Analysis II

gehört bei Prof. Dr. M. Griebel

Sommersemester 2001

Inhaltsverzeichnis

1 Topologie des ℝ^{n} 4 1.1 Skalarprodukt. Norm. Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Folgen. Reihen. Konvergenz in ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Offene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Konvexe Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Stetige Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m} 17 2.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Allgemeinere Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Peano-Hilbert-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Differentiation von f : ℝ^{n} → ℝ^{m} 27 3.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Höhere Ableitungen. Taylorscher Satz . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5 Zweite Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6 Lineare Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7 Maximumprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.8 Nablakalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.9 Fixpunktsatz von Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.10 Umkehrsatz. Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 75

4.1 Problemstellung. Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Existenz. Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Lösungsmethoden für GDGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Variationsrechnung (Ausblick) 96

Einführung

Die Betrachtungen von Analysis I blieben im wesentlichen auf Funktionen f von ℝ nach ℝ beschränkt.

Die reellen Zahlen erfüllen die Axiome eines vollständigen, geordneten Körpers. Als Körper ist ℝ Vektorraum über sich selbst: eindimensionaler ℝ-Vektorraum, üblicherweise dargestellt als «Zahlengerade». Dies rechtfertigt die gleichwertigen Schreibweisen:

f : ℝ → ℝ und f : ℝ^{1} → ℝ^{1}.

Ziel der Vorlesung

• Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen

• Einführung in gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

• Variationsrechnung (Ausblick)

Hierzu werden die kommenden Betrachtungen auf Abbildungen f von endlichdimensionalen ℝ-Vektorräumen ℝ^{n} in endlichdimensionale ℝ-Vektorräume ℝ^{m} erweitert, in Zeichen (i.Z.)

f : ℝ^{n} → ℝ^{m} mit 1 ≤ n < ∞, 1 ≤ m < ∞, n, m ∈ ℕ.

Es zeigt sich, daß die im Eindimensionalen gewonnenen Ergebnisse vielfach auf n-dimensionale Betrachtungen «analog» übertragen und verallgemeinert werden können. In vielen Bereichen kommt es jedoch zu neuartigen Fragestellungen, gegenüber deren Antworten bisherige Ergebnisse zu Spezialfällen werden oder sich als Vereinfachungen erweisen.

Es ist zweckmäßig, zu n-Tupeln (Vektoren) und im weiteren auch zu Matrizen überzugehen, was u.a. die Einführung von Normen erfordert, die an die Stelle des Betrages |x| einer Zahl x treten. Letzterer wird zum Spezialfall.

Wo möglich und geboten, werden Vektorräume über dem Körper ℂ in die Betrachtungen einbezogen.

Literatur zur Vorlesung

• Barner M.; Flohr F.: Analysis I, Analysis II. De Gruyter, 2000, 1996

• Erwe F.: Differential- und Integralrechnung I, II. Bibliographisches Institut, 1968

• Forster O.: Analysis 1, Analysis 2. Vieweg, 1999

• Heuser H.: Lehrbuch der Analysis Teil 1, Teil 2. Teubner, 1994, 1995

• Königsberger K.: Analysis 1, Analysis 2. Springer, 1993

• Zeidler E. (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik Teil 1, Teil 2. Teubner, 1996, 1995

Bemerkungen zur Notation

Im Schriftbild werden Abbildungen und Funktionen (als Bezeichnung vorrangig gebräuchlich für Abbildungen in die Zielmenge ℝ) oder n-Tupel (Vektoren) und Zahlen (Skalare) nicht unterschieden; Ausnahme: Kapitel 3.8 Nablakalkül.

Erinnerung

Eine nichtleere Menge V heißt Vektorraum oder linearer Raum über dem Körper K, wenn auf V die beiden Verknüpfungen (Operationen)

1. der Addition der Elemente x ∈ V: für je zwei Elemente x, y ∈ V gibt es ein Element z ∈ V mit z = x + y, ihre Summe,

2. der Multiplikation mit Elementen c ∈ K: für jedes x ∈ V und jedes c ∈ K gibt es ein y ∈ V mit y = cx, das Produkt aus x und dem Skalar c,

erklärt und dabei die Vektorraumaxiome (vgl. Vorlesung Lineare Algebra I) erfüllt sind. V heißt reeller bzw. komplexer Vektorraum, wenn K der Körper ℝ der reellen bzw. der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist. Die Elemente von V heißen Punkte (Vektoren). Sie werden als n-Tupel x ∈ V mit

x := (x_{1}, …, x_{n}) , x_{i} ∈ K, i, n ∈ ℕ

dargestellt.

Sei V := ℝ^{n}, K := ℝ, x ∈ V mit x := (x_{1}, …, x_{n}) , x_{i} ∈ ℝ und c ∈ ℝ. Gelten

1. die Vektoraddition x + y = (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n}) und

2. die Skalarmultiplikation cx = (cx_{1}, …, cx_{n}) ,

so wird ℝ^{n} zum ℝ- oder reellen Vektorraum.

Mit 0 := (0, …, 0) ist - wie üblich - der Nullvektor bezeichnet.

1 Topologie des ℝ^{n}

1.1 Skalarprodukt. Norm. Abstand

Sei ℝ^{n} Vektorraum über ℝ, x, y ∈ ℝ^{n} und c ∈ ℝ.

Definition 1.1 (Skalarprodukt)

Die Funktion ⟨ , ⟩ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ, definiert durch

(x, y) ↦ ⟨x, y⟩ := ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i},

heißt Skalarprodukt von x und y, i.Z. auch ⟨ | ⟩ ,x x x · yyy,x x xyyy. Bemerkung

x, y heißen orthogonal (i.Z. x⊥y), falls ⟨x, y⟩ = 0. Definition 1.2 (Norm auf ℝ^{n})

Eine Funktion N : ℝ^{n} → ℝ mit den Eigenschaften

\begin{matrix}(1) & N (x) > 0, falls x ≠ 0 \\ (2) & N (cx) = |c| N (x) \\ (3) & N (x + y) ≤ N (x) + N (y) \end{matrix}

heißt Norm auf ℝ^{n}, i.Z. auch ∥x∥ oder ∥·∥. Bemerkung

Für n = 1 sind alle Normen mit N(x) = c |x| mit beliebigem c > 0 beschrieben. Für n > 1 gibt es viele Möglichkeiten, Def. 1.2 zu erfüllen. Da Normen im Endlichdimensionalen einander äquivalent sind (vgl. Def. 1.6 und Satz 1.9), kommt es auf eine geschickte Auswahl für die jeweilige Fragestellung an.

Beispiele

∥x∥_{2} := \sqrt{⟨x, x⟩}  EUKLIDische Norm
∥x∥_{p} := (|x_{1}|^{p} + ⋯ + |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} p − Norm
∥x∥_{∞} := max {|x_{1}| , …, |x_{n}|} Maximumsnorm

Bemerkung

\frac{1}{\sqrt{n}} ∥x∥_{2} ≤ ∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{2} bzw. ∥x∥_{∞} ≤ ∥x∥_{2} ≤ \sqrt{n} ∥x∥_{∞} .

Definition 1.3 (Euklidischer Abstand)

Sei ℝ^{n} versehen mit der Euklidischen Norm.

d(x, y) := ∥x − y∥_{2}

heißt euklidischer Abstand, i.Z. auch dist(x, y), i.W. auch Distanz, Entfernung.

Bemerkung Zur Verallgemeinerung von Abstand zu Metrik auf einer Menge X siehe Def. nach Satz 1.4.

Satz 1.1 (Eigenschaften des Skalarprodukts)

Das Skalarprodukt ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform:

⟨x, x⟩ ≥ 0  positiv definit
⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0
⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩  symmetrisch
⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩
⟨z, x + y⟩ = ⟨z, x⟩ + ⟨z, y⟩
⟨cx, y⟩ = c ⟨x, y⟩
⟨x, cy⟩ = c ⟨x, y⟩

Satz 1.2 (Eigenschaften der Euklidischen Norm)

Die Euklidische Norm ∥x∥_{2} := \sqrt{⟨x, x⟩} hat die Eigenschaften

∥x∥_{2} ≥ 0,  ∥x∥_{2} = 0 ⇔ x = 0
∥cx∥_{2} = |c| ∥x∥_{2}
∥x + y∥_{2} ≤ ∥x∥_{2} + ∥y∥_{2} Dreiecksungleichung

Satz 1.3 (Schwarzsche Ungleichung. Lineare Abhängigkeit)

Mit der Notation für die Euklidische Norm gilt

⟨x, y⟩^{2} ≤ ∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2}

sowie

⟨x, y⟩ = ∥x∥_{2} ∥y∥_{2} ⇔ x und y sind linear abhängig.

Beweis von Satz 1.3 (Schwarzsche Ungleichung) Die Schwarzsche Ungleichung ist für x = 0 oder y = 0 offensichtlich richtig. Sei jetzt y ≠ 0, c ∈ ℝ. Wegen der Eigenschaften des Skalarproduktes ist

0 ≤ ⟨x + cy, x + cy⟩
= ⟨x, x + cy⟩ + ⟨cy, x + cy⟩
= ⟨x, x⟩ + ⟨x, cy⟩ + ⟨cy, x⟩ + ⟨cy, cy⟩
= ⟨x, x⟩ + 2c ⟨x, y⟩ + c^{2} ⟨y, y⟩
= ∥x∥_{2}^{2} + 2c ⟨x, y⟩ + c^{2} ∥y∥_{2}^{2} .

Mit c = −\frac{⟨x,y⟩}{∥y∥_{2}^{2}} wird

0 ≤ ∥x∥_{2}^{2} − \begin{matrix}⟨x, y⟩ & 2 \\ ∥y∥ & {2 \atop 2} \end{matrix} ,
0 ≤ ∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2} − ⟨x, y⟩^{2} ,
⟨x, y⟩^{2} ≤ ∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2} .

□

Beweis von Satz 1.3 (Lineare Abhängigkeit) Lineare Abhängigkeit ⇒ Gleichheit. Sei x = cy. Dann gilt

⟨x, y⟩^{2} = ⟨cy, y⟩^{2}
= c^{2} ∥y∥_{2}^{4}
= ∥cy∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2}
= ∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2} .

Gleichheit ⇒ lineare Abhängigkeit. Sei ⟨x, y⟩^{2} = ∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2} und y ≠ 0. Dann gibt es ein c = \frac{⟨x,y⟩}{∥y∥_{2}^{2}}, so daß x = cy. Denn

⟨x − cy, x − cy⟩ = ⟨x − \frac{⟨x, y⟩}{∥y∥_{2}^{2}}y, x − \frac{⟨x, y⟩}{∥y∥_{2}^{2}}y⟩
= \frac{∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2} − |⟨x, y⟩|^{2}}{∥y∥_{2}^{2}}
= 0.
□

Beweis der Dreiecksungleichung mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung Für die Euklidischen Norm gilt

∥x + y∥_{2}^{2} = ⟨x + y, x + y⟩
= ∥x∥_{2}^{2} + 2 ⟨x, y⟩ + ∥y∥_{2}^{2}
≤ ∥x∥_{2}^{2} + 2 ∥x∥_{2} ∥y∥_{2} + ∥y∥_{2}^{2}
= |∥x∥_{2} + ∥y∥_{2}|^{2} .
□

Bemerkung Lineare Abhängigkeit, Gleichheit in der Schwarzschen Ungleichung und Gleichheit in der Dreiecksungleichung sind äquivalent.

x = cy ⇔ ⟨x, y⟩^{2} = ∥x∥_{2}^{2} ∥y∥_{2}^{2}
⇔ ∥x + y∥_{2} = ∥x∥_{2} + ∥y∥_{2} .

Satz 1.4 (Eigenschaften des Abstandes)

\begin{aligned}d (x, y) & ≥ & 0 \\ d (x, y) & = & 0 ⇔ x = y \\ d (x, y) & = & d (y, x) \\ d (x, y) & ≤ & d (x, z) + d (z, y) \end{aligned}

Metrik

Sei X eine Menge. Eine Abbildung d : X × X → ℝ mit den Eigenschaften des Abstandes nach Satz 1.4 heißt Metrik auf X.

Bezeichnungen

• (ℝ^{n}; ⟨ , ⟩) heißt euklidischer Vektorraum

• (ℝ^{n}; ∥·∥) heißt normierter Vektorraum

• (ℝ^{n}; d ( , )) heißt metrischer Vektorraum

1.2 Folgen. Reihen. Konvergenz in ℝ^{n}

Für Folgen, Reihen und Konvergenz lassen sich die in ℝ^{1} notierten Definitionen im wesentlichen durch Ersetzen des absoluten Betrages |·| durch die Norm ∥·∥, hier zunächst die Maximumsnorm ∥·∥_{∞}, auf ℝ^{n} übertragen.

Definition 1.4 (konvergente Folge)

Sei x_{k} = (x_{1,k}, …, x_{n,k}) ∈ ℝ^{n} Folgenglied. Die Folge (x_{k}) heißt konvergent

gegen a = (a_{1}, …, a_{n}), wenn

lim_{k} ∥x_{k} − a∥_{∞} = 0, i.Z. lim x_{k} = a.

Satz 1.5

Die Folge (x_{k}) konvergiert ⇔ Jede Komponentenfolge (x_{i,k}) , i = 1, …, n konvergiert.

Bemerkung (Beweisansatz) ∀i = 1, …, n :

\begin{aligned}|x_{i,k} − a_{i}| & ≤ & ∥x_{k} − a∥_{∞} \\ ∥x_{k} − a∥_{∞} & ≤ & |x_{1,k} − a_{1}| + … + |x_{n,k} − a_{n}| \end{aligned}

Satz 1.6 (Cauchysches Konvergenzkriterium in ℝ^{n}).

Die Folge (x_{k}) konvergiert ⇔ Es gilt das Cauchysches Konvergenzkriterium

∀ε > 0 ∃k_{0} ∀k ≥ k_{0} ∀p > 0 ∥x_{k+p} − x_{k}∥_{∞} < ε.

Beweis

analog Beweis zu Analysis I Satz 2.10 für erste Komponentenfolge mit i = 1 in ℝ^{1} und sukzessiver Hinzunahme der Komponentenfolgen mit i = 2, …, n. □

Bemerkung

Die Rechenregeln für konvergente Folgen in ℝ^{1} können auf ℝ^{n} übertragen werden.

Definition 1.5 (beschränkte Folge)

Die Folge (x_{k}) heißt beschränkt, wenn ∃c ∈ ℝ ∀k ∈ ℕ ∥x_{k}∥_{∞} < c.

Satz 1.7 (Satz von Bolzano-Weierstrass in ℝ^{n})

Jede beschränkte Folge (x_{k}) besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis Satz 1.7 gelte in ℝ^{1} als bewiesen. Betrachte Komponentenfolgen (x_{i,k}). Diese sind für alle i = 1, …, n beschränkt. 1.Schritt: Für i = 1 besitzt (x_{1,k}) eine konvergente Teilfolge (x_{1,k′}). Gehe für (x_{k}) zu dieser bzgl. k über: (x_{k′}). 2.Schritt: Für i = 2 besitzt (x_{2,k′}) eine konvergente Teilfolge (x_{2,k′′}). Gehe für (x_{k}) zu dieser bzgl. k über: (x_{k′′}). Nach n Schritten ergibt sich (x_{k^{(n)}}) mit der Eigenschaft, daß jede Komponentenfolge konvergiert ⇒ (x_{k^{(n)}}) konvergiert. □ Mit der Verwendung der Maximumsnorm ∥·∥_{∞} ist die Reduktion auf Eigenschaften der Komponentenfolgen einfach möglich. Dies bedeutet aber keine Auszeichnung dieser Norm:

Satz 1.8 Sei N eine Norm auf ℝ^{n}. Dann gilt ∀N ∃a, b > 0 :

\begin{matrix}i) & N(x) ≤ a ∥x∥_{∞} \\ ii) & ∥x∥_{∞} ≤ bN(x) \end{matrix}

Beweis zu i) Sei x = (x_{1}, …, x_{n}) dargestellt als Linearkombination x = x_{1}e_{1} + … + x_{n}e_{n}.

N(x) = N (x_{1}e_{1} + … + x_{n}e_{n})
≤_{(3)} N (x_{1}e_{1}) + … + N (x_{n}e_{n})
=_{(2)} |x_{1}| N (e_{1}) + … + |x_{n}| N (e_{n})
≤ ∥x∥_{∞} (N(e_{1}) + … + N(e_{n})) .

Dabei bedeutet (3) die Eigenschaft (3) der Norm nach Def. 1.2, (2) entsprechend. Mit a := N(e_{1}) + … + N(e_{n}) folgt die Aussage i). □ Beweis zu ii) (indirekt): Annahme ¬∃b > 0. Dann kann man zu jedem b ∈ ℕ jeweils ein x_{k} finden mit ∥x_{k}∥_{∞} < kN(x_{k}) und wegen der Eigenschaft (2) der Norm ⇒ N (\frac{x_{k}}{∥x_{k}∥_{∞}} ) < \frac{1}{k}. Mit y_{k} = \frac{x_{k}}{∥x_{k}∥_{∞}} und N(y_{k}) < \frac{1}{k} ergibt sich daraus ein Widerspruch. Denn wegen ∥y_{k}∥_{∞} = 1 ist (y_{k}) beschränkt ⇒ ∃ eine konvergente Teilfolge (z_{k}) mit Grenzwert z bzw. lim_{k} ∥z_{k} − z∥_{∞} = 0.

Mit i) N (z_{k} − z) ≤ a ∥z_{k} − z∥_{∞} ergibt sich

N(z) = N(z − z_{k} + z_{k})
≤ N(z − z_{k}) + N(z_{k})
≤ a ∥z − z_{k}∥_{∞} + N(z_{k}).

Zudem folgt aus N(y_{k}) < \frac{1}{k}, daß für die Teilfolge (z_{k}) gilt: lim_{k} N(z_{k}) = 0 ⇒ N(z) = 0 ⇒ z = 0. Andererseits gilt: z_{k} = z + (z_{k} − z), ∥z_{k}∥_{∞} = 1 ⇒ 1 ≤ ∥z∥_{∞} + ∥z_{k} − z∥_{∞} ⇒ ∥z∥ ≥ 1 ⇒ z ≠ 0. Widerspruch □

Definition 1.6 (Äquivalenz von Normen)

Eine Norm N′ heißt äquivalent zu einer Norm N (i. Z. N′ ∼ N), falls ∃a, b > 0 ∀x ∈ ℝ^{n} aN(x) ≤ N′(x) ≤ bN(x)

Beachte: a, b dieser Def. sind unabhängig von den a, b in Satz 1.8! Satz 1.9 (Äquivalenz von Normen)

Je zwei Normen auf ℝ^{n} mit n < ∞ sind äquivalent.

Beweis Nach Def. 1.6 und Satz 1.8 gilt: N ∼ ∥·∥_{∞} ∧ N′ ∼ ∥·∥_{∞} ⇒ N ∼ N′. Noch zu zeigen, daß Äquivalenzrelation gegeben, d.h. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität:

• Jede Norm ist zu sich selbst äquivalent.

• aN(x) ≤ N′(x) ≤ bN(x) ⇒ \frac{1}{b}N′(x) ≤ N(x) ≤ \frac{1}{a}N′(x).

• (aN(x) ≤ N′(x) ≤ bN(x)) ∧ (a′N′(x) ≤ N′′(x) ≤ b′N′(x)) ⇒ aa′N(x) ≤ N′′(x) ≤ bb′N(x). □

Definition 1.7 (Reihe. Reihensumme)

Eine Folge von Teilsummen

(s_{k}) = (∑_{j=1}^{k} x_{j})

heißt (unendliche) Reihe. Wenn existent, wird der Grenzwert

lim_{k→∞} s_{k} = s = ∑_{k=1}^{∞} x_{k}

als Reihensumme bezeichnet.

Satz 1.10 Die Reihe ∑_{j=1}^{∞} x_{j} konvergiert ⇔ Jede ihrer Komponentenreihen ∑_{i=1}^{∞} x_{ij}, i = 1, …, n konvergiert.

Definition 1.8 (absolute Konvergenz. Norm-Konvergenz) Die Reihe ∑_{j=1}^{∞} x_{j} heißt absolut konvergent (Norm-konvergent), wenn die Reihe ∑_{j=1}^{∞}∥x_{j}∥ konvergiert.

Bemerkung Wegen

∥ ∑_{j=k+1}^{k+p} x_{j}∥ ≤ ∑_{j=k+1}^{k+p} ∥x_{j}∥

und Cauchyschem Konvergenzkriterium gilt: absolut konvergent ⇒ konvergent.

Bemerkung absolut konvergente Reihe ⇔ n Komponentenreihen absolut konvergent.

1.3 Offene Mengen

Definition 1.9 (ε-Umgebung)

Sei ε > 0, x_{0} ∈ ℝ^{n}.

U_{ε} (x_{0}) := {x | ∥x − x_{0}∥ < ε}

heißt ε-Umgebung von x_{0}.

Beispiele

• U_{ε} (x_{0}) := {x | ∥x − x_{0}∥_{2} < ε} ε-Umgebung von x_{0} bzgl. der Euklidischen Norm: «Kugel». Diese Norm bewirkt eine Umgebung, die nach allen Richtungen hin «isotrop» ist.

• W_{ε} (x_{0}) := {x | ∥x − x_{0}∥_{∞} < ε} ε-Umgebung von x_{0} bzgl. der Maximumsnorm: «Würfel».

Bemerkung

W_{\frac{ε}{\sqrt{n}}} (x_{0}) ⊂ U_{ε} (x_{0}) ⊂ W_{ε} (x_{0})

Bemerkung Norm in Umgebungsdefinition beliebig wählbar: Umgebung ist immer konvex.

Definition 1.10 (Umgebung)

U = U (x_{0}) heißt Umgebung von x_{0} ⇔ Es gibt eine ε-Umgebung mit U_{ε} (x_{0}) ⊂ U (x_{0}).

Definition 1.11 (offene Umgebung. abgeschlossene Umgebung)

U ⊂ ℝ^{n} heißt offen ⇔ U ist Umgebung eines jeden Punktes x ∈ U. M ⊂ ℝ^{n} heißt abgeschlossen ⇔ M^{c} = ℝ^{n} \ M ist offen.

