊂ ℝ^{n} kompakt, sei E ⊂ ℝ^{n} und sei f : D → E stetig und bijektiv. Zeige, daß die Umkehrabbildung f^{−1} : E → D ebenfalls stetig ist.

b) Finde eine nichtkompakte Menge D ⊂ ℝ, eine Menge E ⊂ ℝ und eine stetige und bijektive Funktion f : D → E, deren Umkehrfunktion nicht stetig ist. (10 Punkte)

Aufgabe 17: Sei f : ℝ^{n} → ℝ^{m} eine Abbildung, sei G = {(x, f(x))} ⊂ ℝ^{n+m} ihr Graph. Finde eine möglichst einfache Bedingung an f, die äquivalent zur Abgeschlossenheit von G ist. (10 Punkte)

Aufgabe 18: Zeige, daß die triviale Metrik

d(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & falls x = y \\ 1 & falls x ≠ y \end{matrix}

auf dem ℝ^{n} nicht von einer Norm induziert wird, d.h. daß es keine Norm N des ℝ^{n} mit d(x, y) = N(x − y) gibt. (5 Punkte)

Aufgabe 19: Betrachte drei topologische Räume:

X_{1} = ℝ mit der diskreten Topologie:
𝒯_{1} = {A ⊂ ℝ} = 2^{ℝ} = Potenzmenge von ℝ
X_{2} = ℝ mit der gewöhnlichen Topologie:
𝒯_{2} = {A ⊂ ℝ : ∀x ∈ A ∃ε > 0 : (x − ε, x + ε) ⊂ A}
X_{3} = ℝ mit der indiskreten Topologie:
𝒯_{3} = {∅, ℝ}

a) Wie sehen die konvergenten Folgen in X_{1}, X_{2} und X_{3} jeweils aus?

b) Wie sehen die stetigen Funktionen f_{ij} : X_{i} → X_{j} jeweils aus, d.h. diejenigen Funktionen, die der Bedingung

∀x ∈ X_{i} ∀V ∈ 𝒯_{j} mit f_{ij}(x) ∈ V ∃U ∈ 𝒯_{i} mit x ∈ U : f_{ij}(U) ⊂ V

genügen? (10 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.