Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 3

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 4. Mai 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 11. Mai 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 10: Seien A ⊂ ℝ^{m} und B ⊂ ℝ^{n}.

a) Zeige

\overline{A × B} = \overline{A} × \overline{B}, (A × B)^{∘} =A^{∘} × B^{∘},

b) Zeige

∂(A × B) = (∂A × \overline{B}) ∪ (\overline{A} × ∂B)

c) Zeige für m = n

\overline{A} ∪ \overline{B} = \overline{A ∪ B}, A^{∘} ∩ B^{∘}= (A ∩ B)^{∘}

Finde jeweils Mengen A und B, so daß

\overline{A} ∩ \overline{B} ≠ \overline{A ∩ B},  A^{∘} ∪ B^{∘}≠ (A ∪ B)^{∘}

d) Zeige

A^{∘}^{∘}=A^{∘},  \overline{\overline{A}} = \overline{A}  (10 Punkte)

Aufgabe 11: Finde eine offene Überdeckung des Intervalls (0, 1), die keine endliche Teilüberdeckung besitzt.

(5 Punkte)

Aufgabe 12:

a) Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt, sei A ⊂ ℝ^{n} abgeschlossen, und es gelte K ∩ A = ∅. Bezüglich einer beliebigen Norm N des ℝ^{n} bezeichne d(x, y) := N(x−y) den Abstand der Punkte x, y ∈ ℝ^{n}. Zeige:

d(A, K) := inf{d(a, k) : a ∈ A, k ∈ K} > 0

b) Stimmt die Aussage auch noch, wenn beide Mengen lediglich als abgeschlossen vorausgesetzt werden? (Beweis bzw. Gegenbeispiel) (12 Punkte)

Aufgabe 13: Beweise das Lebesguesche Lemma: Sei K ⊂ ℝ^{n} kompakt und 𝔐 = {M_{i} : i ∈ I} eine offene Überdeckung von K. Dann gibt es eine Zahl λ > 0 mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Teilmenge A ⊂ K mit

diam(A) := sup{∥x − y∥_{2} : x, y ∈ A} < λ

existiert ein i ∈ I mit A ⊂ M_{i}. (15 Punkte)

Aufgabe 14: Zu x_{0} ∈ ℝ^{n}, ε > 0 und einer Norm N des ℝ^{n} sei

B_{ε,N}(x_{0}) := {x ∈ ℝ^{n} : N(x − x_{0}) < ε}

die ε-Normkugel bzgl. N um x_{0}. Zeige, daß B_{ε,N}(x_{0}) konvex ist. (5 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.