Beispiele

• U_{ε} (x_{0}) , W_{ε} (x_{0}) sind offen

• {x | ∥x − x_{0}∥ ≤ ε} ist nicht offen, aber abgeschlossen

Satz 1.11 ∅ ist offen und abgeschlossen. ℝ^{n} ist offen und abgeschlossen. Sei U_{i}, i ∈ I Familie von offenen Mengen, dann ist U = ⋃_{i∈I} U_{i} offen. Sind U, V offen, dann ist U ∩ V offen. (Gilt analog für beliebige Schnitte und für endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen.)

Topologie. Topologischer Raum Sei X eine Menge, T eine Menge von Teilmengen von X mit den Eigenschaften von Satz 1.11., d.h.

• ∅, X ∈ T ,

• Vereinigung beliebig vieler Mengen von T gehören zu T ,

• Durchschnitt endlich vieler Mengen von T gehören zu T .

Dann heißt (X; T ) topologischer Raum und T als Menge der offenen Mengen von X heißt Topologie.

Das System der offenen Mengen des metrischen Vektorraumes ℝ^{n} ist eine Topologie. Da jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum ist, gilt der nachstehende

Satz 1.12 (Trennungssatz)

Sei x ≠ y, dann existieren stets Umgebungen U (x), V (y) mit U ∩ V = ∅. Folgerung

{x} ist abgeschlossen. Definition 1.12 (abgeschlossene Hülle. Inneres. Rand)

Sei M ⊂ ℝ^{n}. Dann heißt M̄ = ⋂ {M′ | M′ abgeschlossen, M′ ⊃ M} abgeschlossene Hülle von M, M^{o} = ⋃ {U | U offen, U ⊂ M} Inneres von M, M̄ \ M^{o} = bM = ∂M Rand von M (b wie «boundary»).

Bemerkung Es gilt M^{o} ⊂ M ⊂ M̄ mit M^{o} offen, M̄ abgeschlossen.

Beispiel 1 ε-Umgebung U_{ε} (x_{0}) = {x | ∥x − x_{0}∥_{2} < ε}

• U_{ε}^{o} (x_{0}) = U_{ε} (x_{0}),

• \overline{U_{ε} (x_{0})} = \{x | ∥x − x_{0}∥_{2} ≤ ε\},

• ∂U_{ε} (x_{0}) = {x | ∥x − x_{0}∥_{2} = ε}.

Beispiel 2 x-Achse M = {(x, 0) | x ∈ ℝ} ⊂ ℝ^{2}

• M^{o} = ∅,

• M̄ = M,

• ∂M = M.

Beispiel 3 M = ℚ^{n}

• M^{o} = ∅,

• M̄ = ℝ^{n},

• ∂M = ℝ^{n}.

Definition 1.13 (Häufungspunkt. Limes)

i) x_{0} heißt Häufungspunkt der Folge (x_{j}) :⇔ In jeder Umgebung von x_{0} liegen unendlich viele x_{j}. ii) x_{0} heißt Limes der Folge (x_{j}), i.Z. lim x_{j} = x_{0} :⇔ In jeder Umgebung von x_{0} liegen fast alle x_{j}.

Bemerkung

• Limites eindeutig bestimmt

• (x_{j}) konvergiert ⇔ (x_{j}) ist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt (vgl. Cauchy-Folgen)

• Rechenregeln

lim (x_{j} + y_{j}) = lim x_{j} + lim y_{j}
lim cx_{j} = c lim x_{j}
lim ⟨x_{j}, y_{j}⟩ = ⟨lim x_{j}, lim y_{j}⟩

Satz 1.13 Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. M abgeschlossen

2. M = M̄

3. ∂M ⊂ M

4. Jeder Häufungspunkt von M liegt in M.

Satz 1.14 (Abgeschlossene Hülle)

M̄ = M^{o} ∪ ∂M = M∪{Häufungspunkte von M}.

Beweis (zu Satz 1.13)

1. ⇒ 2.: M ⊂ M̄ = ⋂ {M̄ ⊂ M | M̄ abgeschlossen} ⊂ M.

2. ⇒ 3.: ∂M ⊂ M̄ = M.

3. ⇒ 4.: ∂M ⊂ M ⇒ jeder Häufungspunkt (HP) von M liegt in M. Beweis in zwei Schritten.

a) (indirekt) Sei x_{0} HP von M. Z.z. x_{0} ∈ M̄. Annahme: x_{0} ∉ M̄ ⇒ x_{0} ∈ M̄^{c}. M̄ abgeschlossen ⇒ M̄^{c} offen ⇒ ∃U(x_{0}) ⊂ M̄^{c}. Wegen M ⊂ M̄ folgt U(x_{0}) ⊂ M̄^{c}. U(x_{0}) enthält also keine Punkte aus M, also kann x_{0} kein HP sein, d.h. x_{0} ∈ M̄.

b) Sei ∂M ⊂ M und x_{0} HP von M. Wegen a) x_{0} ∈ M̄ ist M^{o} ∪ ∂M = M ∪ ∂M = M.

4. ⇒ 1.: Sei x_{0} ∈ M^{c}.

Dann ist wegen 4. x_{0} kein HP. Also ∃U (x_{0}) mit maximal endlich vielen Punkten x̄ ∈ M. Verkleinere U auf U′ := U ∩ B_{ε} (x_{0}) mit ε := min_{x̄∈U(x_{0})∩M} ∥x_{0} − x̄∥. ε > 0, da maximal endlich viele x̄ und x_{0} ∉ M. Also ist U′ Umgebung von x_{0}. U′ offen ⇒ M^{c} offen ⇒ M abgeschlossen. □

Definition 1.14 (innerer Punkt)

x_{0} heißt innerer Punkt von M ⇔ x_{0} ∈ M^{o}. Definition 1.15 (dichte Menge. überall dichte Menge)

N ⊂ M heißt dicht in M ⇔ N̄ ⊃ M. N überall dicht ⇔ N dicht in ℝ^{n}.

Satz 1.15

ℚ^{n} überall dicht (bzw. ℚ^{n} dicht in ℝ^{n}). Bemerkung

ℚ^{n} ist abzählbar.

1.4 Kompaktheit

Definition 1.16 (Überdeckungen)

Sei M eine Menge, I, J Indexmengen. Die Familie von Mengen 𝔐 von M heißt Überdeckung von M, falls

𝔐 = {M_{i}, i ∈ I} mit ⋃_{i∈I} M_{i} ⊃ M.

Die Familie von Mengen 𝔐 von M heißt offene Überdeckung von M, falls

𝔐 = {M_{i}, i ∈ I} mit ⋃_{i∈I} M_{i} ⊃ M, M_{i} offen ∀i ∈ I.

Die Familie von Mengen 𝔐′ von M heißt Teilüberdeckung von M, falls

𝔐′ = {M_{i}, i ∈ J, J ⊂ I} .

Die Familie von Mengen 𝔐 von M heißt endliche Überdeckung von M, falls I endlich ist.

Beispiel Sei M ⊂ ℝ^{n}

• mit M_{1} = ℝ^{n} wird 𝔐 = {M_{1}} eine endliche Überdeckung.

• mit M_{i} = ℝ^{n}, i = 1, 2, 3, … wird 𝔐 = {M_{i}, i ∈ ℕ} eine unendliche Überdeckung.

Definition 1.17 (beschränkte Menge)

Sei M ⊂ ℝ^{n}. M heißt beschränkt ⇔ ∃R > 0 ∀x ∈ M ∥x∥ ≤ R. Definition 1.18 (folgenkompakt)

Sei K ⊂ ℝ^{n} eine Menge. K heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in K besitzt:

∀ (x_{k}) ∃ (x_{j_{k}}) lim (x_{j_{k}}) ∈ K mit x_{k} ∈ K.

Definition 1.19 (überdeckungskompakt)

Sei K ⊂ ℝ^{n} eine Menge. K heißt überdeckungskompakt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Der nun folgende Satz 1.16 spielt eine ganz wesentliche Rolle bei der Topologie metrischer Räume.

Satz 1.16 Sei K ⊂ ℝ^{n} eine Menge. Dann sind äquivalent

1. K ist folgenkompakt.

2. K ist überdeckungskompakt.

3. K ist beschränkt und abgeschlossen.

4. Jede unendliche Menge M ⊂ K hat mindestens einen Häufungspunkt in K.

Beweis

Der Beweis von Satz 1.16 wurde über folgenden Ringschluß: (2) ⇒ (4) ⇒ (1) ⇒ (3) ⇒ (2) durchgeführt.

(2) ⇒ (4): (indirekt) Annahme: M ⊂ K hat keinen HP ⇒ M endlich. Widerspruch.

(4) ⇒ (1): Beweis über Fallunterscheidungen {x_{n} | n ∈ ℕ} endlich bzw. unendlich.

(1) ⇒ (3): Beweis durch Kontraposition. K nicht beschränkt ∧ K nicht abgeschlossen ⇒ K nicht folgenkompakt.

(3) ⇒ (2): (indirekt) Annahme: Zur offenen Überdeckung von K gibt es keine endliche Teilüberdeckung. Mit Hilfe einer Intervallschachtelung durch sukzessive Konstruktion von Würfeln W_{k} in ℝ^{n} gemäß Annahme gelangt man über W_{1} ⊃ W_{2} ⊃ … zu ⋂_{k∈ℕ} W_{k} = {x_{0}} mit lim_{k→∞} = x_{0}. Als Folgerung hieraus ergibt sich der Widerspruch zur Annahme, also deren Negation. □

Bemerkung

Für andere Räume als ℝ^{n} kann es durchaus sein, daß zwischen Folgenkompaktheit und Überdeckungskompaktheit keine Äquivalenz besteht.

Satz 1.17 (Heine-Borel-Eigenschaft)

Sei M ⊂ ℝ^{n}. M ist kompakt ⇔ M ist beschränkt und abgeschlossen.

Bemerkung

Satz 1.17 entspricht der Äquivalenz 1. ⇔ 3. aus Satz 1.16.

Satz 1.18

Sei K, M ⊂ ℝ^{n}. K ist kompakt ∧ M ist abgeschlossen ⇒ K ∩ M ist kompakt.

Beweis

i) K ist kompakt ⇒ K ist beschränkt ⇒ K ∩ M ist beschränkt.

ii) K ist kompakt ⇒ K ist abgeschlossen ⇒ K ∩ M ist abgeschlossen.

iii) K ∩ M ist beschränkt ∧ K ∩ M ist abgeschlossen ⇒ K ∩ M ist kompakt. □

Satz 1.19

Sei K_{i} ⊂ ℝ^{n} eine Familie von Mengen, I eine beliebige Indexmenge. Dann gilt

1. ∀i ∈ I mit I beliebig K_{i} ist kompakt ⇒ ⋂_{i∈I} K_{i} ist kompakt, 2. ∀i ∈ I mit I endlich

K_{i} ist kompakt ⇒ ⋃_{i∈I} K_{i} ist kompakt.

Bemerkung

Satz 1.18 und Satz 1.19 beschreiben die Vererbbarkeit der Kompaktheit; sie erschaffen damit ein starkes Instrument für die Konstruktion kompakter Mengen von höherer Komplexität.

1.5 Konvexe Mengen

Beispiele für konvexe Teilmengen des ℝ^{n} sind

• die Gerade x = p + ta mit t ∈ ℝ, a ≠ 0

• die Hyperebene x = b + t_{1}a_{1} + … + t_{n−1}a_{n−1} mit t_{1}, …, t_{n−1} ∈ ℝ und linear unabhängigen Vektoren a_{1}, …, a_{n−1}.

Definition 1.20 (konvexe Menge)

Sei M ⊂ ℝ^{n}, t ∈ ℝ. M heißt konvex, wenn

∀x, y ∈ M ∀t ∈ [0, 1] tx + (1 − t) y ∈ M.

Bemerkung vgl. Def. 3.10 (konvexe Funktion).

Satz 1.20

Sei K_{i} ⊂ ℝ^{n} eine Familie konvexer Mengen, I eine beliebige Indexmenge. K_{i} ist konvex ⇒ ⋂_{i∈I} K_{i} ist konvex.

Beispiele

• Alle Hyperebenen sind konvex.

• Alle affinen Unterräume in ℝ^{n} sind konvex (Schnitte von Hyperebenen).

• Halbräume des ℝ^{n} sind konvex, z.B. {x | c_{1}x_{1} + … + c_{n}x_{n} ≥ b}.

• «Normkugeln» {x | N(x) ≤ r} mit r ≥ 0 sind konvex.

Satz 1.21 (Normfunktionen und kompakte konvexe Mengen)

1. Für beliebige Norm N ist die durch N (x − a) ≤ r, r ≥ 0 gegebene Menge von Punkten eine kompakte konvexe Menge, die symmetrisch bzgl. a ist. Im Fall r > 0 hat die Menge innere Punkte.

2. Zu jeder beliebigen kompakten konvexen und bzgl. 0 symmetrischen Teilmenge K ⊂ ℝ^{n} mit inneren Punkten existiert genau eine Norm N mit

K = {x | N (x) ≤ 1} .

Beweis

Betrachte Halbgerade H von 0 durch beliebigen Punkt x ≠ 0.

H ∩ ∂K = {x′} ist der H und K gemeinsame Randpunkt.

Für diesen gilt x′ = f(x)x, wenn f(x) = sup {λ ∈ ℝ_{0}^{+} | λx ∈ K} gesetzt und damit zu dem Parameterwert von H wird, der zum Randpunkt x′ gehört.

∀x ≠ 0 f(x) > 0, da 0 innerer Punkt von K.

Nun soll N(x) auf den Randpunkten x′ von K den Wert 1 annehmen, d.h. 1 = N(x′) = f(x)N(x) bzw. für x ≠ 0 N(x) = \frac{1}{f(x)}.

Es gibt somit zu K höchstens eine Norm, für die K Einheitskugel ist.

Bleibt zu zeigen, daß N(x) = \frac{1}{f(x)} für x ≠ 0 bzw. = 0 für x = 0 wirklich eine Norm ist, d.h. die Eigenschaften nach Def. 1.2 erfüllt. □

Die durch K bestimmte Norm N(x) muß nicht analytisch darstellbar sein; den Rand von K nennt man auch Eichfläche bzw. Eichkurve, da durch sie die Vektornorm und damit die Länge von Strecken festgelegt ist.

2 Stetige Abbildungen ℝ^{n} → ℝ^{m}

Stetigkeit in mehrdimensionalen Räumen bedeutet, die Definitionen für Stetigkeit, die den Begriff der offenen Menge voraussetzen, auf die Dimensionen n bzw. m zu verallgemeinern. Dabei ist es gleich, ob man mit Hilfe des Abstands in metrischen Räumen (ℝ ist ein metrischer Raum) über ε-Umgebungen zum Begriff der offenen Menge gelangt oder ob man den Begriff der offenen Menge bzw. den der Umgebung axiomatisch in topologischen Räumen erklärt (ℝ ist ein topologischer Raum).

Wir kennen schon als Beispiele für Abbildungen zwischen Räumen verschiedener Dimension

• die Norm N : ℝ^{n} → ℝ definiert durch x ↦ ∥x∥ oder kurz: die Norm N(x)

• die Folge f : ℕ \ {0} → ℝ^{n} definiert durch n ↦ f(n) = x_{n} oder kurz: die Folge (x_{n})

Es wird sich als zweckmäßig erweisen, für eine Abbildung allgemeiner von einer Definitionsmenge D ⊂ ℝ^{n} auszugehen. Von dieser werden häufig die Eigenschaften einer offenen oder einer kompakten Menge verlangt werden. Damit ist folgende Darstellungsweise gegeben:

f : D ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m}

x ↦ f(x) = ( f_{1}(x) ; ⋮ ; f_{m}(x) ) ∈ ℝ^{m}

und die Komponentenschreibweise

y_{1} = f_{1}(x_{1}, …, x_{n})
⋮  ⋮
y_{m} = f_{m}(x_{1}, …, x_{n})

Spezialfall 1

Lineare Abbildungen mit den Abbildungsgleichungen

y_{1} = a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = f_{1}(x_{1}, …, x_{n})
⋮  ⋮  ⋮
y_{m} = a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = f_{m}(x_{1}, …, x_{n})

lassen sich auch schreiben als y = Ax mit der m × n-Matrix A, die selbst als Abbildung mit dem Definitionsbereich ℝ^{n} aufgefaßt werden kann. A ist injektiv nur dann, wenn dim(Bild(A)) = n, hierzu muß die notwendige Bedingung n ≤ m erfüllt sein. Zur Bijektivität von A ist mindestens notwendig n = m, notwendig und hinreichend ist det A ≠ 0.

Spezialfall 2

Mit n ≥ 1, m = 1 führt die vorstehende allgemeine Darstellung zu

f : D ⊂ ℝ^{n} → ℝ
x ↦ y = f(x) = f(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ

und damit zu reellwertigen Funktionen mit n reellwertigen Argumenten. Zu deren graphischen Darstellung wird ℝ^{n+1} verwendet, in welchem die Funktionswerte «über» den entsprechenden Stellen x ∈ D ⊂ ℝ^{n} «aufgetragen» werden. Beispiel: Darstellung der Euklidischen Einheitskugel (Halbkugel) mit x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 1 durch die Gleichung y = \sqrt{1 − x_{1}^{2} − x_{2}^{2}} im ℝ^{3}.

Definition 2.1 (Niveaumenge)

Sei c ∈ ℝ. Die Menge {x | f (x) = c} heißt Niveaumenge.

Spezialfall 3

Mit n = 1, m ≥ 1 führt die vorstehende allgemeine Darstellung zu

f : D ⊂ ℝ → ℝ^{m}

x ↦ f(x) = ( f_{1}(x) ; ⋮ ; f_{m}(x) ) ∈ ℝ^{m}

und die Komponentenschreibweise

y_{1} = f_{1}(x)
⋮  ⋮
y_{m} = f_{m}(x)

Dies entspricht einer «Parameterdarstellung» (f_{1}(x), …, f_{m}(x)) einer Kurve im ℝ^{m}.

2.1 Stetigkeit

Definition 2.2 (stetig im Punkt)

Sei D ⊂ ℝ^{n}, f : D → ℝ^{m}.

• f heißt stetig im Punkt a ∈ D, wenn ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D mit

∥x − a∥ < δ gilt

∥f (x) − f (a)∥ < ε.

(wegen Normäquivalenz ist Norm beliebig)

• f heißt stetig im Punkt a ∈ D, wenn es zu jeder Umgebung V des Punktes f (a) eine Umgebung U des Punktes a gibt mit f (U ∩ D) ⊂ V. (Formulierung mit Umgebungsbegriff.)

• f heißt stetig im Punkt a ∈ D, wenn lim_{x→a} f (x) = f (a). (Formulierung mit Grenzwertbegriff.)

Alle drei Definitionen sind äquivalent.

Definition 2.3 (stetige Abbildung)

∀x ∈ D f stetig ⇔ f heißt stetig in D oder: f ist stetig.

Beispiele

• f : ℝ^{n} \ \{0\} → ℝ^{n} \ \{0\}, erklärt durch f (x) = \frac{1}{∥x∥^{2}} · x mit x ≠ 0 ist stetig.

• Obere Halbkugel y = \sqrt{1 − x_{1}^{2} − x_{2}^{2}} mit x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≤ 1 ist stetig.

• f(x) = \{ \begin{matrix}0 & falls x ∈ ℚ^{n} \\ 1 & sonst \end{matrix} ist nicht stetig.

• f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} & falls x^{2} + y^{2} > 0 \\ 0 & falls x = 0, y = 0 \end{matrix} ist stetig in allen (x, y) ≠ (0, 0),

nicht stetig in (0, 0), obwohl eine Prüfung auf Stetigkeit in Form einer «partiellen» Stetigkeit über die Geraden x = 0 bzw. y = 0 letzteres nicht zeigt. Eine Näherung an (0, 0) über die Diagonale ergibt aber, daß f(x, x) = 1 für x ≠ 0. Daher:

Warnung! partielle Stetigkeit \underleftarrow{⇏} Stetigkeit

Satz 2.1 f : D → ℝ^{m} stetig, M ⊂ D beliebig ⇒ f|_{M} stetig.

Satz 2.2 f = (f_{1}, …, f_{m})^{⊤} stetig in a ∈ D ⇔ f_{1}, …, f_{m} in a stetig.

Beweis

Mit Abschätzung

|f_{i}(x) − f_{i}(a)| ≤ ∥f(x) − f(a)∥_{∞}
≤ |f_{1}(x) − f_{1}(a)| + … + |f_{m}(x) − f_{m}(a)|
□

Satz 2.3 Sei D ⊂ ℝ^{n} offen. f stetig ⇔ Das Urbild jeder offenen Teilmenge des ℝ^{m} ist eine offene Teilmenge des ℝ^{n}.

Beweis «⇒» Betrachte Urbild A = f^{−1}(B) irgendeiner offenen Teilmenge B von ℝ^{m}. Für jedes a ∈ A ist f in a stetig. Nach Def. 2.2 (Formulierung mit Umgebungsbegriff) gibt es zu jeder Umgebung V von f(a) eine offene Umgebung U von a mit f(U ∩ D) ⊂ V. Wegen a ∈ U ∩ D und U ∩ D offen ist A offen. «⇐» Betrachte beliebige offene Umgebung V eines beliebigen Punktes b = f(a). Dann ist U = f^{−1}(V) offene Teilmenge von ℝ^{n}. Für diese Umgebung U von a gilt U ⊂ D und f(U) ⊂ V, d.h. f ist stetig in a. Weil a ∈ D beliebig war, ist f stetig in D. □

2.2 Rechenregeln

Satz 2.4

Sei f : D → ℝ^{m}, g : D → ℝ^{m}, f, g stetig und c ∈ ℝ.

f + g und cf sind stetig

Beweis Punktweise für beliebige a ∈ D.

∥(f + g)(x) − (f + g)(a)∥ = ∥f(x) − f(a) + g(x) − g(a)∥
≤ ∥f(x) − f(a)∥ + ∥g(x) − g(a)∥ .
∥(cf)(x) − (cf)(a)∥ = |c| ∥f(x) − f(a)∥ .

