Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis II Sommersemester 2001 Aufgabenblatt 2

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 27. April 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 4. Mai 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 5:

a) Sei M eine beliebige Menge. Zeige, daß

d(m, n) := \{ \begin{matrix}0 & falls m = n \\ 1 & falls m ≠ n \end{matrix}

eine Metrik auf M ist. (Sie heißt die triviale Metrik.)

b) Ist

d(f, g) := |f(0) − g(0)|

eine Metrik auf C^{0}([0, 1])?

c) Für welche a_{i} ∈ ℝ ist

N(x) := ∑_{i=1}^{n} a_{i}|x_{i}|

eine Norm auf ℝ^{n}?

d) Sind folgende Funktionen ℝ^{2} → ℝ Skalarprodukte auf dem ℝ^{2}?

<x, y >_{1} := x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + x_{2}y_{2}
<x, y >_{2} := 2x_{1}y_{1} − x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} + 2x_{2}y_{2}
<x, y >_{3} := 2x_{1}y_{1} − x_{1}y_{2} + 2x_{2}y_{2}
<x, y >_{4} := x_{1}^{2}y_{1} + x_{2}y_{2}^{2} (8 Punkte)

Aufgabe 6:

a) Sei f : ℝ_{0}^{+} → ℝ_{0}^{+} stetig differenzierbar und monoton wachsend. Die Ableitung f′ sei monoton fallend. Es gelte f(0) = 0 und f|_{ℝ^{+}} > 0. Zeige, daß

d(x, y) := f(|x − y|)

eine Metrik auf ℝ ist.

b) Zeige, daß insbesondere

d(x, y) := arctan(|x − y|)

eine Metrik auf ℝ ist.

c) Sei ℝ^{ℕ} = {(a_{k})_{k∈ℕ}, a_{k} ∈ ℝ} die Menge aller (nicht notwendigerweise konvergenten) reellen Folgen. Zeige, daß

d((a_{k})_{k∈ℕ}, (b_{k})_{k∈ℕ}) := ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k} \frac{|a_{k} − b_{k}|}{1 + |a_{k} − b_{k}|}

konvergiert und eine Metrik auf ℝ^{ℕ} ist. (10 Punkte)

Aufgabe 7:

a) Zeige, daß eine Norm ∥ · ∥ auf dem ℝ^{n}, n ∈ ℕ, genau dann von einem Skalarprodukt < ·, · > induziert wird (d.h. ∀x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ = \sqrt{<x, x>}), wenn sie der Parallelogrammidentität genügt:

∀x, y ∈ ℝ^{n} : ∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2∥x∥^{2} + 2∥y∥^{2}

Hinweis zu ”⇐“: Zeige die Identität < cx, y >= c < x, y > zunächst für c ∈ ℕ, dann für c ∈ ℚ und schließlich für c ∈ ℝ.

b) Sei ab jetzt n ≥ 2. Zeige, daß die p-Norm ∥x∥_{p} := ^{p} \sqrt{|x_{1}|^{p} + … + |x_{n}|^{p}} mit p ∈ ℕ genau dann von einem Skalarprodukt induziert wird, wenn p = 2 ist. Wie sieht das Skalarprodukt in diesem Fall aus?

c) Zeige, daß die Maximumsnorm ∥x∥_{∞} := max{|x_{1}|, …, |x_{n}|} nicht von einem Skalarprodukt induziert wird. (12 Punkte)

Aufgabe 8:

a) Welche der folgenden Mengen sind offen und welche abgeschlossen? Beschreibe diese Mengen möglichst einfach in Worten. Skizziere sie von Hand für n = 3.

A = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{1} = 1}
B = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} ≤ 1}
C = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{∞} < 1}
D = {x ∈ ℝ^{3} : x_{1}x_{2}x_{3} ≤ 0, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} > 1}
E = {x ∈ ℝ^{n} : a · x > 2} mit a ∈ ℝ^{n}

(10 Punkte)

Aufgabe 9: Finde für ein n ∈ ℕ deiner Wahl eine Menge M ⊂ ℝ^{n}, so daß die Mengen

M, M^{∘}, \overline{M}, \overline{M^{∘}}, \overline{M}^{∘}, \overline{M^{∘}}^{∘}, \overline{\overline{M}^{∘}}

paarweise verschieden sind. (10 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis2 verfügbar.