Dies entspricht jeweils der Definition der Stetigkeit für f und g. □

Satz 2.5 Sei f : D ⊂ ℝ^{n} → ℝ, g : D ⊂ ℝ^{n} → ℝ, f, g stetig. Dann sind fg stetig, \frac{f}{g} stetig in Punkten a mit g (a) ≠ 0.

Satz 2.6 Sei ⟨ , ⟩ Skalarprodukt in ℝ^{m}, D ⊂ ℝ^{n}, f, g : D → ℝ^{m} stetig.

Dann ist ⟨f, g⟩ : D → ℝ stetig.

Beweis Mit Satz 2.2 und Satz 2.4 ergibt sich die Stetigkeit unter Benutzung der Einheitsvektoren aus

⟨f, g⟩ := ⟨∑_{i}^{m} f_{i}e_{i}, ∑_{j}^{m} g_{j}e_{j}⟩ = ∑_{i,j} ⟨e_{i}, e_{j}⟩ f_{i}g_{j}.

□

Satz 2.7 Sei D ⊂ ℝ^{n}, E ⊂ ℝ^{m}, f : D → E stetig, g : E → ℝ^{k} stetig.

Dann ist g ∘ f : D → ℝ^{k} stetig.

Beweis (mit Folgenkriterium) Sei x_{n} → x_{0}.

(g ∘ f)(x_{0}) = g(f( lim_{n→∞} x_{n}))
= g( lim_{n→∞} f(x_{n}))
= lim_{n→∞} g(f(x_{n}))
= lim_{n→∞}(g ∘ f)(x_{n}).
□

2.3 Stetige Abbildungen auf kompakten Mengen

Definition 2.4 (gleichmäßig stetig)

Sei D ⊂ ℝ^{n}. f : D → ℝ^{m} heißt gleichmäßig stetig in D, wenn

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ D ∥x − y∥ < δ ⇒ ∥f(x) − f(y)∥ < ε.

Bemerkung

Unterschied zur normalen Stetigkeit: δ von x unabhängig. Satz 2.8

Sei D ⊂ ℝ^{n} kompakt, f : D → ℝ^{m} stetig.

Dann ist f gleichmäßig stetig.

Beweis

1. Beweismöglichkeit wie zu Satz 3.11 aus Vorlesung Analysis I.

2. Beweismöglichkeit: Sei ε > 0. Wähle zu x ∈ D ein δ_{x} > 0 so, daß ∀y ∈ D ∥x − y∥ < δ_{x} ⇒ ∥f(x) − f(y)∥ < \frac{ε}{2}. Setze für D als offene Überdeckung 𝔐 := \{B_{\frac{δx}{2}} (x) | x ∈ D\}. Da D kompakt, existiert endliche Teilüberdeckung 𝔐′ := \{B_{\frac{δ_{x′}}{2}} (x′) | x′ ∈ D′\} mit D′ ⊂ D endlich.

Setze δ := min \{δ_{\frac{x′}{2}} | x′ ∈ D′\} > 0. Seien nun x, y ∈ D mit ∥x − y∥ < δ.

𝔐′ überdeckt D ⇒ ∃x′ ∈ D′ ∥x − x′∥ < δ_{\frac{x′}{2}} . Wegen ∥x′ − y∥ ≤ ∥x′ − x∥ + ∥x − y∥ < δ_{\frac{x′}{2}} + δ ≤ δ_{x′} folgt ∥f(x) − f(y)∥ ≤ ∥f(x) − f (x′)∥ + ∥f (x′) − f(y)∥ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε. □

Satz 2.9 Sei D ⊂ ℝ^{n} kompakt, f : D → ℝ^{m} stetig. Dann ist f(D) kompakt.

Beweis:

1. Beweismöglichkeit wie Satz 3.10 und Satz 3.15 aus Vorlesung Analysis I.

2. Beweismöglichkeit: Sei 𝔐 = {M_{i} | i ∈ I} offene Überdeckung von f(D). Zu i ∈ I, x ∈ f^{−1}(M_{i}) existiert eine offene Menge U_{x,i} mit x ∈ U_{x,i} so, daß f(U_{x,i} ∩ D) ⊂ M_{i}. Setze M̃_{i} := ⋃_{x∈f^{−1}(M_{i})} U_{x,i} und somit f(M̃_{i} ∩ D) ⊂ M_{i}.

𝔐̃ := {M̃_{i} | i ∈ I} ist dann offene Überdeckung von D. Wegen der Kompaktheit von D gibt es eine endliche Teilüberdeckung 𝔐̃′ = {M̃_{j} | j ∈ J} mit J ⊂ I endlich und hierzu die endliche Teilüberdeckung 𝔐′ = {M_{j} | j ∈ J}, d.h. f(D) ist kompakt. □

Korollar 2.10 Stetige reellwertige Funktionen f : D → ℝ auf kompakten Mengen sind beschränkt und nehmen Minimum und Maximum an.

2.4 Gleichmäßige Konvergenz

Definition 2.5 (punktweise Konvergenz. gleichmäßige Konvergenz) Sei D ⊂ ℝ^{n}, f, f_{n} : D → ℝ^{m}, (f_{n}) Folge von Abbildungen.

• (f_{n}) konvergiert in D punktweise gegen f, i.Z. f_{n} → f, lim f_{n} = f ⇔ ∀ε > 0 ∀x ∈ D ∃N ∀n ≥ N ∥f_{n}(x) − f(x)∥ < ε

• (f_{n}) konvergiert in D gleichmäßig gegen f, i.Z. f_{n} ⇉ f ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ D ∀n ≥ N ∥f_{n}(x) − f(x)∥ < ε

Bemerkung Bei punktweiser Konvergenz ist N abhängig von x, bei gleichmäßiger Konvergenz nicht.

Definition (Menge aller beschränkten Abbildungen)

B(D, ℝ^{m}) := {f : D → ℝ^{m} | f beschränkt}

Bemerkung

B(D, ℝ^{m}) ist mit der auf ihr erklärten (Abbildungs-) Norm

∥f∥_{∞} := sup {∥f(x)∥ | x ∈ D}

ein normierter ℝ-Vektorraum. Satz 2.11

Sei f, f_{n} ∈ B(D, ℝ^{m}). Dann gilt

f_{n} ⇉ f ⇔ ∥f_{n} − f∥_{∞} → 0.

f_{n} heißt auch normkonvergent gegen f. Satz 2.12 (Cauchysches Konvergenzkriterium)

Sei f_{n} ∈ B(D, ℝ^{m}). Dann

∃f ∈ B(D, ℝ^{m}) f_{n} ⇉ f
⇔
∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀m, n ≥ N ∥f_{n} − f_{m}∥_{∞} < ε.

In B(D, ℝ^{m}) konvergiert jede Cauchy-Folge.

Beweis: «⇒» Nach Satz 2.11 gilt ∥f_{n} − f∥_{∞} → 0. Mit hinreichend großen m, n gilt die Abschätzung ∥f_{n} − f_{m}∥_{∞} ≤ ∥f_{n} − f∥_{∞} + ∥f − f_{m}∥_{∞} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε > 0. «⇐» ∀x ∈ D ∥f_{n}(x) − f_{m}(x)∥ ≤ ∥f_{n} − f_{m}∥_{∞} ergibt die in x gleichmäßige Stetigkeit der Cauchy-Folge (f_{n}(x))_{n∈ℕ} im ℝ^{m}, d.h. ∃f (f_{n}(x) → f) gleichmäßig in x, d.h. f_{n} ⇉ f. □

Satz 2.13 Sei f, f_{n} ∈ B(D, ℝ^{m}), f_{n} stetig, f_{n} ⇉ f. Dann ist f stetig in D.

Beweis wie in Vorlesung Analysis I

Bemerkung Entsprechend für Reihen, Weierstrasssches Konvergenzkriterium o.ä.

2.5 Allgemeinere Konvergenz und Stetigkeit

Konvergenz wurde bisher für Folgen (x_{n}) in ℝ^{n} über die Norm erklärt

x_{n} → x_{0} ⇔ ∥x_{n} − x_{0}∥ → 0

bzw. für Abbildungsfolgen (f_{n}) als punktweise bzw. gleichmäßige Konvergenz mit Hilfe der Maximumsnorm.

Verallgemeinerung der «Konvergenz»

Der Begriff der Konvergenz läßt sich verallgemeinern, wenn ein normierter ℝ-Vektorraum (V; N) versehen mit der Normfunktion N : V → ℝ betrachtet wird.

Definition 2.6 (Normkonvergenz)

Sei (V; N) ein ℝ-Vektorraum mit der Norm N : V → ℝ, (v_{n}) mit n ∈ ℕ eine Folge aus V.

v_{n} →_{N} v_{0} :⇔ N (v_{n} − v_{0}) → 0

wird als Normkonvergenz der Folge (v_{n}) bezüglich N bezeichnet und eine bezüglich N normkonvergente Cauchy-Folge wird erklärt mit

∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀m, n ≥ N N (v_{n} − v_{m}) < ε.

Beispiel

Sei V = C^{0}([0, 1]), N(v) = ∫_{0}^{1} |v(t)| dt,

v_{n}(t) := \{ \begin{matrix}0 & falls & t ≤ \frac{1}{2} \\ n (t − \frac{1}{2}) & falls & \frac{1}{2} < t < \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \\ 1 & falls & t ≥ \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \end{matrix} .

(v_{n}) ist Cauchy-Folge bezüglich N, denn N(v_{m} − v_{n}) ≤ \frac{1}{min(m,n)}.

Aber (v_{n}) konvergiert nicht, d.h. ¬∃v ∈ C^{0}([0, 1]) mit N(v_{n} − v) → 0, denn es müßten v|_{[0, \frac{1}{2}]} = 0 und v|_{[\frac{1}{2} ,1]} = 1 sein.

Es handelt sich also um eine Cauchy-Folge, die nicht konvergiert!

Definition 2.7 (Banach-Raum)

(V; N) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in V bzgl. N in V konvergiert.

Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach-Raum.

Beispiel 1

(B(D, ℝ^{m}), ∥·∥_{∞}) ist Banach-Raum.

Beispiel 2

(ℝ^{n}, ∥·∥_{beliebig}) ist Banach-Raum.

Weitere Verallgemeinerung der «Konvergenz»

Der Begriff der Konvergenz läßt sich weiter verallgemeinern, wenn z.B. ein metrischer ℝ-Vektorraum (V; d) versehen mit der Metrik d(v, w) anstelle der Norm N(v − w) betrachtet wird.

Allgemein versteht man unter einem metrischen Raum (M; d) eine beliebige Menge M zusammen mit einer Distanzfunktion d : M × M → ℝ, die die Eigenschaften des Abstandes nach Satz 1.4 hat. Jede beliebige Menge M kann zu einem metrischen Raum gemacht werden, z.B. mit der «trivialen» Distanzfunktion

d(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & falls & x = y \\ 1 & falls & x ≠ y \end{matrix} .

Ein metrischer Raum ist vollständig, falls jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.

Bemerkung

Ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ induziert eine Norm N über N(v) := \sqrt{⟨v, v⟩}. Eine Norm N induziert eine Metrik d über d(v, w) := N(v − w). Das Umgekehrte gilt nicht.

Noch weitere Verallgemeinerung der «Konvergenz»

Der Begriff der Konvergenz läßt sich noch weiter verallgemeinern, wenn ein topologischer Raum (X; T ) versehen mit der Topologie T betrachtet wird:

Definition

Sei (x_{n}) Folge in (X; T ). Dann wird erklärt

x_{n} → x :⇔ ∀U ∈ T

mit x ∈ U ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N x_{n} ∈ U.

Bemerkung

Cauchy-Kriterium ist nicht mehr formulierbar.

Warnung!

Im allgemeinen ist Grenzwert nicht eindeutig.

Beispiel

Sei X beliebig mit mindestens 2 Elementen, T := {X, ∅}. Jede Folge (x_{n}) konvergiert gegen jedes x ∈ X.

Entsprechende Verallgemeinerungen der «Stetigkeit»

• Zwischen metrischen Räumen (V_{1}; d_{1}), (V_{2}; d_{2}) durch das ε − δ-Kriterium: f : V_{1} → V_{2} ist stetig in v ∈ V_{1} genau dann, wenn

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀w ∈ V_{1} d_{1}(v, w) < δ ⇒ d_{2}(f(v), f(w)) < ε.

• Zwischen topologischen Räumen (X_{1}; T_{1}), (X_{2}; T_{2}): f : X_{1} → X_{2} ist stetig in x ∈ X_{1} genau dann, wenn

∀U_{2} ∈ T_{2} mit f(x) ∈ U_{2} ∃U_{1} ∈ T_{1} mit x ∈ U_{1} f(U_{1}) ⊂ U_{2}.

• oder äquivalent hierzu über das Folgenkriterium unter Nutzung des Konvergenzbegriffs von Folgen für konvergente Folgen (x_{n})

f ( lim_{n→∞} x_{n}) ∈ lim_{n→∞} f(x_{n}).

übersicht

Raum  ℝ^{n}  Raum
V  mit  ↙  ↘  mit
N + CF BANACH ←  HILBERT  ⟨ , ⟩ + CF
↓  ↓
N normierter ← prä − HILBERT ⟨ , ⟩
↓
d metrischer ↘ ↓
↓
T  topologischer  linearer

mit «es gelten» CF Cauchykriterium, ⟨ , ⟩ Skalarprodukt, N Normfunktion, d Distanzfunktion, T Topologie (offene Mengen). Die Pfeile sind als Implikationen zu verstehen.

2.6 Peano-Hilbert-Kurve

Konstruktion einer stetigen und surjektiven, aber nicht injektiven Abbildung f : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] = [0, 1]^{2} bzw. f : I → Q. Giuseppe Peano hat im Jahr 1890 einen Existenzbeweis veröffentlicht: Mathematische Annalen 36 (1890) S.157-160, David Hilbert diesen durch die Angabe eines Verfahrens ergänzt: Mathematische Annalen 38 (1891) S.455-460.

Vorgehensweise

• Schritt 1: Unterteile I = [0, 1] in 4 gleichgroße Intervalle I_{1}, …, I_{4}. Unterteile Q = [0, 1]^{2} in 4 gleichgroße Quadrate Q_{1}, …, Q_{4}. Definiere die stetige Abbildung f_{1} : I → Q mit f_{1}(I_{k}) ⊂ Q_{k}.

• Schritt 2: Unterteile jedes I_{k} in 4 gleichgroße Intervalle I_{k_{1}}, …, I_{k_{4}}. Unterteile jedes Q_{k} in 4 gleichgroße Quadrate Q_{k_{1}}, …, Q_{k_{4}}. Definiere die stetige Abbildung f_{2} : I → Q mit f_{2}(I_{k_{1}k_{2}}) ⊂ Q_{k_{1}k_{2}}.

• ...

• Schritt n: Unterteile jedes I_{k_{1}...k_{(n−1)}} in 4 gleichgroße Intervalle I_{k_{1}...k_{_{(n−1)}_{1}}} , …, I_{k_{1}...k_{_{(n−1)}_{4}}} . Unterteile jedes Q_{k_{1}...k_{(n−1)}} in 4 gleichgroße Quadrate Q_{k_{1}...k_{_{(n−1)}_{1}}} , …, Q_{k_{1}...k_{_{(n−1)}_{4}}} . Definiere die stetige Abbildung f_{n} : I → Q mit f_{n}(I_{k_{1}...k_{n}}) ⊂ Q_{k_{1}...k_{n}}.

Dies führt zur Folge von Funktionen (f_{n}), d.h. Zerlegungen von I und Q.

Satz 2.14

f := lim f_{n} : I → Q existiert und ist stetig.

Beweis

1. Stetigkeit von f. Zu ε > 0 wähle n ∈ ℕ so, daß 2^{−n} < ε. Zu x ∈ I existiert ein Quadrat Q_{k_{1}...k_{n}} ∋ f_{n}(x). Wegen der Schachtelung gilt ∀m ∈ ℕ f_{n+m}(x) ∈ Q_{k_{1}...k_{n}}. Q_{k_{1}...k_{n}} hat Kantenlänge 2^{−n}, d.h. ∥f_{n+m}(x) − f_{n}(x)∥_{∞} ≤ 2^{−n} < ε. (f_{n}(x)) ist daher Cauchy-Folge. Da n unabhängig von x ist, ist (f_{n}(x)) gleichmäßig konvergent und nach Satz 2.13 ist f = lim f_{n} stetig.

2. Surjektivität von f. Sei y ∈ Q, dann ∃k_{1}k_{2}k_{3} … so, daß ∀n ∈ ℕ y ∈ Q_{k_{1}...k_{n}}. Die Intervallfolge (I_{k_{1}...k_{n}})_{n∈ℕ} bildet eine Intervallschachtelung und legt so x ∈ I fest. Da f stetig, gilt f(x) = y. □

Bemerkung Es gibt auch bijektive, allerdings keine stetige und bijektive Abbildungen I → Q.

Anwendungen Existenz und Verfahren zur Anwendung solcher Abbildungen erlaubt eine «Dimensionsreduktion». Anwendungsbereiche sind

• Datenbanken

• Geometrisches Suchen und Sortieren

• Lastbalancierung beim parallelen Behandeln von FE-Netzen.

3 Differentiation von f : ℝ^{n} → ℝ^{m}

Die Idee der Differenzierbarkeit im Eindimensionalen besteht in der Approximation einer Funktion in einer Umgebung eines festen Punktes durch eine lineare Funktion.

3.1 Differenzierbarkeit

Definition 3.1 (Differenzierbarkeit)

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen. Die Abbildung f : U → ℝ^{m} heißt differenzierbar in a ∈ U, wenn es eine lineare Abbildung T : ℝ^{n} → ℝ^{m} und eine in a stetige Abbildung r : U → ℝ^{m} gibt derart, daß

f (x) = f (a) + T (x − a) + r (x) ∥x − a∥ , ∀x ∈ U

und r (a) = 0.

Bemerkung Nach dieser Definition ist f in a differenzierbar, wenn eine solche lineare Abbildung T angegeben werden kann, daß mit ihr für die Abbildung

r(x) := \frac{f(x) − f(a) − T (x − a)}{∥x − a∥}

mit x ≠ a

lim_{x→a} r(x) = 0.

Hierbei ist r(x) eindeutig bzgl T und der Limes hängt nicht von der Wahl der Norm ab.

Satz 3.1 Es kann höchstens eine solche lineare Abbildung T geben.

Beweis (indirekt) Mit zwei linearen Abbildungen T_{1} und T_{2} und den ihnen zugehörigen stetigen Abbildungen r_{1} und r_{2} gilt wegen f (x) = f (a) + T_{1} (x − a) + r_{1} (x) ∥x − a∥ und f (x) = f (a) + T_{2} (x − a) + r_{2} (x) ∥x − a∥ die Gleichung (T_{1} − T_{2}) (x − a) = (r_{2} − r_{1}) (x) ∥x − a∥ sowie lim_{x→a} r_{1}(x) = 0 und lim_{x→a} r_{2}(x) = 0. Mit beliebigem h und genügend kleinem t > 0 kann gesetzt werden: x−a =: th. Hieraus ergeben sich (T_{1} − T_{2})h = (r_{2}(a + th) − r_{1}(a + th)) ∥h∥ und wegen lim_{t→0}(r_{2}(a + th) − r_{1}(a + th)) = 0 (T_{1} − T_{2})h = 0 für h ∈ ℝ^{n}, d.h. T_{1} = T_{2}. □

Definition 3.2 (Ableitung)

Sei f in a ∈ U ⊂ ℝ^{n} differenzierbar. Die lineare Abbildung T heißt dann Ableitung von f an der Stelle a, i.Z. T = f′ (a). Mit h ∈ ℝ^{n} wird der Vektor f′(a)h ∈ ℝ^{m} auch mit f′(a, h) bzw. T h bezeichnet.

Definition 3.3 (Gradient)

Sei U ⊂ ℝ^{n}, f : U → ℝ eine reellwertige differenzierbare Funktion. T = f′ (a) = gradf (a) heißt Gradient von f an der Stelle a und es gilt f′(a, h) = ⟨gradf(a), h⟩ , ∀h ∈ ℝ^{n}

Bem.: Weitere Schreibweise für grad ist ∇.

Bemerkung

Nach Def. gilt f (a + h) − f (a) = ⟨gradf (a) , h⟩ + r (a + h) ∥h∥

mit lim_{h→0} r (a + h) = 0.

Geometrische Interpretation:

• Für hinreichend kleines ∥h∥ ist der Zuwachs f (a + h) − f (a) durch das Skalarprodukt ⟨gradf (a) , h⟩ gut wiedergegeben. Geometrisch gedeutet zeigt gradf(a) in die Richtung des größten Zuwachses der Funktion f an der Stelle a, da ⟨gradf (a) , h⟩ seinen größten Wert als Funktion von h annimmt, wenn h und gradf(a) gleichgerichtet sind, d.h. h ein positives Vielfaches von gradf(a) ist.

• Betrachtet man die Niveaumengen von f, d.h. f(x) = c (Niveauhyperflächen), so schmiegen sich die h, wenn h ⊥ gradf(a), an die Niveaulinien an. Sie spannen die Tangentialhyperebene an die Niveauhyperfläche durch den Punkt a auf, der Vektor gradf(a) ∈ ℝ^{n} steht senkrecht auf dieser und damit senkrecht auf der Niveauhyperfläche.

• Betrachtet man den Graph von f als Hyperfläche im Raum (x_{1}, …, x_{n}, y) mit y = f(x_{1}, …, x_{n}), dann wird die Hyperebene (Tangentialhyperebene)

approximiert mit y = f(a) + ⟨gradf(a), x − a⟩. ( \begin{matrix}−gradf(a) \\ 1 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{n+1}

ist Normalenvektor der Tangentialhyperebene und damit der Normalenvektor der Hyperfläche in (a, f(a)).

Bestimmung von T = f′(a)

Es gilt nach Def. 3.1

f (x) = f (a) + T (x − a) + r (x) ∥x − a∥ , ∀x ∈ U.

Sei v_{1}, …, v_{n} sei eine Basis des ℝ^{n}, zu der die Bildvektoren der linearen Abbildung f′(a) gesucht werden. Bestimmt man zunächst für einen beliebigen Vektor v den Vektor f′(a, v) und setzt hierzu x = a + tv mit t ∈ ℝ, t ≠ 0 in die Def. ein, so wird

f(a + tv) = f(a) + f′(a, tv) + r(a + tv) |t| ∥v∥
f′(a, v) = \frac{f(a+tv)−f(a)}{t} − r(a + tv)\frac{|t|}{t} ∥v∥

also

f′(a, v) = lim_{t→∞} \frac{f(a+tv)−f(a)}{t}

Definition 3.4 (Richtungsableitung)

D_{v}f (a) heißt Richtungsableitung von f an der Stelle a bezüglich eines Basisvektors v. Es gilt

D_{v}f (a) = lim_{t→0} \frac{f (a + tv) − f (a)}{t}.

Bemerkung

f′(a) ist durch die Richtungsableitungen bzgl. der Basisvektoren v_{1}, …, v_{n} des ℝ^{n} festgelegt.

Definition 3.5 (partielle Ableitungen)

D_{i}f (a) := D_{e_{i}}f (a) sind die Richtungsableitungen von f an der Stelle a bzgl. der Standardbasisvektoren e_{i} des ℝ^{n}. Sie heißen partielle Ableitungen. Es gilt

D_{i}f (a) = lim_{x_{i}→a_{i}} \frac{f (a_{1}, …, x_{i}, …, a_{n}) − f (a_{1}, …, a_{i}, …, a_{n})}{x_{i} − a_{i}}.

Andere Schreibweisen für partielle Ableitungen sind \frac{∂f}{∂x_{i}} bzw. f_{x_{i}}

Bemerkung

Damit ist die Bestimmung der Ableitung auf die Differentialrechnung im Eindimensionalen zurückgeführt.

Bemerkung

Limites nach Def. 3.5 können existieren, ohne daß f insgesamt differenzierbar ist:

partiell differenzierbar \underleftarrow{⇏} differenzierbar.

Ist f differenzierbar, so existieren alle partiellen Ableitungen und es gilt mit h = ∑_{i=1}^{n} h_{i}e_{i}

f′(a, h) = ∑_{i=1}^{n} f′(a, e_{i})h_{i} = ∑_{i=1}^{n} D_{i}f(a)h_{i}.

Die weitere Darstellung der D_{i}f(a) mittels der Standardbasis des ℝ^{m}, d.h. die weitere Zerlegung von f in die Komponenten f_{1}, …, f_{m} führt zur Darstellung von f′(a) als m × n-Matrix

Definition 3.6 (Jacobi-Matrix)

Die Darstellung der partiellen Ableitungen als m × n-Matrix

f′(a) := ( \begin{matrix}D_{1}f_{1} (a) & D_{2}f_{1} (a) & … & D_{n}f_{1} (a) \\ D_{1}f_{2} (a) & D_{2}f_{2} (a) & … & D_{n}f_{2} (a) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ D_{1}f_{m} (a) & D_{2}f_{m} (a) & … & D_{n}f_{m} (a) \end{matrix} )

heißt Jacobi-Matrix der differenzierbaren Abbildung f an der Stelle a.

Prüfung auf Differenzierbarkeit

(⋆) f (x) = f (a) + T (x − a) + r (x) ∥x − a∥

Vorgehensweise • Untersuche, ob die D_{i}f_{j}(a) existieren. Existenz ist notwendige Bedingung.

• Prüfe mit der Matrix T = f′(a) = (D_{i}f_{j}(a)), ob

lim_{h→0} r(h) = lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a) − T h}{∥h∥} = 0.

Beispiel 1 Sei f : ℝ^{2} → ℝ^{2} gegeben durch f_{1}(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} − x_{2}^{2} und f_{2}(x_{1}, x_{2}) = 2x_{1}x_{2}. Ist f an der Stelle a differenzierbar, dann existiert die Jacobi-Matrix, hier

( \begin{matrix}2a_{1} & −2a_{2} \\ 2a_{2} & 2a_{1} \end{matrix} ).

Mit

r_{1}(h) = \frac{(a_{1} + h_{1})^{2} − (a_{2} + h_{2})^{2} − (a_{1}^{2} − a_{2}^{2}) − (2a_{1}h_{1} − 2a_{2}h_{2})}{∥h∥} = \frac{h_{1}^{2} − h_{2}^{2}}{∥h∥} , und

r_{2}(h) = \frac{2(a_{1} + h_{1})(a_{2} + h_{2}) − 2a_{1}a_{2} − (2a_{2}h_{1} + 2a_{1}h_{2})}{∥h∥} = \frac{2h_{1}h_{2}}{∥h∥}

werden unter Verwendung der Maximumsnorm ∥h∥_{∞} = max{|h_{1}| , |h_{2}|} die Abschätzungen |r_{1}(h)| ≤ 2 ∥h∥_{∞} und |r_{2}(h)| ≤ 2 ∥h∥_{∞} erhalten. Somit ist

lim_{h→0} r_{1}(h) = lim_{h→0} r_{2}(h) = 0.

f ist also in a differenzierbar mit f′(a) = der vorstehenden Jacobi-Matrix. Beispiel 2 Für eine affine Abbildung f : ℝ^{n} → ℝ^{m} gilt f(x) = Ax + c mit A : ℝ^{n} → ℝ^{m} linear und c ∈ ℝ^{m} konstant. Dann ist

f(a + h) = A(a + h) + c = Aa + Ah + c = Aa + c + Ah = f(a) + Ah. Daraus folgt r(h) = 0 für ∀h ∈ ℝ^{n}, d.h. f ist differenzierbar an allen Stellen a ∈ ℝ^{n} und f′(a) = A. Beispiel 3 f : ℝ^{2} → ℝ sei erklärt durch

f(x_{1}, x_{2}) = \{ \begin{matrix}0 & für (x_{1}, x_{2}) = (0, 0) \\ \frac{x_{1}x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} & für (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) \end{matrix} .

Obgleich an a = (0, 0) die partiellen Ableitungen existieren, ist f an dieser Stelle nicht differenzierbar. Wegen ∀x_{1} ∈ ℝ f(x_{1}, 0) = 0 und ∀x_{2} ∈ ℝ f(0, x_{2}) = 0 existieren D_{1}f(0) = 0 und D_{2}f(0) = 0. Unter der Annahme der Differenzierbarkeit von f an a = 0 ist T die Nullabbildung und man erhält mit f(a) = 0 und T h = 0

r(h) = \frac{h_{1}h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} \frac{1}{∥h∥}

mit der Bedingung lim_{h→0} r(h) = 0. Ohne Einschränkung kann ∥h∥ = ∥h∥_{2}, der Euklidischen Norm, gesetzt werden. Dann wird r(h) = \frac{h_{1}h_{2}}{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}} und mit h_{1} = h_{2} zu r(h) = \frac{1}{2}, d.h. lim_{h→0} r(h) ≠ 0. Beispiel 4 f : ℝ^{2} → ℝ sei erklärt durch

f(x_{1}, x_{2}) = \{ \begin{matrix}0 & für (x_{1}, x_{2}) = (0, 0) \\ \frac{x_{1}x_{2}^{3}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{6}} & sonst \end{matrix} .

Es existieren an der Stelle a = 0 alle Richtungsableitungen (mit dem Wert 0); trotzdem ist f in a nicht differenzierbar (nicht einmal stetig). Unter Verwendung der Euklidischen Norm wird r(h) = \frac{h_{1}h_{2}^{3}}{h_{1}^{2}+h_{2}^{6}} _{\frac{1}{\sqrt{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}}} und mit z.B. h_{1} = t^{3}, h_{2} = t erhält man

r(t^{3}, t) = \frac{t^{6}}{2t^{6}\sqrt{t^{6} + t^{2}}} = \frac{1}{2 |t|} \frac{1}{\sqrt{1 + t^{4}}} .

Somit erweist sich r in keiner Umgebung der Stelle a als beschränkt.

Bemerkung Die Existenz von Richtungsableitungen ist weder für Stetigkeit, noch für Differenzierbarkeit hinreichend.

Satz 3.2 f ist in (an der Stelle) a differenzierbar ⇒ f ist in a stetig.

Beweis

f (x) = f (a) + T (x − a) + r (x) ∥x − a∥
= f (a) + f′ (a, x − a) + r (x) ∥x − a∥ .

Es gilt daher die Abschätzung

∥f(x) − f(a)∥ ≤ ∥f′(a)∥ ∥x − a∥ + ∥r(x)∥ ∥x − a∥ .

Wegen Differenzierbarkeit gilt lim_{x→a} r(x) = 0, und es wird

∥f(x) − f(a)∥ ≤ ∥f′(a)∥ ∥x − a∥ .

Bei geeigneter Wahl einer Konstanten c mit c ∥x − a∥ entspricht die vorstehende Ungleichung der Definition für Stetigkeit nach Def. 2.2. □

Bemerkung zum Gradienten

f′(a, h) = ⟨gradf(a), h⟩ , ∀h ∈ ℝ^{n}.

Der Vektor gradf(a) ist dadurch eindeutig in ℝ^{n}.

Bisher wurde das Skalarprodukt in ℝ^{n} als positiv definite symmetrische Bilinearform (vgl. Satz 1.1) betrachtet, was an (kanonischen) Schreibweisen erlaubt:

gradf(a) = ( D_{1}f(a) ; ⋮ ; D_{n}f(a) ) = ( ⋮_{\frac{∂f}{∂x_{n}}}^{\frac{∂f}{∂x_{1}}} ) = ( f_{x_{1}} ; ⋮ ; f_{x_{n}} ) := ∇f(a).

Dies führt zur Anwendung des sog. Nabla-Operators ∇ als «formalen» Vektor (vektorwertigen Differentialoperator) im Nabla-Kalkül (vgl. Kapitel 3.8). Für die Einheitsvektoren der Standardbasis, z.B. des ℝ^{3}, gilt die Matrix

(⟨e_{i}, e_{j}⟩) = Diag(1, 1, 1).

Dagegen wird ein «Skalarprodukt» als nicht ausgeartete (nicht entartete) symmetrische Bilinearform als Minkowski-Form (Minkowskimetrik) in der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet. Hier gilt für die entsprechende Basis des ℝ^{4} die Matrix

(⟨e_{i}, e_{j}⟩_{M}) = Diag(1, 1, 1, −1)

und für den Gradienten

grad_{M}f(a) = ( \begin{matrix}f_{x_{1}} \\ f_{x_{2}} \\ f_{x_{3}} \\ −f_{x_{4}} \end{matrix} ) .

3.2 Rechenregeln

Um Beweisführungen zugänglicher zu machen, ist es zweckmäßig, die Differenzierbarkeitsdefinition aus Def. 3.1

(⋆) f (x) = f (a) + T (x − a) + r (x) ∥x − a∥

mit lim_{x→a} r (x) = 0

in die Form

(⋆⋆) f (a + h) = f (a) + f′ (a, h) + r (a + h) ∥h∥

mit lim_{h→0} r (a + h) = 0

umzuschreiben.

Satz 3.3 Sei f : U → ℝ^{m}, g : U → ℝ^{m} mit U ⊂ ℝ^{n} offen in a ∈ U differenzierbar, c ∈ ℝ. Dann sind auch f + g und cf differenzierbar in a und es gilt

\begin{aligned}(f + g)′ (a) & = & f′ (a) + g′ (a) \\ (cf)′ (a) & = & cf′ (a) \end{aligned}

Satz 3.4 (Produktregel für reellwertige Funktion)

Sei f : U → ℝ, g : U → ℝ mit U ⊂ ℝ^{n} offen in a ∈ U differenzierbar.

Dann ist auch fg differenzierbar in a und es gilt

(fg)′ (a, h) = f (a) g′ (a, h) + f′ (a, h) g (a) .

Beweis Multiplizieren von f und g in der Form (⋆⋆) ergibt

(fg) (a + h) =  f (a) g (a) + f (a) g′ (a, h) + g (a) f′ (a, h)
+ f′ (a, h) g′ (a, h)
+ (g (a) + g′ (a, h)) r_{f} (a, h) ∥h∥
+ (f (a) + f′ (a, h)) r_{g} (a, h) ∥h∥
+ r_{f} (a, h) r_{g} (a, h) ∥h∥^{2}

Abschätzung von |f′ (a, h) g′ (a, h)| ≤ c ∥h∥^{2}, Zusammenfassung der letzten sechs Summanden (letzten vier Zeilen der Gleichung) zu r (h) h mit lim_{h→0} r (h) = 0 und Übernahme der Schreibweise aus dem Satz ergibt

(fg) (a + h) = (fg) (a, h) + (fg)′ (a, h) + r (h) h.
□

Bemerkung Die Produktregel für reellwertige Funktion läßt sich auch schreiben als

gradfg (a) = f (a) gradg (a) + g (a) gradf (a) .

Satz 3.4 bezieht sich auf rellwertige Funktionen und es ist möglich, dies zu modifizieren; dazu zwei Fälle: Fall 1 Produkt reellwertiger Funktion f : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ mit vektorwertiger Abbildung g : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m}. Bei komponentenweiser Multiplikation ergibt sich die Regel

(fg)′ (a, h) = f (a) g′ (a, h) + f′ (a, h) g (a) .

Fall 2 Produkt vektorwertiger Abbildungen f : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{p} und g : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{q}. An die Stelle des Produkts zweier reellwertiger Funktionen tritt als bilineare Abbildung [ , ] : ℝ^{p} × ℝ^{q} → ℝ^{m} als Produkt

[f, g]′ (a, h) = [f (a) , g′ (a, h)] + [f′ (a, h) , g (a)] .

Es ist auf die Reihenfolge zu achten, da die bilineare Abbildung nicht unbedingt symmetrisch ist.

Satz 3.5 Sei f : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ mit U offen in a ∈ U differenzierbar mit f (a) ≠ 0. Dann ist

(\frac{1}{f} )′ (a, h) = − (\frac{1}{(f (a))^{2}} ) f′ (a, h) .

Bemerkung Diese Regel läßt sich auch schreiben als

grad (\frac{1}{f} ) (a) = − (\frac{1}{(f (a))^{2}} ) gradf (a) .

Bemerkung Die Regel für (\frac{g}{f} )′ (a, h) erhält man über den Ansatz g (a) (\frac{1}{f} ) (a) und Anwendung der Produktregel.

Satz 3.6 (Kettenregel)

Sei f : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ^{m}, U offen, g : V ⊂ ℝ^{m} → ℝ^{p}, V offen, in a ∈ U bzw. in b ∈ V differenzierbare Abbildungen und f (U) ⊂ V und b = f (a). Dann gilt

1. g ∘ f : U → ℝ^{p} ist differenzierbar in a

2. (g ∘ f)′ (a) = g′ (f (a)) f′ (a) bzw. (g ∘ f)′ (a, h) = g′ (f (a) , f′ (a, h))

Für die Jacobi-Matrizen von Abbildungen f, g und ihrer Verkettung H = g ∘ f gilt

( \begin{matrix}D_{1}H_{1}(a) & … & D_{n}H_{1}(a) \\ ⋮ & & ⋮ \\ D_{1}H_{p}(a) & … & D_{n}H_{p}(a) \end{matrix} ) =

= ( \begin{matrix}D_{1}g_{1}(b) & … & D_{m}g_{1}(b) \\ ⋮ & & ⋮ \\ D_{1}g_{p}(b) & … & D_{m}g_{p}(b) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}D_{1}f_{1}(a) & … & D_{n}f_{1}(a) \\ ⋮ & & ⋮ \\ D_{1}f_{m}(a) & … & D_{n}f_{m}(a) \end{matrix} ) ,

somit wird

D_{i}H_{j}(a) = ∑_{k=1}^{m} D_{k}g_{j}(b) · D_{i}f_{k}(a).

Ist g reellwertig, d.h. p = 1, wird auch H reellwertig und

D_{i}H(a) = ∑_{k=1}^{m} D_{k}g(b)D_{i}f_{k}(a)

= ∑_{k=1}^{m} D_{i}f_{k}(a)D_{k}g(b), d.h.
gradH = (D_{i}f_{k}(b))^{⊤} gradg.

Für die Ableitung der Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung gilt wegen der Kettenregel

g ∘ f = id_{ℝ^{n}} ⇒ g′ (b) f′ (a) = id_{ℝ^{n×n}}, d.h.
g′ (f (a)) = (f′ (a))^{−1} .

Vorausgesetzt ist, daß f : U → ℝ^{n} eine Umkehrabbildung g : V → ℝ^{n}, V offen, besitzt und daß f in a ∈ U und g in b = f (a) differenzierbar sind.

Das Ergebnis der Anwendung der Kettenregel auf die Ableitung der Umkehrabbildung besteht schon, wenn g in b = f (a) lediglich stetig ist, weil daraus die Differenzierbarkeit folgt:

Satz 3.7

Sei U, V ⊂ ℝ^{n} offen, f : U → ℝ^{n} eine in a ∈ U differenzierbare Abbildung, g : V → ℝ^{n} ihre in b = f (a) stetige Umkehrabbildung und f′ (a) die Jacobi-Matrix.

Ist die Jacobi-Determinante det f′ (a) ≠ 0, so ist g in b differenzierbar und g′ (b) = (f′ (a))^{−1}.

Beweis

O.B.d.A. gelte a = 0, f(a) = 0.

Nach Voraussetzung ist f in 0 differenzierbar.

Es gibt dann (analog der Form (⋆⋆) für die Darstellung der Differenzierbarkeitsdefinition) für f eine Darstellung

f (x) = F (x) x mit lim_{x→0} F (x) = f′ (0) ,

wobei F (x) linear und in x = 0 stetig ist, d.h. F (0) = f′(0).

Wegen der Voraussetzung det F (0) = det f′(0) ≠ 0 gibt es in einer geeigneten Umgebung W ⊂ V von 0 die inversen linearen Abbildungen (F (x))^{−1}.

Die Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten (Cramersche Regel) zeigt, daß lim_{x→0} (F (x))^{−1} = (f′ (0))^{−1}.

Aus y = F (x) x mit x ∈ W gewinnt man die äquivalente Gleichung

x = (F (x))^{−1} y.

Durch Einsetzen von x = g(y) und Erklärung der dadurch entstehenden

(F (g (y)))^{−1} =: G (y)

erhält man g(y) = G (y) y mit lim_{y→0} G (y) = (f′ (0))^{−1} als Darstellung für die Umkehrabbildung g für y ∈ W, wobei die Stetigkeit von g in 0 verwendet ist.

Somit ist g in y = 0 differenzierbar und es ist g′(0) = (f′ (0))^{−1}. □

Bemerkung (andere Formulierung von Satz 3.7)

f^{−1} (total) diff’bar ∧ (f^{−1})′ = (f′)^{−1} ∘ f^{−1} ⇒ f^{−1} stetig diff’bar.
Dabei sind (f′)^{−1} und f^{−1} jeweils stetig

3.3 Mittelwertsatz

Im Falle des Eindimensionalen postuliert der Mittelwertsatz zu gegebenen Punkten a und b die Existenz eines zwischen a und b liegenden Punktes c mit gewissen Eigenschaften. Setzt man im Mehrdimensionalen voraus, daß die Definitionsmenge D einer Abbildung konvex ist, dann ist sichergestellt, daß falls ein c auf der Verbindungsstrecke von a und b liegt, c ∈ D gilt. Der Mittelwertsatz lautet dann:

Satz 3.8 (Mittelwertsatz)

Sei U ⊂ ℝ^{n} konvex, f : U → ℝ differenzierbar.

∃c ∈ \overline{a, b} f (b) − f (a) = f′ (c, b − a) .

Beweis

Die Verbindungsstrecke wird durch γ (t) = a + t (b − a) mit 0 ≤ t ≤ 1 beschrieben.

Diese differenzierbare Abbildung hat die konstante Ableitung γ′(t) = b − a.

Für die Funktion F : [0, 1] → ℝ, definiert durch F (t) = f(γ(t)) gibt es bei Anwendung des «gewöhnlichen» Mittelwertsatzes eine Stelle ϑ ∈ ]0, 1[ so, daß F (1) − F (0) = F′(ϑ).

Mit der Kettenregel erhält man F′(t) = f′ (γ (t) , γ′ (t)).

Wegen F (0) = f(a), F (1) = f(b) ist F′ (ϑ) = f(b) − f(a) die linke Seite,

mit t := ϑ und γ (ϑ) =: c als Punkt der Verbindungsstrecke ist γ′ (ϑ) = b − a und f′ (γ (t) , γ′ (t)) wird zur rechten Seite der Behauptung. □

Bemerkung

Ersetzt man die Verbindungsstrecke durch einen beliebigen in U verlaufenden differenzierbaren Weg, so erhält man f (b) − f (a) = f′ (γ (ϑ) , γ′ (ϑ)) mit 0 < ϑ < 1. b − a ist also durch γ′ (ϑ) ersetzt.

Bemerkung

Allgemeiner bedeutet das Betrachten einer in U ⊂ ℝ^{n} erklärten reellwertigen Funktion f längs eines in U verlaufenden Weges γ das Betrachten der Verkettung F := f∘γ von γ : [a, b] → U mit f : U → ℝ. Sind γ und f differenzierbar, so gilt

F′(t) = f′ (γ (t) , γ′ (t)) = ⟨gradf (γ (t)) , γ′ (t)⟩ .

Bemerkung

Umbenennungen führen zu einer anderen Darstellung des Mittelwertsatzes:

f (x + h) − f (x) = f′ (x + ϑh, h) mit 0 < ϑ < 1.

Für Abschätzungen des Zuwachses von f (x + h) − f (x) ist z.B. die Kenntnis eines Zwischenpunktes nicht unbedingt erforderlich. Eine solche Abschätzung erhält man unter den Bedingungen des folgenden Satzes:

Satz 3.9 (Schrankensatz)

Sei U ⊂ ℝ^{n} konvex, f : U → ℝ differenzierbar. Ist gradf auf der Strecke von x nach x + h beschränkt, dann gilt

|f (x + h) − f (x)| ≤ S ∥h∥ ,

mit S ≤ ∥gradf (x + th)∥ für alle 0 ≤ t ≤ 1.

Beweis

Aus f (x + h) − f (x) = f′ (x + ϑh, h) = ⟨gradf(x + ϑh), h⟩ mit 0 < ϑ < 1 folgt wegen |f (x + h) − f (x)| ≤ ∥gradf(x + ϑh)∥ ∥h∥ das Behauptete. □

Bemerkung vgl. Satz 3.29

Satz 3.10 (Charakterisierung der konstanten Funktion)

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und wegzusammenhängend, f : U → ℝ differenzierbar.

Die Bedingung

∀x ∈ U ∀h ∈ ℝ^{n} f′ (x, h) = 0

ist notwendig und hinreichend dafür, daß f konstant ist, d.h.

f′ (x, h) = 0 ⇔ f(x) = c.

Beweis:

«⇐» (notwendig) offensichtlich.

«⇒» (hinreichend):

Seien zwei Punkte a, b durch einen Streckenzug \overline{a = a_{0}, a_{1}, …, a_{k−1}, a_{k} = b} verbunden. Anwendung des Mittelwertsatzes auf Strecken \overline{a_{j+1}, a_{j}} führt unter Beachtung von f′(c_{j}, a_{j+1} − a_{j}) = 0 zu den Gleichungen f(a_{j+1}) = f(a_{j}) für j = 0, 1, …, k − 1, d.h. f(b) = f(a). □

Bemerkung

f′ (x, h) = 0 ⇔ D_{1}f(x) = 0, …, D_{n}f(x) = 0 ⇔ gradf(x) = 0

Bekanntlich ist es für die Differenzierbarkeit einer Abbildung f an einer Stelle a nicht hinreichend, daß in a alle partiellen Ableitungen existieren. Sind diese jedoch stetig, dann folgt daraus die Differenzierbarkeit von f in a. Da sich die Eigenschaft der Stetigkeit relativ leicht prüfen läßt, ist eine solche Aussage über die Differenzierbarkeit für Anwendungen wichtig.

Satz 3.11 (Stetigkeit und Differenzierbarkeit)

Sei U ⊂ ℝ^{n} , f : U → ℝ besitze sämtliche partiellen Ableitungen D_{1}f, …, D_{n}f. Sämtliche D_{i}f sind in a stetig ⇒ f ist in a differenzierbar.

Beweis

Zu zeigen ist

lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a) − f′(a, h)}{∥h∥} = 0.

Setze für die Ableitung f′ (a, h) = D_{1}f (a) h_{1} +⋯+D_{n}f (a) h_{n} die Unterteilung von a, a + h an mit

a_{0} = a,
a_{1} − a_{0} = h_{1}e_{1},
a_{2} − a_{1} = h_{2}e_{2},
⋮  ⋮
a_{n} − a_{n−1} = h_{n}e_{n}.

Entwickle f(a+h)−f(a) als Teleskopsumme und wende jeweils den Mittelwertsatz auf die «Einzelsummanden» an, d.h. zu jeder «Strecke» \overline{a_{j−1}, a_{j}} gehöre der Zwischenwert c_{j}:

f(a + h) − f(a_{n−1})
+ f(a_{n−1}) − f(a_{n−2})
+ f(a_{n−2}) − f(a_{n−3})
...  ...  ...  ...  ... ... ... ...
+ f(a_{1}) − f(a_{0})
c_{n}  c_{n−1}  c_{n−2}  …  c_{1}

Dann ist

f(a + h) − f(a) = ∑_{j=1}^{n} D_{j}f (c_{j}) h_{j}
f(a + h) − f(a) − f′ (a, h) = ∑_{j=1}^{n} D_{j}f (c_{j}) h_{j} − f′ (a, h)
= ∑_{j=1}^{n} (D_{j}f (c_{j}) h_{j} − D_{j}f (a) h_{j})
|f(a + h) − f(a) − f′ (a, h)| ≤ ∑_{j=1}^{n} |D_{j}f (c_{j}) h_{j} − D_{j}f (a) h_{j}|
≤ ∥h∥ ∑_{j=1}^{n} |D_{j}f (c_{j}) − D_{j}f (a)|
\frac{|f(a+h)−f(a)−f′(a,h)|}{∥h∥} ≤ ∑_{j=1}^{n} |D_{j}f (c_{j}) − D_{j}f (a)|

Wegen der Stetigkeit von D_{1}f, ..., D_{n}f folgt die Behauptung. □

Bemerkung Die Sätze 3.8 bis 3.11 sind von reellwertigen Funktionen f : U → ℝ auf vektorwertige Abbildungen f : U → ℝ^{m} übertragbar, da sie für jede Einzelkomponente f_{i} von f gelten. Als lediglich technische Schwierigkeit erweist sich, daß bezüglich des Mittelwertsatzes die Zwischenstellen für die Einzelkomponenten im allgemeinen nicht dieselben sind. Ist der Schrankensatz anwendbar, läßt sich ein S z.B. als S = max {S_{1}, …, S_{m}} oder als S = S_{1} + … + S_{m} bilden, wenn man in ℝ^{m} die Maximumsnorm oder die l_{1}-Norm verwendet. Man bekommt als Normabschätzung für den Zuwachsvektor:

∥f(x + h) − f(x)∥ ≤ S ∥h∥ .

Folgerung (vgl. Satz 3.10)

Ist U ⊂ ℝ^{n} der differenzierbaren f : U → ℝ^{m} wegzusammenhängend, dann gilt

∀x ∈ U ∀h ∈ ℝ^{n} f′(x, h) = 0 ⇒ f konstant.

Satz 3.12 Sei U ⊂ ℝ^{n} , f : U → ℝ stetig differenzierbar, K ⊂ U kompakt und konvex.

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ K mit ∥y − x∥ ≤ δ gilt
|f (y) − f (x) − ⟨gradf (x) , y − x⟩| < ε ∥y − x∥ .

Beweis

Nach dem Mittelwertsatz, der Schwarzschen Ungleichung und weil gradf auf der kompakten Menge K gleichmäßig stetig ist, gilt

|f(y) − f(x) − ⟨gradf (x) , y − x⟩| = |⟨gradf (z) , y − x⟩ − ⟨gradf (x) , y − x⟩|
≤ ∥gradf(z) − gradf(x)∥ ∥y − x∥ ,

wobei z ein Punkt der Verbindungsstrecke \overline{x, y} ist. □

3.4 Höhere Ableitungen. Taylorscher Satz

Die Ableitung f′ einer differenzierbaren Abbildung f kann in zweierlei Weisen aufgefaßt werden:

1. Ist f an allen Stellen x ∈ U ⊂ ℝ^{n} differenzierbar, so erhält man die Ableitung f′ von f als Abbildung von U

f′ : U → L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) definiert durch
x ↦ f′(x).

Dabei ist L die Menge der linearen Abbildungen L : ℝ^{n} → ℝ^{m}. Eine direkte Einführung einer zweiten Ableitung f′′ bietet sich unmittelbar an mit

f′′ := (f′)′  und daher
f′′ : U → L(ℝ^{n}, L(ℝ^{n}, ℝ^{m}))

(Dieser Weg wird zunächst nicht weiter verfolgt).

2. Ist f an allen Stellen x ∈ U ⊂ ℝ^{n} differenzierbar, so erhält man die Ableitung f′ von f als Abbildung von U × ℝ^{n}

f′ : U × ℝ^{n} → ℝ^{m} definiert durch
(x, h) ↦ f′(x)h.

Dabei ist f′ linear in der Variablen h. Ergebnis ist ein «Ableitungsvektor» f′(x)h des ℝ^{m}, der auch (wie bisher) mit f′(x, h) bezeichnet wird. Eine Einführung einer zweiten Ableitung f′′ kann geschehen mit

f′′(x, h, k) := g′_{h}(x, k) und daher
f′′ : U × ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ^{m}

Dazu wird für festes h ∈ ℝ^{n} die Abbildung g_{h} : U → ℝ^{m} mit g_{h}(x) = f′(x, h) erklärt. Ist dieses g_{h} für jedes h ∈ ℝ^{n} differenzierbar, so heißt f zweimal differenzierbar. Diese Betrachtungsweise führt Ableitungen als multilineare Abbildungen ein, d.h. linear, bilinear usw.

Bemerkung

f′′ ist für jedes x ∈ U eine bilineare Abbildung, d.h. insbesondere

\begin{aligned}f′′ (x, h_{1} + h_{2}, k) & = & f′′ (x, h_{1}, k) + f′′ (x, h_{2}, k) , \\ f′′ (x, ch, k) & = & cf′′ (x, h, k) . \end{aligned}

Bei Verwendung der Standardbasis von ℝ^{n} mit h und k als Richtungsvektoren gilt

f′ (x, h) = ∑_{i=1}^{n} D_{i}f (x) h_{i},
f′′ (x, h, k) = ∑_{j=1}^{n} D_{j} (∑_{i=1}^{n} D_{i}f (x) h_{i}) k_{j}
= ∑_{j=1}^{n} ∑_{i=1}^{n} D_{j}D_{i}f (x) h_{i}k_{j}.

Bemerkung

Existiert f′′, dann existieren auch die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung D_{j}D_{i}f(x). Schreibweisen sind

D_{j}D_{i}f = \frac{∂ (\frac{∂f}{∂x_{i}} )}{∂x_{j}} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} = f_{x_{i}x_{j}} = f_{ij}

Betrachtet man h und k als Parameter, dann wird in Anwendung der Def. 3.1 auf die Ableitung von g_{h} die definierende Bedingung für die zweite Ableitung von f zu

f′ (x + k, h) − f′ (x, h) = f′′ (x, h, k) + R_{x} (h, k) ∥k∥

mit lim_{k→0} R_{x}(h, k) = 0 und R_{x} linear in h.

Satz 3.13 (Satz von Schwarz)

Sei U ⊂ ℝ^{n}, f : U → ℝ^{m} zweimal differenzierbar. Dann ist

∀k, h ∈ ℝ^{n} f′′ (x, h, k) = f′′ (x, k, h) ,

d.h. daß die bilineare Abbildung (h, k) ↦ f′′ (x, h, k) symmetrisch ist.

Beweis

Beweisidee: f (x + h + k) − f (x + h) − f (x + k) + f (x) ist ein Näherungswert für f′′ (x, h, k). Zu zeigen ist

lim_{s↘0} \frac{f (x + sh + sk) − f (x + sh) − f (x + sk) + f (x)}{s^{2}} = f′′ (x, h, k) .

Da die linke Seite bei Vertauschung von h und k sich nicht ändert, folgt die Behauptung der Symmetrie unmittelbar.

O.B.d.A. genügt es, den Beweis für reellwertiges f zu führen.

Schritt 1:

Es gilt mit 0 < ϑ < 1

(⋆)  f (x + h + k) − f (x + h) − f (x + k) + f (x)
= f′′ (x, h, k) + R_{x} (h, ϑh + k) ∥ϑh + k∥ − R_{x} (h, ϑh) ∥ϑh∥ .

Mit 0 ≤ t ≤ 1 für die Hilfsfunktion

F (t) := f (x + th + k) − f (x + th)

für die beiden ersten Glieder der linken Seite von (⋆) gelten

F′(t) = f′ (x + th + k, h) − f′ (x + th, h) ,
F (1) − F (0) = f (x + h + k) − f (x + h) − f (x + k) + f (x) .

Nach dem Mittelwertsatz für Funktionen einer reellen Variablen gilt

F (1) − F (0) = F′(ϑ) mit 0 < ϑ < 1.

Mit «Einschieben» von f′(x, h) wird dann

\begin{aligned}& f (x + h + k) − f (x + h) − f (x + k) + f (x) \\ = & (f′ (x + ϑh + k, h) − f′ (x, h)) − (f′ (x + ϑh, h) − f′ (x, h)) . \end{aligned}

Mit Hilfe der definierenden Bedingung für die zweite Ableitung (vgl. Bemerkung vor Satz) können die Differenzen der rechten Seite umgeformt werden zu

f′ (x + ϑh + k, h) − f′ (x, h) = f′′ (x, h, ϑh + k) + R_{x} (h, ϑh + k) ∥ϑh + k∥ ,
f′ (x + ϑh, h) − f′ (x, h) = f′′ (x, h, ϑh) + R_{x} (h, ϑh) ∥ϑh∥ .

Wegen f′′ (x, h, ϑh + k)− f′′ (x, h, ϑh) = f′′ (x, h, k) folgt bei Ausführung der Differenz der rechten Seite die Gleichung (⋆).

Schritt 2:

Mit Substitution von h durch sh, von k durch sk mit s > 0 und da R_{x} nach Voraussetzung in h linear ist wird der Zähler des lim-Ausdrucks für reellwertiges f zu

\begin{aligned}& f (x + sh + sk) − f (x + sh) − f (x + sk) + f(x) \\ = & s^{2} (f′′ (x, h, k) + R_{x} (h, s(ϑh + k)) ∥ϑh + k∥ − R_{x} (h, sϑh) ∥ϑh∥) . \end{aligned}

Wegen lim_{s→0} R_{x} (h, s(ϑh + k)) = 0 und lim_{s→0} R_{x} (h, sϑh) = 0 folgt die Behauptung. □

Folgerung

Ist f zweimal differenzierbar, dann gilt D_{i}D_{j}f(x) = D_{j}D_{i}f(x).

Bemerkung

Entsprechend Satz 3.11 bzw. seiner Verallgemeinerung auf ℝ^{m} kann ausgesagt werden: Existieren alle zweiten partiellen Ableitungen von f und sind sie stetig, dann ist f zweimal differenzierbar.

Höhere oder p-te Ableitungen werden in Verfolg der zweiten Auffassung gesehen als

f^{(p)} : U × \underbrace{ℝ^{n} × ⋯ × ℝ^{n}}_{p−mal} → ℝ^{m}

(x, h^{(1)}, …, h^{(p)}) ↦ f^{(p)} (x, h^{(1)}, …, h^{(p)})

Bei festem x besteht eine totalsymmetrische p-fach lineare Abbildung.

Bemerkung

Ist f^{(p)} stetig, dann heißt f p-mal stetig differenzierbar. Gilt ∀p ∈ ℕ ∃f^{(p)}, so heißt f unendlich oft differenzierbar.

Satz 3.14 (Taylorsche Formel)

Sei U ⊂ ℝ^{n} , f : U → ℝ (p + 1)-mal differenzierbar, die Verbindungsstrecke \overline{x, x + h} ⊂ U.

Dann gilt

f (x + h) = f (x) + f′ (x, h) + \frac{1}{2!}f′′ (x, h, h) +

+ … + \frac{1}{p!}f^{(p)}(x, \underbrace{h, …, h}_{p−mal}) + R_{p} (x, h)

wobei das Restglied R_{p} mit 0 < ϑ < 1 geschrieben werden kann als

R_{p}(x, h) = \frac{1}{(p + 1)!}f^{(p+1)}(x + ϑh, \underbrace{h, …, h}_{(p+1)−mal}).

Beweis

Beweisidee analog der des Mittelwertsatzes. Setze γ (t) = x + th mit 0 ≤ t ≤ 1.

Wende auf F = f ∘ γ den (eindimensionalen) Taylorschen Satz an:

F (1) = F (0) + F′(0) + \frac{1}{2!}F′′(0) + … + \frac{1}{p!}F^{(p)}(0) + \frac{1}{(p + 1)!}F^{(p+1)}(ϑ).

Die Ableitungen von F sind

F′(t)  = f′(γ (t) , γ′ (t))  = f′(γ (t) , h),
F′′(t)  = f′′(γ (t) , h, γ′ (t)) = f′′(γ (t) , h, h),
⋮  ⋮  ⋮
F^{(p)}(t)  = …  = f^{(p)}(γ (t) , \underbrace{h, …, h}_{p−mal}),
F^{(p+1)}(t) = …  = f^{(p+1)}(γ (t) , \underbrace{h, …, h}_{(p+1)−mal}).

Mit γ(0) = x und γ(1) = x + h folgt das Behauptete. □

Bemerkung

Unter der Voraussetzung, daß f (p+1)-mal stetig differenzierbar ist, erhält man eine Integraldarstellung des Restgliedes

R_{p}(x, h) = \frac{1}{p!} ∫_{0}^{1}(1 − t)^{p}F^{(p+1)}(t)dt
= \frac{1}{p!} ∫_{0}^{1}(1 − t)^{p}f^{(p+1)}(x + th, \underbrace{h, …, h}_{(p+1)−mal})dt.

Bemerkung

Entsprechend dem Mittelwertsatz ist auch für die Taylor-Formel die Übertragung auf vektorwertige Abbildungen möglich.

3.5 Zweite Ableitungen

Die zweite Ableitung n-dimensionaler reellwertiger Funktionen ist sehr wichtig wegen ihrer Rolle in physikalisch-mathematischen Modellen, wie Wellenausbreitung, Wärmediffusion, Strömungen u.a.

Die zweite Ableitung ist eine symmetrische Bilinearform. f′′ (x, h, h) mit h ∈ ℝ^{n} ist die zugehörige quadratische Form und heißt auch Hesse-Form von f an der Stelle x.

Definition 3.7 (Hesse-Form bzgl. Standardbasis)

Die Hesse-Form hat bezüglich der Standardbasis die Darstellung

f′′ (x, h, h) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} f_{ij} (x) h_{i}h_{j} = h^{⊤}Hh

mit f_{ij} (x) = D_{i}D_{j}f (x), h = ∑ h_{i}e_{i} und der Hesse-Matrix H_{ij} = (f_{ij}).

Erinnerung (Lineare Algebra)

Eine quadratische Form Q : ℝ^{n} → ℝ in x hat die Gestalt

Q(x) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} = x^{⊤}Ax

mit x = (x_{1}, x_{2}, …, x_{n})^{⊤} und der (reellen quadratischen) symmetrischen Matrix A = (a_{ij}). Sie läßt sich nach den Eigenwerten λ, die sie annehmen kann, klassifizieren (hier: Eigenwert(e) λ der Matrix A abgekürzt mit EWe)

i) positiv definit  ∀x ≠ 0 Q(x) > 0 ⇔ alle EWe > 0
ii) negativ definit  ∀x ≠ 0 Q(x) < 0 ⇔ alle EWe < 0
iii) positiv semidefinit  ∀x ≠ 0 Q(x) ≥ 0 ⇔ alle EWe ≥ 0
iv) negativ semidefinit  ∀x ≠ 0 Q(x) ≤ 0 ⇔ alle EWe ≤ 0
v) indefinit  ∃x_{1} Q (x_{1}) > 0 ⇔ ∃EWe > 0
und ∃x_{2} Q (x_{2}) < 0  und ∃EWe < 0

Im Falle n = 2 erhält man als einfaches Kriterium mit A = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} )

i) positiv definit  det A > 0 ∧ a > 0
ii) negativ definit  det A > 0 ∧ a < 0
iii) positiv semidefinit det A ≥ 0 ∧ a ≥ 0
iv) negativ semidefinit det A ≥ 0 ∧ a ≤ 0
v) indefinit  det A < 0

Quadriken

Die Funktion f : U → ℝ sei in einer Umgebung von a ∈ U zweimal differenzierbar, f′′(a, h, k) sei nicht die Nullmatrix.

Definition 3.8 (Quadrik)

Die quadratische Gleichung

x_{n+1} = f (a) + f′ (a) (x − a) + \frac{1}{2} (x − a)^{⊤} f′′ (a) (x − a)

beschreibt eine Quadrik (Fläche 2.Ordnung) im ℝ^{n+1}.

Bemerkung

Man spricht in diesem Falle auch von der Schmiegequadrik an den Graphen von f in (a, f(a)) . Im Falle n = 2 kann man durch geeignete affine Koordinatentransformation jede beliebige Schmiegequadrik auf eine der folgenden Normalformen bringen

(E) z = ±(x^{2} + y^{2}) elliptisches Paraboloid
(H) z = x^{2} − y^{2}  hyperbolisches Paraboloid
(P) z = ±x^{2}  parabolischer Zylinder

Bemerkung Zweimal differenzierbare Abbildungen f können klassifiziert werden: Der Graph von f heißt in einem Punkt (a, f(a))

elliptisch  ⇔ f′′(a) ist positiv oder negativ definit
hyperbolisch ⇔ f′′(a) ist nicht singulär und indefinit
parabolisch ⇔ f′′(a) singulär und ungleich der Nullmatrix
flach  ⇔ f′′(a) ist gleich der Nullmatrix

Ein hyperbolischer Punkt heißt Sattelpunkt.

Beispiel Die Funktion f(x, y) = 3x^{2}y − y^{3} hat die Hesse-Matrix

f′′(x, y) = ( \begin{matrix}D_{xx} & D_{xy} \\ D_{yx} & D_{yy} \end{matrix} ) f (x, y) = 6 ( \begin{matrix}y & x \\ x & −y \end{matrix} ) .

Sie ist an der Stelle (x, y) = (0, 0), d.h. im Nullpunkt, wegen

f′′(0, 0) = 6 ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

flach, ansonsten wegen

det f′′(x, y) = 36 | \begin{matrix}y & x \\ x & −y \end{matrix} | = −36(y^{2} + x^{2}) < 0 ∀(x, y) ≠ (0, 0)

indefinit und damit hyperbolisch.

Lokale Minima und Maxima

Zur Charakterisierung lokaler Extrema bei n-dimensionalen Funktionen bedarf es der Entwicklung entsprechender Bedingungen, denen f : U → ℝ genügen muß.

Definition 3.9 (kritische Stelle)

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen, f : U → ℝ differenzierbar, a ∈ U.

a heißt kritische Stelle von f, wenn ∀h ∈ ℝ^{n} f′(a, h) = 0.

Bemerkung

∀h ∈ ℝ^{n} f′(a, h) = 0 ⇔ D_{1}f(a) = … = D_{n}f(a) = 0 ⇔ gradf(a) = 0. Satz 3.15

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen, f : U → ℝ differenzierbar, a ∈ U.

a ist lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion f ⇒ a ist kritische Stelle von f.

Beweis (für Maximum, Minimum analog)

Voraussetzung mit V Umgebung: ∃V ∀x ∈ V f(x) ≤ f(a).

Wähle h ≠ 0 so, daß a + h, a − h ∈ V.

Betrachte f auf der Verbindungsstrecke \overline{a − h, a + h}, d.h. die Funktion F (t) := f(a + th) mit −1 ≤ t ≤ 1.

Da F (t) ≤ F (0) und F differenzierbar, folgt F′(0) = 0 = f′(a, h).

Wegen der Linearität von f′ bezüglich h gilt dies nicht nur für ein h = 0 ∈ ℝ^{n}, sondern für alle h ∈ ℝ^{n}. □

Die Vorgehensweise zur Bestimmung von Extremalstellen einer differenzierbaren rellwertigen Funktion f von n Variablen besteht daher in zwei Schritten

1. Ermittle zunächst alle kritischen Stellen von f

2. Prüfe die kritischen Stellen einzeln auf ihre Extremaleigenschaft.

Satz 3.16

Sei U ⊂ ℝ^{n}, f : U → ℝ zweimal stetig differenzierbar, a ∈ U kritische Stelle.

Ist die quadratische Form f′′(a, h, h) positiv definit, so ist a Minimum von f, ist sie negativ definit, so ist a Maximum von f, und ist sie indefinit, so ist a keine Extremalstelle von f , sondern Sattelpunkt.

Beweis

f(x) = f(a) + f′(a, x − a) + \frac{1}{2}f′′(a + ϑ(x − a), x − a, x − a) mit 0 < ϑ < 1 (Taylor-Formel). f′(a, x − a) = 0 nach Voraussetzung. Das weitere Verhalten von f hängt daher von f′′, genauer von dem (eigentlichen) Restglied ab. Wegen der Stetigkeit der zweiten Ableitung ist

f′′(a + ϑ(x − a), x − a, x − a) = f′′(a, x − a, x − a) + r(x) ∥x − a∥^{2}

mit lim_{x→a} r(x) = 0.

Fall 1: f′′(a, h, h) positiv definit.

∃c > 0 f(a, h, h) ≥ c ∥h∥^{2}, denn das Minimum c der quadratischen Form ist auf der Einheitskugel ∥h∥ = 1 positiv nach Voraussetzung. Bei Wahl von ∥x − a∥ so klein, daß |r(x)| < \frac{c}{2}, wird

f(x) − f(a) = \frac{1}{2} (f′′(a, x − a, x − a) + r(x) ∥x − a∥^{2})

und daraus die Abschätzung

f(x) − f(a) ≥ \frac{c}{4} ∥x − a∥^{2} ,

d.h. a ist lokales Minimum für f.

Fall 2: f′′(a, h, h) negativ definit.

Beweisführung analog. Fall 3: f′′(a, h, h) indefinit. ∃h_{0} ∥h_{0}∥ = 1, f′′(a, h_{0}, h_{0}) > 0 und ∃k_{0} ∥k_{0}∥ = 1, f′′(a, k_{0}, k_{0}) < 0. Betrachte die beiden Geraden durch a mit den Richtungen h_{0} und k_{0}: für ein genügend kleines ∥x − a∥ wird f(x)−f (a) positiv bzw. negativ. D.h. a ist kein lokales Extremum. □

Bemerkung Wenn die quadratische Form f′′(a, h, h) positiv semidefinit bzw. negativ semidefinit ist, so ist dies für ein lokales Extremum notwendig, aber nicht hinreichend.

Beispiel f(x, y) = x^{2} + y^{3}. Setze gradf(x, y) = (2x, 3y^{2}) = (0, 0). Dann ist (0, 0) der einzige kritische Punkt.

f′′(0, 0) = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 6y \end{matrix} )_{(0,0)} = ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

ist positiv semidefinit, aber (0, 0) ist kein Extremum. Übersicht Ist (x_{0}, y_{0}) kritische Stelle von f : U ⊂ ℝ^{2} → ℝ und notiert man

( \begin{matrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} )

- Zitat: Schwarz bringt Symmetrie! - dann ist

a > 0 ac − b^{2} > 0 hinreichend für Minimum
a < 0 ac − b^{2} > 0 hinreichend für Maximum
a ≥ 0 ac − b^{2} ≥ 0 notwendig für Minimum
a ≤ 0 ac − b^{2} ≥ 0 notwendig für Maximum
ac − b^{2} < 0 hinreichend für kein Extremum

Konvexe Funktionen Definition 3.10 (konvexe Funktion)

Sei U ⊂ ℝ^{n} offen und konvex. f : U → ℝ heißt konvex, wenn

∀x_{1}, x_{2} ∈ U x_{1} ≠ x_{2} ∧ ∀t ∈ [0, 1]

f ((1 − t) x_{1} + tx_{2}) ≤ (1 − t) f (x_{1}) + tf (x_{2}) .

Für t ∈ ]0, 1[ und mit «<» heißt f streng konvex.

Konkav und streng konkav analog ⇔ −f konvex bzw. streng konvex. Bemerkung

vgl. Def. 1.20 (konvexe Menge)

Satz 3.17 Sei U ⊂ ℝ^{n} konvex, f : U → ℝ differenzierbar. f ist streng konvex genau dann, wenn

∀a, x ∈ U x ≠ a f(x) > f(a) + f′(a, x − a).

Satz 3.18 (Konvexitätskriterium)

Sei U ⊂ ℝ^{n} konvex, f : U → ℝ zweimal differenzierbar. Ist f′′ überall in U positiv definit, dann ist f streng konvex.

Beweis Mit der Voraussetzung, daß f in U zweimal differenzierbar ist, gilt mit der Taylor-Formel

f(x) = f(a) + f′(a, x − a) + \frac{1}{2}f′′(a + ϑ(x − a), x − a, x − a)

mit 0 < ϑ < 1. Nach Satz 3.17 gilt für strenge Konvexität

f(x) − f(a) − f′(a, x − a) > 0.

Dies bedeutet, daß für x ≠ a

f′′(a + ϑ(x − a), x − a, x − a) > 0.

Hieraus folgt als hinreichende Bedingung für die strenge Konvexität:

∀y ∈ U ∀h ∈ ℝ^{n} f′′(y, h, h) > 0.
□

Bemerkung

Hinreichende Bedingung für Konvexität zweimal differenzierbarer Funktionen ist, daß alle Hesse-Formen positiv semidefinit sind. Aber

streng konvex ⇒ H_{f} positiv semidefinit
streng konvex ⇏ H_{f} positiv definit

3.6 Lineare Differentialoperatoren

Sofern nicht anders angegeben, erfolgen die nachstehenden Notationen auf der Grundlage eines ℝ-Vektorraumes mit den entsprechenden Einheitsvektoren, die die Standardbasis bilden.

Definition 3.11 (linearer Differentialoperator)

Werden in dem multivariaten Polynom

P (x) = ∑ a_{k_{1}···k_{n}}x_{1}^{k_{1}} ⋯ x_{n}^{k_{n}}

die x_{i} durch die (partiellen) Ableitungsoperatoren D_{i} ersetzt, so entsteht ein sog. linearer Differentialoperator P (D) mit konstanten Koeffizienten.

Hat P den Grad k mit k = max {k_{1} + ⋯ + k_{n}}, so ist P (D) die lineare Abbildung

P (D) : C^{k} (U) → C (U)

und

P (D) f := ∑ a_{k_{1}...k_{n}}D_{1}^{k_{1}} ⋯ D_{n}^{k_{n}}f,

wobei D_{i}^{p} bedeutet, D_{i} p-mal anzuwenden.

Laplace-Operator

Setzt man die Koeffizienten a_{k_{1}...k_{n}} gleich Null mit Ausnahme von

a_{2,0,...,0} = a_{0,2,...,0} = ⋯ = a_{0,0,...,2} = 1,

dann erhält man für P (D) den Laplace-Operator:

Δ := D_{1}^{2} + D_{2}^{2} + ⋯ + D_{n}^{2},

d.h. mit der Euklidischen Metrik auf ℝ^{n} wird über die zugehörige quadratische Form

Q(x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}

dieser Differentialoperator induziert.

Alternativ wird der Laplace-Operator Δ über die Spur (=Summe der Diagonaleinträge) der Hesse-Matrix einer zweimal differenzierbaren Funktion

spurH_{f}(x) = ∑_{i=1}^{n} D_{i}^{2}f = Δf(x)

hergeleitet.

Die Bedeutung dieses Operators - insbesondere für die theoretische Physik - ergibt sich aus seiner zentralen Eigenschaft der Drehinvarianz.

Satz 3.19

Für jede Orthonormalbasis (ONB) v_{1}, …, v_{n} des euklidischen ℝ^{n} gilt

Δf = D_{v_{1}}^{2}f + … + D_{v_{n}}^{2}f.

Beweis

Allgemein ist

D_{v_{i}}D_{v_{j}}f(x) = v_{i}^{⊤}H_{f}(x)v_{j}.

Mit der Orthogonalmatrix V := (v_{n}) wird

D_{v_{i}}D_{v_{j}}f(x) = e_{i}^{⊤}H̃_{f}(x)e_{i}

mit H̃_{f}(x) = V^{⊤}H_{f}V (Transformation auf Standardbasis).

Da V orthogonal, wird

∑_{i=1}^{n} D_{v_{i}}^{2}f = spurH̃,

d.h. H und H̃ haben gleiche Spur. □

Bemerkung

Sei D ⊂ ℝ^{n} offen, f : D → ℝ. Der Laplace-Operator Δ mit

Δf := ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}^{2}} = spurH_{f}

ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen, einer wichtigen Eigenschaft zur Modellierung physikalischer Phänomene in isotropen Medien. Unter allen linearen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten sind cΔ + d mit c, d ∈ ℝ die einzigen Differentialoperatoren mit dieser Eigenschaft. (Zweiter Ordnung heißt: das zugehörige Polynom hat den Grad 2.)

Beispiel 1 Potentialgleichung

• homogene Potentialgleichung Δu = 0, wichtig z.B. in Riemann-Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen. So kann man zeigen, daß jede komplex differenzierbare Funktion (reell) Δf = 0 erfüllt.

• inhomogene Potentialgleichung Δu = f mit f als fest gegebener Funktion, wichtig z.B. in Gravitationstheorie, allgemeiner «Potentialtheorie».

Definition 3.12 (harmonische Funktion)

Die Lösungen u der homogenen Potentialgleichung Δu = 0 heißen harmonische Funktionen.

Beispiel 2 Wellen- und Schwingungsgleichung

Δ_{x}ψ = \frac{1}{c^{2}} ψ_{tt}

mit c ≠ 0 für Funktionen ψ(x, t) mit «Ort» x ∈ ℝ^{n}, «Zeit» t ∈ ℝ und

Δ_{x} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}}{∂x_{i}^{2}}

beschreibt Dynamik elektrischer oder magnetischer Felder, ... Beispiel 3 Wärmeleitungsgleichung

Δ_{x}ψ = \frac{1}{k} ψ_{t}

mit k > 0 beschreibt Dynamik bei der Wärmeausbreitung.

3.7 Maximumprinzipien

Satz 3.20 Sei D ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, f : D̄ → ℝ zweimal differenzierbar in D und stetig auf D̄. f genüge der Differentialgleichung Δf ≥ 0 in D. Dann nimmt f ihr Maximum auf dem Rand ∂D an.

Beweis Definiere M := max {f(x), x ∈ D̄} , m := max {f(x), x ∈ ∂D}. Diese Maxima existieren, da D̄ und ∂D kompakt. Immer gilt m ≤ M. Zu zeigen: m = M. Annahme: m < M. Definiere g(x) := ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}. Dann «Laplace-g» Δg = 2n > 0. Setze ε := \frac{M−m}{2 max\{g(x),x∈∂D\}} > 0. Definiere h := f + εg. Dann gelten h ≥ f und Δh = Δf + εΔg > 0 sowie

max \{h(x), x ∈ ∂D\} ≤ m + ε max \{g(x), x ∈ ∂D\} = m + \frac{M − m}{2} < M.

Daraus folgt: h nimmt Maximum in x_{0} ∈ D an. Notwendig für Maximum ist H_{h}(x_{0}) negativ semidefinit. Wegen Δh(x_{0}) > 0 ⇒ ∃k ∈ \{1, …, n\} mit \frac{∂^{2}h}{∂x_{k}^{2}} (x_{n}) > 0.

Aber \frac{∂^{2}h}{∂x_{k}^{2}} (x_{0}) = e_{k}^{⊤}H_{h}(x_{0})e_{k} ≤ 0. Widerspruch, d.h. m = M. □

Korollar 3.21 Sei D ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, f : D̄ → ℝ zweimal differenzierbar in D und stetig auf D̄. f sei in D harmonisch, d.h. Δf = 0. Dann nimmt f ihr Minimum und ihr Maximum auf dem Rand ∂D an. («Strikt»-werden der Differentialgleichung.)

Beweis Δf ≥ 0, Δ(−f) ≥ 0 ⇒_{wegen 3.20} f, (−f) nehmen Maximum auf ∂D an. □ Anwendung auf Dirichlet-Problem für inhomogene Potentialgleichungen: Finde u : D̄ → ℝ, D offen, beschränkt, u in D zweimal differenzierbar, auf D̄ stetig mit Δu = f in D, u|_{∂D} = g. (Anm.: f ist vorgegeben, u|_{∂D} bedeutet «eingeschränkt auf Rand».)

Satz 3.22 Falls eine Lösung u des Dirichletschen Problems existiert, dann ist sie eindeutig.

Beweis Seien u_{1}, u_{2} Lösungen. Bilde u := u_{1} − u_{2}. Dann gilt in D:

Δu = Δu_{1} − Δu_{2} = f − f = 0,

ebenso

u|_{∂D} = u_{1}|_{∂D} − u_{2}|_{∂D} = g − g = 0.

Mit Korollar 3.21 (u anstelle von f) nimmt u Minimum und Maximum auf Rand an, d.h. u|_{∂D} = 0 ⇒ u = 0 ⇒ u_{1} = u_{2}. □

Bemerkung Existenzaussagen sind wesentlich schwieriger.

Literatur Protter; Weinberger: Maximum Principles in Differential Equations.

3.8 Nablakalkül

Rechnungen und Schreibweisen gestalten sich oft leichter mit Hilfe des Nablakalküls unter Benutzung des Nablaoperators ∇ (auch \frac{∂}{∂r r r}) als symbolischen Vektor. Sei a, b : ℝ^{n} → ℝ, fff,ggg : ℝ^{n} → ℝ^{m}, vvv,w w w : ℝ^{n} → ℝ^{n} («Vektorfeld»). Gradient (Symbol grada = ∇a, Verknüpfung ∇a) Vektorgradient (Symbol gradfff, Verknüpfung ∇fff)

∇fff := (\frac{∂f^{i}}{∂x_{j}} )_{ij} = ( \begin{matrix}\frac{∂f^{1}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂f^{1}}{∂x_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f^{m}}{∂x_{1}} & ⋯ & \frac{∂f^{m}}{∂x_{n}} \end{matrix} ) = ( gradf^{1} ; ⋮ ; gradf^{m} ) ,

was der Jacobi-Matrix von fff entspricht. Divergenz (Symbol divvvv, Verknüpfung ∇ · vvv = ⟨∇,vvv⟩)

∇ · vvv := ∑_{i=1}^{n} \frac{∂v^{i}}{∂x_{i}} = ( ⋮_{\frac{∂}{∂x_{n}}}^{\frac{∂}{∂x_{1}}} ) · ( v^{1} ; ⋮ ; v^{n} ) .

Rotation (nur für n = 3) (Symbol rotvvv = curlvvv, Verknüpfung ∇ × vvv)

∇ × vvv := ( \begin{matrix}\frac{∂v^{3}}{∂x_{2}} & −\frac{∂v^{2}}{∂x_{3}} \\ \frac{∂v^{1}}{∂x_{3}} & −\frac{∂v^{3}}{∂x_{1}} \\ \frac{∂v^{2}}{∂x_{1}} & −\frac{∂v^{1}}{∂x_{2}} \end{matrix} ) =

= ( \frac{∂}{∂x_{1}} ; \frac{∂}{∂x_{2}} ; \frac{∂}{∂x_{3}} ) × ( \begin{matrix}v^{1} \\ v^{2} \\ v^{3} \end{matrix} ) = det | \begin{matrix}e_{1} & \frac{∂}{∂x_{1}} & v^{1} \\ e_{2} & \frac{∂}{∂x_{2}} & v^{2} \\ e_{3} & \frac{∂}{∂x_{3}} & v^{3} \end{matrix} | .

Es ist zumeist praktisch, Vektoren als Spaltenvektoren, Gradienten als Zeilenvektoren zu notieren. Dann läßt sich z.B. die Taylor-Entwicklung schreiben

a(x) = a(x_{0}) + \underbrace{∇a(x_{0})}_{Zeilenvektor} \underbrace{(x − x_{0})}_{Spaltenvektor} +\frac{1}{2}(x − x_{0})^{⊤}H H H_{a}(x)(x − a) + Rest,

manchmal mit H H H_{a} = ∇^{2}a = ∇∇a, eigentlich ∇(∇_{a})^{⊤}. Es gilt für die Beziehung zwischen Nablaoperator und Laplace-Operator

∇ · ∇a = ∇ · (\frac{∂a}{∂x_{i}} )_{i} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂}{∂x_{i}} \frac{∂a}{∂x_{i}} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂^{2}a}{∂x_{i}^{2}} = Δa

Weitere Regeln

• ∇∇ · a ist nicht definiert

• ∇(afff) = a∇fff + fff∇a

• ∇ · (avvv) = a∇ · vvv + (∇a)vvv

• ∇ · (vvv × w w w) = (∇ × vvv)^{⊤}w w w − (∇ × w w w)^{⊤}vvv

• ∇ · ∇ × vvv = 0

• ∇ × (∇ × vvv) = rot rotvvv = grad divvvv − Δvvv

Rechenregeln für den Nablaoperator (Vektordifferentiation) Der Nablakalkül übersetzt Vektoranalysis in Vektoralgebra und umgekehrt. Nutzung der Schreibweisen und Regeln aus der Vektoralgebra mit den Vektoren a a a, bbb und ccc sowie α ∈ ℝ

• a a abbb für das Skalarprodukt mit

a a abbb = bbba a a,
α(a a abbb) = (αa a a)bbb,
a a a(bbb + ccc) = a a abbb + a a accc,
a a a^{2} := a a aa a a = |a a a|^{2}

• a a a × bbb für das Vektorprodukt mit

a a a × bbb = −(bbb × a a a),
α(a a a × bbb) = (αa a a) × bbb,
a a a × (bbb + ccc) = (a a a × bbb) + (a a a × ccc),
a a a × a a a = 0

• (a a abbbccc) für das Spatprodukt mit

(a a abbbccc) := (a a a × bbb)ccc

• Entwicklungssatz

a a a × (bbb × ccc) = bbb(a a accc) − ccc(a a abbb)

• Identität von Lagrange

(a a a × bbb)(ccc × ddd) = (a a accc)(bbbddd) − (bbbccc)(a a addd)

und Nutzung der Basis eee_{1},eee_{2},eee_{3} ergibt als Schreibweisen für Nablaoperator, Gradient, Divergenz und Rotation

∇ := eee_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + eee_{2} \frac{∂}{∂x_{2}} + eee_{3} \frac{∂}{∂x_{3}}

grad grad gradf = ∇f, divvvv = ∇vvv, rot rot rotvvv = ∇ × vvv

«Textersetzungsregeln des Nablakalküls»

1. Schreibe den gewünschten Ausdruck als «formales» Produkt mittels ∇.

2. Multipliziere eine Linearkombinationen von Funktionen oder Vektoren X, Y mit α, β ∈ ℝ «formal» aus

∇(αX + βY) = α∇X + β∇Y.

3. Schreibe ein Produkt ∇(XY) mit der «Produktregel» als

∇(XY) = ∇(X̄Y) + ∇(XȲ),

wobei der Querstrich jeweils den zu differenzierenden Faktor bezeichnet.

4. Forme ∇(X̄Y) und ∇(XȲ) streng nach den Regeln der Vektoralgebra um und zwar so, daß alle Größen ohne Querstrich links von ∇ und alle Größen mit Querstrich unmittelbar rechts von ∇ stehen. Behandle dabei ∇ als Vektor. Stehen als Ergebnis alle zu differenzierenden Faktoren rechts von ∇, dann kann dieser wieder zum Differentialoperator werden:

5. Schreibe die so gewonnenen «formalen» Produkte mit ∇ wieder als Ausdrücke der Vektoranalysis und lasse den Querstrich, weil jetzt entbehrliche Hilfskennzeichnung, weg, z.B.

U(∇V̄) = U grad grad grad V,
V × (∇ × W̄) = V × rot rot rot W.

Beispiel 1

grad grad grad (UV) = ∇(UV)
= ∇(ŪV) + ∇(UV̄)
= V (∇Ū) + U(∇V̄)
= V grad grad grad U + U grad grad grad V

Beispiel 2

div (vvv × w w w) = ∇(vvv × w w w)
= ∇(v̄ v̄ v̄ × w w w) + ∇(vvv × w̄ w̄ w̄)
= w w w(∇ × v̄ v̄ v̄) − vvv(∇ × w̄ w̄ w̄)
= w w w rot rot rotvvv − vvv rot rot rotw w w

Beispiel 3

grad grad grad (vvvw w w) = ∇(vvvw w w)
= ∇(v̄ v̄ v̄w w w) + ∇(vvvw̄ w̄ w̄)
= (w w w∇)v̄ v̄ v̄ + w w w × (∇ × v̄ v̄ v̄)
+(vvv∇)w̄ w̄ w̄ + vvv × (∇ × w̄ w̄ w̄)
= (w w w grad grad grad)vvv + w w w × rot rot rotvvv
+(vvv grad grad grad)w w w + vvv × rot rot rotw w w

3.9 Fixpunktsatz von Banach

Definition (Kontraktion)

Ein Operator (eine Abbildung) K : B → B heißt kontrahierend oder eine Kontraktion, wenn

∃c ∈ [0, 1[ ∀x, y ∈ B d (K (x) , K (y)) ≤ cd (x, y) .

Schreibweise als Operator Kx, als Abbildung K(x).

Erinnerung Banach-Raum heißt ein vollständiger, normierter Raum, d.h. ein normierter Raum, in dem jede Fundamentalfolge (Cauchy-Folge) konvergiert.

Satz 3.23 (Fixpunktsatz von Banach)

Sei B ein Banach-Raum mit Metrik d( , ), K : B → B eine Kontraktion. Dann existiert genau ein Fixpunkt z von K, d.h. K (z) = z.

Beweis Schreibe K^{n}x := \underbrace{K ∘ K ∘ ⋯ ∘ K}_{n−mal} x. Dann gilt mit c < 1 die Abschätzung (n-

malige Kontraktion)

d(K^{n}x, K^{n+k}x) ≤ cd(K^{n−1}x, K^{n+k−1}x)
≤ …
≤ c^{n}d(x, K^{k}x)
≤ c^{n} (d(x, Kx) + d(Kx, K^{k}x)
≤ …
≤ c^{n}(d(x, Kx) + d(Kx, K^{2}x) + ⋯ + d(K^{k−1}x, K^{k}x))
≤ c^{n} (1 + c + c^{2} + … + c^{k−1}) d(x, Kx)
≤ c^{n} (∑_{i=0}^{∞} c^{i}d(x, Kx))

= \frac{c^{n}}{1 − c}d(x, Kx).

Daraus folgt, daß (K^{n}x)_{n∈ℕ} für jeden beliebigen Startwert x ∈ B eine Cauchy-Folge ist. Da B als Banach-Raum vollständig ist, konvergiert sie gegen ein z ∈ B. Wegen der Stetigkeit von K gilt insgesamt

K(z) = K(lim K^{n}x) = lim K^{n+1}(x) = z,

d.h. z ist Fixpunkt.

Die Eindeutigkeit wird geprüft durch Annahme ∃x, x′ mit Kx = x und Kx′ = x′. Dann gilt

d(x, x′) = d(Kx, Kx′) ≤ cd(x, x′) ⇒ x = x′

wegen c < 1. □

Bemerkung Vorsicht

• d(Kx, Ky) < d(x, y) ist nicht hinreichend für Existenz, nur für Eindeutigkeit, z.B.

x ↦ x + \frac{1}{x}.

• d(Kx, Ky) ≤ d(x, y) ist nicht hinreichend für Eindeutigkeit, z.B.

x ↦ x + 1.

Bemerkung

Der Fixpunktsatz gilt allgemein in vollständigen metrischen Räumen. Die Vektorraum-Struktur war zur Beweisführung nicht benötigt worden.

Anwendungsbereich

• als Methode für Beweis von Existenz und Eindeutigkeit in der Analysis: « vor Lösung deren Existenz und Eindeutigkeit nachweisen» • als numerisches Verfahren, denn aus

d (K^{n}x, K^{n+k}x) ≤ \frac{c^{n}}{1 − c}d(x, Kx)

folgt mit

lim_{k} d (K^{n}x, K^{n+k}x) = d (K^{n}x, z)

die apriori-Abschätzung für Fehler nach n Iterationen

d (K^{n}x, z) ≤ \frac{c^{n}}{1 − c}d(x, Kx).

Es handelt sich also um eine «saubere» Konvergenz, die die Fehlerabschätzung mitliefert. Das Verfahren kann mit beliebigem x starten, doch ist es in der Praxis sinnvoll, ein x möglichst nahe dem Fixpunkt zu wählen. Die Folge (K^{n}x) konvergiert mindestens so schnell gegen den Fixpunkt z wie die geometrische Folge γc^{n} → 0 mit γ = \frac{d(x,Kx)}{1−c}, c < 1.

Nullstellenbestimmung

Eine wichtige Anwendung des Fixpunktsatzes von Banach besteht in der Bestimmung von Nullstellen einer Abbildung:

Finde für f : U → ℝ^{n}, U ⊂ ℝ^{n} diejenigen x ∈ U, für die f(x) = 0 gilt.

Hierzu ist es notwendig, die Suche nach Nullstellen

• Nullstellengleichung der Form f(x) = 0

auf äquivalente Weise als Suche nach Fixpunkten

• Fixpunktgleichung der Form x = φ(x)

zu formulieren.

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

K : U → ℝ^{n}

erklärt durch

K(x) = x − A(x)f(x).

Hierbei ist A(x) eine jedem x ∈ U zugeordnete umkehrbare lineare Abbildung, die freigewählt werden kann: «frei» bis auf eine Kontraktionszahl c, damit K(x) eine Kontraktion ist.

In der Praxis wählt man A unabhängig von x. Ist f differenzierbar, so auch K und man erhält als Ableitung

K′(x) = id_{ℝ^{n}} − A ∘ f′(x).

Mittels der Norm ∥f∥ = sup_{∥x∥=1} ∥f(x)∥ läßt sich die Kontraktionsforderung für K ausdrücken als

∥id_{ℝ^{n}} − A ∘ f′(x)∥ ≤ c < 1.

Wird U als konvex vorausgesetzt, ergibt sich der Beweis hierfür direkt aus dem Schrankensatz (Satz 3.9):

∥K(x) − K(y)∥ ≤ sup_{z∈U} ∥K′(z)∥ ∥x − y∥ .

Finde nun die kompakte Teilmenge M von U mit K : M → M.

Ist ein a schon beinahe Nullstelle, d.h. sein ∥f(a)∥ klein, dann ist er auch beinahe ein Fixpunkt von K, da aus K(x) − x = −A(x)f(x) die Abschätzung

∥K(a) − a∥ ≤ ∥A∥ ∥f(a)∥

folgt.

Eine kleine Kugel um a sollte durch K in sich abgebildet werden, da K kontrahierend ist.

Dies ist der Fall, wenn als Radius der Kugel

r = \frac{∥A∥ ∥f(a)∥}{1 − c}

gewählt wird, denn dann gilt für ∥x − a∥ ≤ r die Abschätzung

\begin{aligned}∥K(x) − a∥ & ≤ & ∥K(x) − K(a)∥ + ∥K(a) − a∥ \\ & ≤ & c ∥x − a∥ + ∥A∥ ∥f(a)∥ \\ & ≤ & cr + (1 − c)r = r \end{aligned} .

Somit ist der Fixpunktsatz von Banach anwendbar: in der Kugel ∥x − a∥ ≤ r hat K genau einen Fixpunkt und daher f genau eine Nullstelle.

Diese Überlegungen zur Nullstellenbestimmung werden zusammengefaßt in

Satz 3.24

Sei U ⊂ ℝ^{n}, f : U → ℝ^{n} differenzierbar, A eine umkehrbare lineare Abbildung. Es gelte für ∥x − a∥ ≤ r die Kontraktionseigenschaft (Abschätzung)

∥id_{ℝ^{n}} − A ∘ f′ (x)∥ ≤ c < 1.

Gilt nun

∥f(a)∥ ≤ \frac{r(1 − c)}{∥A∥}

so hat f genau eine Nullstelle z in der Kugel ∥x − a∥ ≤ r. Diese Nullstelle z ist Grenzwert jeder Folge (x_{k}), die bei beliebig gewähltem Startwert x_{0} mit ∥x_{0} − a∥ ≤ r rekursiv durch x_{k+1} = x_{k} − Af(x_{k}) gegeben ist. Es gilt die Fehlerabschätzung

∥z − x_{k}∥ ≤ \frac{c^{k}}{1 − c} ∥A∥ ∥f(x_{0}∥ .

Bemerkung Spielraum für die Wahl der umkehrbaren linearen Abbildung A

• A = (f′(a))^{−1} im modifiziertem Newton-Verfahren mit linearer Konvergenz, wobei A unabhängig von x ist

• A = (f′(x))^{−1} im allgemeinen Newton-Verfahren mit (lokal) quadratischer Konvergenz.

Vorgehensweise

1. Wähle a nahe bei der (vermuteten) Nullstelle.

2. Wähle A, z.B. A = (f′(a))^{−1}, doch mit einem a so, daß det f′(a) ≠ 0, da sonst ∥id_{ℝ^{n}} − A ∘ f′ (x)∥ = 0.

3. Finde für stetiges f′ eine Kugelumgebung ∥x − a∥ ≤ r so, daß

∥id_{ℝ^{n}} − A ∘ f′ (x)∥ ≤ c < 1

mit für eine schnelle Konvergenz hinreichend kleinem c, z.B. c ≤ \frac{1}{2}.

4. Prüfe, ob

∥f(a)∥ ≤ \frac{r(1 − c)}{∥A∥}

erfüllt ist. Wenn nicht, wähle besseres a.

Beispiel (nach Barner;Flohr: Analysis II. S.151 ff.)

f = ( \begin{matrix}f \\ g \end{matrix} ) mit f(x, y) = x^{2} − y^{2} − 1 = 0 und g(x, y) = 2xy − 1 = 0

(Anmerkung: Die expliziten exakten Lösungen sind x_{0} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}, y_{0} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}−1}{2}}.)

1. Wähle als Ausgangspunkt a = (1, \frac{1}{2}). Es ist dann ∥f(a)∥_{2} = \frac{1}{4} und die

Jacobi-Matrix an der Stelle (1, \frac{1}{2}) ist ( \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 2 \end{matrix} ).

2. Als A bietet sich die Inverse zur Jacobi-Matrix an: ( −\frac{1}{5} \frac{2}{5}^{\frac{2}{5} \frac{1}{5}} ) mit

det A = \frac{1}{5}.

3. Die Prüfung der Bedingung ∥id_{ℝ^{n}} − A ∘ f′ (x)∥ ≤ c < 1 führt auf

∥( \begin{matrix}(1 − \frac{4}{5}x − \frac{2}{5}y) & (−\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}y) \\ (\frac{2}{5}x − \frac{4}{5}y) & (1 − \frac{4}{5}x − \frac{2}{5}y) \end{matrix} )∥_{2} ≤ c

Der rechnerische Aufwand für die euklidische Norm wird verringert bei Verwendung einer Abschätzung

∥( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} )∥_{2} ≤ \sqrt{α^{2} + β^{2} + γ^{2} + δ^{2}},

die auf die Bedingung (x − 1)^{2} + (y − \frac{1}{2})^{2} ≤ \frac{5}{8}c^{2} führt, aus der r = c\sqrt{\frac{5}{8}} als Radius um a = (1, \frac{1}{2}) folgt.

4. Aus der noch zu erfüllenden Bedingung ∥f(a)∥ ∥A∥ ≤ r(1 − c) wird mit ∥f(a)∥_{2} = \frac{1}{4} und ∥A∥_{2} = \sqrt{\frac{1}{5}} für die Kontraktionskonstante \frac{\sqrt{2}}{10} ≤ c(1−c). Dem wird z.B. mit c = \frac{1}{5} genügt, woraus sich ein Kreis um (1, \frac{1}{2}) mit r = c\sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{1}{\sqrt{40}} ergibt.

Dieser Kreis wird mit der Kontraktionskonstante \frac{1}{5} durch die kontrahierende Abbildung K = ( \begin{matrix}K_{1} \\ K_{2} \end{matrix} ) mit

\begin{matrix}K_{1}(x, y) = x − \frac{2}{5}x^{2} − \frac{2}{5}xy + \frac{2}{5}y^{2} + \frac{3}{5} \\ K_{2}(x, y) = y + \frac{1}{5}x^{2} − \frac{4}{5}xy − \frac{1}{5}y^{2} + \frac{1}{5} \end{matrix}

in sich abgebildet. Die a-priori-Abschätzung für Fehler in der n-ten Iteration ergibt mit dem Term \frac{c^{k}}{1−c} ∥A∥ ∥f(x_{0}∥ nach Satz 3.24 \frac{c^{n}}{1−c} ∥A∥_{2} ∥f(a∥_{2} = \frac{\sqrt{5}}{16} (\frac{1}{5})^{n}.

Normen für Abbildungen

Die anläßlich der Definitionen der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz von Abbildungsfolgen (vgl. Def. 2.5) sowie der Normkonvergenz (vgl. Satz 2.11) gebrauchte Abbildungsnorm bezieht sich auf die Menge der beschränkten Abbildungen

B(D, ℝ^{m}) := {f | f : D → ℝ^{m} ∧ f beschränkt} ,

die mit der auf ihr erklärten Abbildungsnorm

∥f∥_{∞} := sup {∥f(x)∥ | x ∈ D} auch geschrieben als ∥f∥ := sup_{x∈D} ∥f(x)∥

ein normierter ℝ-Vektorraum ist. Diese Norm ist insbesondere für alle stetigen Abbildungen mit kompakter Definitionsmenge D erklärt, in welchem Falle auch

∥f∥ := max_{x∈D} ∥f(x)∥

gesetzt werden kann. Der in der Definition erkennbare Ansatz lautet: Die Vektornorm ∥f(x)∥ induziert die Abbildungsnorm (Operatornorm) ∥f∥. Rechenregeln für die Norm in B(D, ℝ^{m})

(1) ∥f∥ = 0 ⇒ f(x) = 0 für alle x ∈ D

(2) ∥cf∥ = |c| ∥f∥

(3) ∥f + g∥ = ∥f∥ + ∥g∥ Problem Da die lineare Abbildung f : ℝ^{n} → ℝ^{m}, sofern sie nicht die Nullabbildung ist, nicht beschränkt ist, ist für sie eine Norm, wie vorstehend definiert, nicht erklärt.

Trotzdem ist es zweckmäßig, auch hierfür eine Norm einzuführen. Wegen der Homogenität von f, d.h.

f(λx_{1}, λx_{2}, …, λx_{n}) = λf(x_{1}, x_{2}, …, x_{n})

für beliebige λ, ist f durch die Werte auf der Einheitskugel ∥x∥ = 1 schon festgelegt. Die Einschränkung auf diese kompakte Menge ist stetig, sodaß hierfür eine Norm im obigen Sinne existiert:

∥f∥ := sup_{∥x∥=1} ∥f(x)∥ = sup_{x≠0} \frac{∥f(x)∥}{∥x∥}

mit f_{|∥x∥=1}. Mit c := λ kann man allen Abbildungen, für die mit x ≠ 0, c ≠ 0 die Funktionalgleichung

∥f(cx)∥ = |c|^{s} ∥f(x)∥

gilt, eine Norm zuordnen mit

∥f∥ := sup_{∥x∥=1} ∥f(x)∥ = sup_{x≠0} \frac{∥f(x)∥}{∥x∥^{s}},

und für alle x ≠ 0 gilt die (zentrale) Abschätzung

∥f(x)∥ ≤ \underbrace{∥f∥}_{Operatornorm} \underbrace{∥x∥^{s}}_{Vektornorm} .

Spezialfall

Homogene Funktionen, die aus total-symmetrischen p-fach linearen Funktionen g(x_{1}, x_{2}, …, x_{p}) dadurch entstehen, daß x_{1} = x_{2} = ⋯ x_{p} = x. Dann heißt

f(x) := g(\underbrace{x, …, x}_{p−mal})

eine Form p-ter Ordnung und es gilt für sie mit c ∈ ℝ die Funktionalgleichung

f(cx) = c^{p}f(x),

z.B. kubische (p = 3) und quadratische (p = 2) Formen (vgl. z.B. Def. 3.8 Quadriken).

Satz 3.25

Sei f, g ∈ L(ℝ^{n}, ℝ^{m}), d.h. lineare Abbildungen des ℝ^{n} in den ℝ^{m}. Dann gilt

(1)  ∥f∥ > 0  für f ≠ 0
(2)  ∥cf∥ = |c| ∥f∥  mit c ∈ ℝ
(3) ∥f + g∥ ≤ ∥f∥ + ∥g∥
(4) ∥f(x)∥ ≤ ∥f∥ ∥x∥ mit x ∈ ℝ^{n}
(5) ∥f ∘ g∥ ≤ ∥f∥ ∥g∥  für ℝ^{n} = ℝ^{m}

Bemerkung

• in (4) ist ∥f∥ Operatornorm, ∥x∥ Vektornorm.

• Der Vektorraum L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) aller linearen Abbildungen von ℝ^{n} in ℝ^{m} ist nach (1), (2) und (3) ein normierter Vektorraum.

• Der Vektorraum L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) aller linearen Abbildungen von ℝ^{n} in ℝ^{m} ist nach (1), (2), (3) und (5) eine normierte Algebra.

Beweis (zu Satz 3.25) der Teilsätze (1), (2) und (4) direkt mit der Definition der Norm, für (3) wird die für beliebiges x ∈ ℝ^{n} geltende Abschätzung

∥(f + g)(x)∥ = ∥f(x) + g(x)∥ ≤ ∥f(x)∥ + ∥g(x)∥ ≤ (∥f∥ + ∥g∥) ∥x∥ .

□

Beispiel Sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung, A die zugehörige Matrix. Dann gilt für die Euklidische Abbildungsnorm ∥f∥_{2}: ∥x∥_{2} = \sqrt{∑_{i} x_{i}^{2}}. Man kommt zu einer dieser entsprechenden Matrixnorm auf folgende Weise: A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{n×n} sei symmetrisch. Dann gibt es n Eigenvektoren v_{i} mit Eigenwerten λ_{i} ∈ ℝ, die orthogonal sind, d.h. es gilt Av_{i} = λ_{i}v_{i} mit v_{i}^{⊤}v_{j} = 0 für i ≠ j. In dem durch die Eigenvektoren aufgespannten ℝ^{n} ist x darstellbar als x = ∑ c_{i}v_{i} mit c_{i} ∈ ℝ. Dann ist die Operatornorm (hier: Spektralnorm)

∥A∥_{2} = sup_{∥x∥_{2}=1} ∥Ax∥_{2}
= sup ∥A ∑ c_{i}v_{i}∥_{2}
= sup ∥∑ c_{i}λ_{i}v_{i}∥_{2}
= sup \sqrt{(∑ c_{i}λ_{i}v_{i})^{⊤} (∑ c_{j}λ_{j}v_{j})}
= sup \sqrt{∑ c_{i}^{2}λ_{i}^{2}v_{i}^{⊤}v_{i}}  Orthogonalitt
≤ sup \sqrt{∑ c_{i}^{2}λ_{max}^{2}v_{i}^{⊤}v_{i}}
= sup |λ_{max}| \sqrt{∑ c_{i}^{2}v_{i}^{⊤}v_{i}}  mit \sqrt{∑ c_{i}^{2}v_{i}^{⊤}v_{i}} = ∥x∥_{2} = 1
= |λ_{max}|  wobei |λ_{max}| = max |λ_{i}|

Also ist ∥A∥_{2} ≤ |λ_{max}|. Zur Abschätzung nach unten wird der spezielle, zu λ_{max} gehörende Eigenvektor x = v_{max} eingesetzt

∥A∥_{2} ≥ \begin{matrix}∥Ax∥ & 2 \\ ∥x∥ & 2 \end{matrix} = \begin{matrix}∥λ_{max}x∥ & 2 \\ ∥x∥ & 2 \end{matrix} = |λ_{max}| , d.h.

∥A∥_{2} = |λ_{max}| .

Entsprechend werden gewonnen (und gelten auch mit A ∈ ℝ^{n} × ℝ^{m}):

• die Spaltensummennorm ∥A∥_{1} = sup_{x≠0} \begin{matrix}∥Ax∥ & _{1} \\ ∥x∥ & _{1} \end{matrix} = max_{k} ∑_{i} |a_{ik}|

• die Zeilensummennorm ∥A∥_{∞} = sup_{x≠0} \begin{matrix}∥Ax∥ & _{∞} \\ ∥x∥ & _{∞} \end{matrix} = max_{i} ∑_{k} |a_{ik}|

Praxis

Im Vektorraum L(ℝ^{n}, ℝ^{m}) aller linearen Abbildungen von ℝ^{n} in ℝ^{m} sind alle Normen äquivalent, man verwendet deshalb möglichst einfache Normen obiger Art oder auch

∥A∥_{abs} := ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} |a_{ij}|
∥A∥_{F} := \sqrt{∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}^{2}} nach FROBENIUS

Weitere Beziehungen sind

max_{ik} |a_{ik}| ≤ ∥A∥ ≤ \sqrt{nm} max_{ik} |a_{ik}|

sowie

∥AB∥_{abs} ≤ ∥A∥_{abs} ∥B∥_{abs}
∥AB∥_{F} ≤ ∥A∥_{F} ∥B∥_{F}
∥Ax∥_{∞} ≤ ∥A∥_{abs} ∥x∥_{∞}
∥Ax∥_{2} ≤ ∥A∥_{F} ∥x∥_{2}

Definition 3.13 (Homogenität)

Sei V, W ℝ-Vektorräume. f : V → W heißt

• homogen vom Grad 1, falls

∀v ∈ V ∀c ∈ ℝ f (cv) = cf (v)

• positiv homogen vom Grad s ∈ ℝ, falls

∀v ∈ V ∀c > 0 f (cv) = c^{s}f (v)

Fazit

Sei V, W normierte Räume und f : V → W positiv homogen vom Grad s.

Definiere Operatornorm

∥f∥_{V →W} := sup_{v∈V} \begin{matrix}∥f(v)∥ & W \\ ∥v∥ & {s \atop V} \end{matrix} = sup_{∥v∥_{V} =1} ∥f(v)∥_{W}

Besonders wichtig: l : V → W linear, also positiv homogen vom Grad 1 mit Norm

∥l∥_{V →W} := sup_{v∈V} \begin{matrix}∥l(v)∥ & W \\ ∥v∥ & {1 \atop V} \end{matrix} = sup_{∥v∥_{V} =1} ∥l(v)∥_{W}

und der wichtigen Abschätzung

∥l(v)∥_{W} ≤ ∥l∥_{V →W} ∥v∥_{V}
∥l(v_{1}) − l(v_{2})∥_{W} ≤ ∥l∥_{V →W} ∥v_{1} − v_{2}∥_{V} Linearität

Verallgemeinerung auf nichtlineare Abbildungen Definition 3.14 (Lipschitz-stetig)

Sei V, W metrische Räume, V′ ⊂ V. f : V′ → W heißt Lipschitz-stetig, falls

∃L ∈ ℝ ∀v_{1}, v_{2} ∈ V′ ∥f (v_{1}) − f (v_{2})∥_{W} ≤ L ∥v_{1} − v_{2}∥_{V} bzw.

∃L ∈ ℝ ∀v_{1}, v_{2} ∈ V′ d_{W} (f (v_{1}) , f (v_{2})) ≤ Ld_{V} (v_{1}, v_{2}) .

Bemerkung L heißt Lipschitz-Konstante. In geometrischer Interpretation ist L größter Dehnungskoeffizient.

Beispiel 1 Gegeben sei f : ℝ → ℝ mit f(x) = 2x + 3. Dann ist |f(x) − f(y)| = |(2x + 3) − (2y + 3)| ≤ L |x − y|. Somit ist f Lipschitz-stetig mit L = 2. Beispiel 2 Gegeben sei f : V → W mit f Kontraktion, d.h. d_{W} (f(v_{1}), f(v_{2})) ≤ cd_{V} (v_{1}, v_{2}) mit c < 1. Der kontrahierende Operator f ist Lipschitz-stetig mit L = c. Beispiel 3 Gegeben sei l : V → W mit l linear. Dann gilt: l ist Lipschitz-stetig mit L = ∥l∥_{V →W} genau dann, wenn die Operatornorm ∥l∥_{V →W} endlich ist. Beispiel 4 Gegeben sei ∥·∥ : V → ℝ mit ∥·∥ Normfunktion. Dann ist ∥v_{1}∥_{V} = ∥v_{1} − v_{2} + v_{2}∥ ≤ ∥v_{1} − v_{2}∥ + ∥v_{2}∥. Hieraus folgen ∥v_{1}∥ − ∥v_{2}∥ ≤ ∥v_{1} − v_{2}∥ (und umgekehrt) sowie |∥v_{1}∥ − ∥v_{2}∥| ≤ ∥v_{1} − v_{2}∥ (und umgekehrt). D.h. Normfunktionen (Normen) sind Lipschitz-stetig (L-stetig) mit L = 1. Beispiel 5 Gegeben sei f : ℝ → ℝ mit f(x) = x^{2}. Dann ist |f(x) − f(y)| = |x^{2} − y^{2}| = |x + y| |x − y|. Nach Definition müßte gelten |x + y| ≤ L. Dies ist wegen x, y ∈ ℝ für beliebige x, y nicht erfüllbar: f ist nicht Lipschitz-stetig. Aber:

Definition 3.15 (lokal Lipschitz-stetig)

Sei V, W metrische Räume, V′ ⊂ V.

f : V′ → W heißt lokal Lipschitz-stetig, falls ∀v ∈ V′ eine Umgebung V′′ von v mit V′′ ⊂ V′ existiert, so daß f|_{V′′} L-stetig. Dabei hängt die Lipschitz-Konstante i.allg. von der Umgebung V′′ ab.

Beispiel 5 (nochmals) Zu v ∈ V′ ⊂ ℝ wähle V′′ = ]− |v| − 1, |v| + 1[. Dann ist ∀x, y ∈ V′′

|f(x) − f(y)| = |x^{2} − y^{2}|
= |x + y| |x − y|
≤ (|x| + |y|) |x − y|
≤ 2 (|v| + 1) |x − y| .

Daraus ergibt sich die lokale Lipschitz-Stetigkeit mit L = 2 (|v| + 1).

Bemerkung Globale L-Stetigkeit impliziert lokale L-Stetigkeit, aber nicht umgekehrt.

Beispiel 6 Gegeben sei f : ℝ → ℝ mit f(x) = \sqrt{|x|}. Dann ist |f(x) − f(0)| = |\sqrt{|x|}| = \frac{1}{|\sqrt{|x|}|} |x − 0|.

Nach Definition müßte gelten \frac{1}{|\sqrt{|x|}|} ≤ L, was nicht erfüllbar ist, d.h., f ist nicht lokal L-stetig.

Bemerkung

Stetigkeit allein impliziert nicht lokale L-Stetigkeit. Satz 3.26

Sei V, W metrische Räume, V′ ⊂ V.

Ist f : V′ → W lokal Lipschitz-stetig, dann ist f stetig.

Beweis Sei v ∈ V′. Wähle V′′ so, daß f|_{V′′} L-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten L. Zu einem gegebenen ε > 0 wähle δ = \frac{ε}{L+1} > 0. Dann ist ∀ṽ ∈ V′′ mit d(v, ṽ) < δ

d_{W} (f(v), v(ṽ)) ≤ Ld_{V} (v, ṽ) ≤ Lδ < (L + 1)δ = ε

□

Satz 3.27 Sei V, W normierte Räume. Die lineare Abbildung l : V → W ist stetig ⇔ l ist Lipschitz-stetig.

Beweis «⇐» L-Stetigkeit ⇒ lokale L-Stetigkeit ⇒ Stetigkeit. «⇒» l ist stetig in 0. Zu ε = 1 ∃δ > 0, sodaß ∀v ∈ V mit ∥v∥ < δ gilt: ∥l(v)∥ < ε = 1. Setze L := \frac{2}{δ}. Für ∀v_{1}, v_{2} ∈ V ist dann

∥l(v_{1}) − l(v_{2})∥ = ∥l(v_{1} − v_{2})∥
= \frac{2 ∥v_{1} − v_{2}∥}{δ} ∥l (\frac{δ}{2 ∥v_{1} − v_{2}∥} (v_{1} − v_{2}))∥
≤ \frac{2 ∥v_{1} − v_{2}∥}{δ} · 1
= L ∥v_{1} − v_{2}∥ .
□

Beispiel (Gegenbeispiel) Sei V = C^{1}([0, 1]) = {f | f : [0, 1] → ℝ stetig differenzierbar}, ∥f∥ := max |f|, W = ℝ, l : V → ℝ, l(f) = f′(0) linear. Betrachte Funktionenfolge (f_{n}) mit f_{n}(x) = \frac{1}{n} sin(nx), f′(0) = 1. Es gilt ∥f_{n}∥ → 0, d.h. f_{n} → 0. Andererseits ist l(f_{n}) = 1 aber l(0) = 0. Es ergibt sich Unstetigkeit nach dem Folgenkriterium.

Satz 3.28 Seien V, W normierte Räume, l : V → W linear. Ist dim V < ∞, d.h. V endlichdimensional, dann ist l stetig.

Beweis Setze n := dim V < ∞. Wähle Basis b_{1}, …, b_{n} ∈ V.

∀v ∈ V ∃c_{i} ∈ ℝ v = ∑_{i=1}^{n} c_{i}b_{i}.

Definiere zweite Norm auf V: ∥v∥′ := ∑_{i=1}^{n} |c_{i}|. Wegen Normäquivalenz in endlichdimensionalen Räumen (vgl. Satz 1.9) gilt

∃k ∈ ℝ ∥v∥′ ≤ k ∥v∥ .

Setze M := max ∥l(b_{i})∥_{W}. Dann gilt

∥l(v)∥ ≤ ∑_{i=1}^{n} |c_{i}| ∥l(b_{i})∥_{W}
≤ M ∑_{i=1}^{n} |c_{i}|
= M ∥v∥′
≤ Mk ∥v∥ ,

d.h. l ist stetig. □

Satz 3.29 Sei D ⊂ ℝ^{n} konvex, f : D → ℝ^{m} differenzierbar, ∥·∥_{a} eine Norm auf ℝ^{n}, ∥·∥_{b} eine Norm auf ℝ^{m}. Dann gilt

∃k ∈ ℝ ((∀ξ ∈ D ∥f′(ξ)∥_{a→b} ≤ k) ⇒ (∀x, y ∈ D ∥f(x) − f(y)∥_{b} ≤ k ∥x − y∥_{a})) .

Bemerkung vgl. Satz 3.9 (Schrankensatz)

Beweis Nach dem Mittelwertsatz (Satz 3.8)

∃t ∈ ]0, 1[ f(x) − f(y) = f′(x + t(y − x), (y − x)),

d.h.

∥f(y) − f(x)∥_{b} = ∥f′(x + t(y − x), (y − x))∥_{b}
≤ ∥f′(x + t(y − x))∥_{a→b} ∥y − x∥
≤ k ∥y − x∥ .
□

Korollar 3.30 Sei D ⊂ ℝ^{n} offen, f : D → ℝ^{m} stetig differenzierbar. Dann ist f lokal Lipschitz-stetig.

3.10 Umkehrsatz. Implizite Funktionen

Gegeben seien die Matrix A ∈ ℝ^{n×n}, die lineare Abbildung l : ℝ^{n} → ℝ^{n} mit l(x) = Ax . Umkehrbarkeit von l ist äquivalent der Regularität von A, d.h. det A ≠ 0.

Bemerkung l′ = A.

Ist f : ℝ^{n} → ℝ^{n} in a ∈ ℝ^{n} differenzierbar, dann läßt sich f lokal um a «gut» durch lineare Funktionen approximieren. Dies verbindet sich mit der Hoffnung, daß det f′(a) ≠ 0 hinreichend für die lokale Umkehrbarkeit von f ist. Globale Umkehrbarkeit ist nicht zu erwarten.

Satz 3.31 (Umkehrsatz)

Sei D ⊂ ℝ^{n} eine offene Menge, f : D → ℝ^{n} eine in a ∈ D mit det f′(a) ≠ 0 stetig differenzierbare Abbildung. Dann existieren eine offene Menge D′ ⊂ D mit a ∈ D′ und eine offene Menge E ⊂ ℝ^{n} mit f (a) ∈ E, sodaß f|_{D′} : D′ → E bijektiv und die Umkehrabbildung f^{−1} : E → D′ stetig differenzierbar ist.

Bemerkung vgl. Satz 3.7.

Danach ist (f^{−1})′(f(x)) = (f′)^{−1}(x) mit x ∈ D.

Beweis O.B.d.A. sei a = 0, f (a) = 0, f′ (a) = id_{ℝ^{n}}. Ansonsten Übergang von f (x) zu f^{′−1} (a) (f (x + a) − f (a)). Definiere zu y ∈ ℝ^{n} die Abbildung K_{y} : D → ℝ^{n} mit x ↦ x − f (x) + y. Es gilt K′_{y} (0) = id_{ℝ^{n}} − f′ (0) = 0. f stetig differenzierbar ⇒ K′_{y} stetig ⇒ Operatornorm hängt stetig von x ab ⇒ ∃ε > 0 ∥x∥ ≤ 2ε ⇒ ∥K′_{0} (x)∥ ≤ \frac{1}{2}. Außerdem sei ε so klein, daß B̄_{2ε}(0) ⊂ D. Für x ∈ B̄_{2ε}(0) und y ∈ B̄_{ε}(0) gilt

∥K_{y} (x)∥ = ∥x − f (x) + y∥
≤ ∥x − f (x)∥ + ∥y∥
= ∥K_{0} (x) − K_{0} (0)∥ + ∥y∥
≤ \frac{1}{2} ∥x − 0∥ + ∥y∥
≤ \frac{1}{2}2ε + ε
= 2ε,

womit die Abbildung K_{y} : B̄_{2ε} (0) → B̄_{2ε} (0) zu einer Abbildung in sich wird. Wegen K′_{y} = K′_{0} gilt ∥K′_{y}∥ = ∥K′_{0}∥ ≤ \frac{1}{2} ⇒ K_{y} ist eine Kontraktion mit Kontraktionszahl \frac{1}{2}. B̄_{2ε} (0) ist vollständiger metrischer Raum. Mit Fixpunktsatz von Banach (vgl. Satz 3.23) folgt ∀y ∈ B̄_{ε} (0) ∃_{1}x ∈ B̄_{2ε} (0)

x = K_{y} (x) = x − f (x) + y ⇒ f (x) = y
⇒ ∃f^{−1} : B̄_{ε} (0) → B̄_{2ε} (0) .

Zu zeigen: Stetigkeit von f^{−1}

Sei y, ỹ ∈ B̄_{ε} (0), x := f^{−1} (y), x̃ := f^{−1} \binom{}{ỹ} .

Dann gilt

∥x − x̃∥ = ∥K_{0} (x) + f (x) − K_{0} \binom{}{x̃} − f \binom{}{x̃}∥
≤ ∥K_{0} (x) − K_{0} \binom{}{x̃}∥ + ∥f (x) − f \binom{}{x̃}∥
≤ \frac{1}{2} ∥x − x̃∥ + ∥f (x) − f \binom{}{x̃}∥

Somit gilt

∥x − x̃∥ ≤ 2 ∥f (x) − f \binom{}{x̃}∥ ⇒ ∥f^{−1} (y) − f^{−1} \binom{}{ỹ}∥ ≤ 2 ∥y − ỹ∥
⇒ f^{−1} ist stetig.

Zu zeigen: Differenzierbarkeit von f^{−1} Sei f stetig ⇒ ∃δ > 0 x ∈ B_{δ} (0) ⇒ f (x) ∈ B_{ε} (0), D′ := B_{δ} (0) ⊂ B̄_{2ε} (0) ⊂ D, E := f (D′) ⇒ f : D′ → E bijektiv. E ist offen, denn E ist Urbild der offenen Menge D′ unter der stetigen Abbildung f^{−1}. D.h. f^{−1} ist stetig differenzierbar. (vgl. hierzu auch Satz 2.3 und Satz 3.7) □

Satz 3.32 (Implizite Funktionen)

Sei D ⊂ ℝ^{p} × ℝ^{n} offen, f : D → ℝ^{n} stetig differenzierbar, f (u_{0}, x_{0}) = 0

mit (u_{0}, x_{0}) ∈ D, es gelte

det \frac{∂f}{∂x} (u_{0}, x_{0}) = det (\frac{∂f_{i}}{∂x_{i}} )_{(u_{0},x_{0})} ≠ 0.

Dann existieren offene Mengen D_{u} ⊂ ℝ^{p} mit u_{0} ∈ D_{u}, D_{x} ⊂ ℝ^{n} mit x_{0} ∈ D_{x} sowie eine stetig differenzierbare Funktion g : D_{u} → D_{x}, sodaß ∀u ∈ D_{u}, x ∈ D_{x} f (u, x) = 0 ⇔ x = g (u) .

Beweis Definiere F : D → ℝ^{p} × ℝ^{n}, F (u, x) = (u, f (u, x)). Dann gilt

F′ = ( id_{ℝ^{p}} 0_{\frac{∂f}{∂u} \frac{∂f}{∂x}} ) , det F′ (u_{0}, x_{0}) = det \frac{∂f}{∂x} (u_{0}, x_{0}) ≠ 0.

Nach Umkehrsatz ∃D′ ⊂ ℝ^{p} × ℝ^{n} mit (u_{0}, x_{0}) ∈ D′ offen, ∃E ⊂ ℝ^{p} × ℝ^{n} offen, sodaß F : D′ → E bijektiv und F^{−1} : E → D′ stetig differenzierbar. Wähle eine offene Produktmenge E_{u} × E_{y} ⊂ E mit F (u_{0}, x_{0}) ∈ E_{u} × E_{y}. Setze D′′ := F^{−1} (E_{u} × E_{y}). Da F stetig ist, ist nach Satz 2.3 D′′ offen. Schreibe F^{−1} block-komponentenweise F^{−1} = (F_{u}^{−1}, F_{x}^{−1}).

Setze D′′_{u} := {u ∈ ℝ^{p} | ∃x ∈ ℝ^{n} (u, x) ∈ D′′}. Definiere g := D′′_{u} → ℝ^{n}, g (u) = F_{x}^{−1} (u, 0). Dies ist wohldefiniert, denn

u ∈ D′′_{u} ⇒ ∃x (u, x) ∈ D′′
⇒ F (u, x) = (u, y) ∈ E_{u} × E_{y}
⇒ (u, 0) ∈ E_{u} × E_{y},

also ist F_{x}^{−1} anwendbar. Schränke D′′ weiter ein und wähle eine offene Produktmenge D_{u} × D_{x} ⊂ D′′ mit u_{0} ∈ D_{u}, x_{0} ∈ D_{x}. Setze E′ := F (D_{u} × D_{x}). E′ ist offen, da F^{−1} stetig. Dann gilt

∀u ∈ D_{u}, x ∈ D_{x} f (u, x) = 0 ⇔ F (u, x) = (u, 0)
⇔ F^{−1} (u, 0) = (u, x)
⇔ x = F_{x}^{−1} (u, 0) = g (u) .
□

Beispiel 1 Ebene Kurven in ℝ^{2} definiert durch f (x, y) = 0. Gilt nun z.B. f_{y} (x_{0}, y_{0}) ≠ 0 und f (x_{0}, y_{0}) = 0, dann läßt sich die Kurve lokal durch y = φ (x) beschreiben. Es gilt

φ′ (x) = −\frac{f_{x} (x, y)}{f_{y} (x, y)}.

Die Tangentengleichung im Punkt (x, y) mit eigenen lokalen Koordinaten ξ, η bestimmt sich dann zu

η − y = −\frac{f_{x} (x, y)}{f_{y} (x, y)} (ξ − x) ,

bzw. in symmetrischer Form zu f_{x} (x, y) (ξ − x) + f_{y} (x, y) (η − y) = 0. Entsprechend für Hyperflächen mit f (x_{1}, …, x_{n}) = 0. Mit gradf ≠ 0 ist

⟨gradf (x) , ξ − x⟩ = 0

die Gleichung der Tangentialhyperebene mit den Koordinaten ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) . Beispiel 2 Eine Raumkurve in ℝ^{3} läßt sich i.allg. als Durchschnitt zweier Flächen f(x, y, z) = 0 und g(x, y, z) = 0 bestimmen. Dies läßt sich lokal mittels Satz 3.32 (Implizite Funktionen) zeigen durch die Jacobi-Matrix

( \begin{matrix}f_{x} & f_{y} & f_{z} \\ g_{x} & g_{y} & g_{z} \end{matrix} ) .

Ist f_{x}g_{y} −f_{y}g_{x} an einer Stelle mit f = g = 0 von 0 verschieden, dann ist in einer Umgebung dieser Stelle (x, y) eine Darstellung von z als stetig differenzierbare Funktion mit x = φ(z), y = ψ(z) möglich. Damit erhält man

( \begin{matrix}φ′ \\ ψ′ \end{matrix} ) = − ( \begin{matrix}f_{x} & f_{y} \\ g_{x} & g_{y} \end{matrix} )^{−1} ( \begin{matrix}f_{z} \\ g_{z} \end{matrix} ) = ( \frac{f_{y}g_{z}−f_{z}g_{y}}{f_{x}g_{y}−f_{y}g_{x}} ; \frac{f_{z}g_{x}−f_{x}g_{z}}{f_{x}g_{y}−f_{y}g_{x}} )

Analoges Resultat erzielbar unter Anwendung der Kettenregel aus

\begin{matrix}f(φ(z), ψ(z), z) = 0 \\ g(φ(z), ψ(z), z) = 0 \end{matrix} \} ⇒ \{ \begin{matrix}f_{x}φ′ + f_{y}ψ′ + f_{z} = 0 \\ g_{x}φ′ + g_{y}ψ′ + g_{z} = 0 \end{matrix}

und Auflösen wie oben.

Extrema unter Nebenbedingungen

Beispiel

Betrachtet wird die Ellipse ax^{2} + 2bxy + cy^{2} = 1 bzw.

g(x, y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2} − 1 = 0

mit a > 0, ac − b^{2} > 0. Finde Punkte der Ellipse, die von (0, 0) maximales bzw. minimales Abstandsquadrat (Quadrat des Euklidischen Abstandes) haben, d.h.

• finde Extrema «Abstand», hier von f(x, y) = x^{2} + y^{2},

• unter der Nebenbedingung «Ellipse», hier von g(x.y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2} − 1 = 0.

Bemerkung Das Minimum von f in (0, 0) erfüllt nicht die Nebenbedingung.

Naives, nichtdestotrotz richtiges, wenngleich aufwendiges Vorgehen:

Erfülle g(x, y) = 0 durch Parameterdarstellung x = φ(t), y = ψ(t) und bestimme die Extremalstellen von F (t) = f(φ(t), ψ(t)). Erweist sich als mühsam.

Einfacher: Kritische Stellen von F genügen (vgl. Def. 3.9, Bem. zu Def. 3.9 und Satz 3.15) bei Anwendung der Kettenregel bei parametrischer Darstellung der Gleichung

F′(t) = D_{1}f(φ(t), ψ(t))φ′(t) + D_{2}f(φ(t), ψ(t))ψ′(t) = 0

und wegen Nebenbedingung g(φ(t), ψ(t)) = 0 gilt ∀t

D_{1}g(φ(t), ψ(t))φ′(t) + D_{2}g(φ(t), ψ(t))ψ′(t) = 0.

Für jede kritische Stelle von F sind die Vektoren (D_{1}f, D_{2}f) und (D_{1}g, D_{2}g) linear abhängig. D.h.

∃λ D_{1}f(x, y) − λD_{1}g(x, y) = 0 und D_{2}f(x, y) − λD_{2}g(x, y) = 0 und g(x, y) = 0.

Parameterdarstellung ist verschwunden.

Fazit

Kritische Stellen von F ⇔ kritische Stellen von G = f − λg in ℝ^{2} mit g(x, y) = 0.

Im Beispiel der Ellipse ist D_{1}f(x, y) − λD_{1}g(x, y) = 2x − 2λ(ax + by) = 0 bzw. D_{2}f(x, y) − λD_{2}g(x, y) = 2y − 2λ(bx + cy) = 0, d.h. es ist das lineare Gleichungssystem zu lösen mit (1 − λa)x − λby = 0 und −λbx + (1 − λc)y = 0 sowie g(0, 0) = −1. Nur nichttriviale Lösungen sind zu betrachten.

λ muß genügen

| \begin{matrix}1 − λa & −λb \\ −λb & 1 − λc \end{matrix} | = 0 ⇔ b^{2}λ^{2} − (1 − λa)(1 − λc) = 0.

Die Aufgabe, Extremwertprobleme unter Nebenbedingungen zu lösen, kann in allgemeiner Form mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren λ angegeben werden:

Satz 3.33

Sei U ⊂ ℝ^{n}, f : U → ℝ stetig differenzierbar, g = (g_{1}, …, g_{r}) mit (mindestens) in U erklärten stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen g_{1}, …, g_{r}, M ⊂ U erklärt durch g_{1}(x) = 0, …, g_{r}(x) = 0, die Ableitung von g von U in ℝ^{r} habe überall den Rang r, d.h. M sei eine (n − r)- dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n}.

Hat dann die Einschränkung f|_{M} in a ∈ M ein lokales Extremum, dann existieren λ_{1}, …, λ_{r} so, daß a eine kritische Stelle ist für die in U erklärte Funktion

G := f − λ_{1}g_{1} − … − λ_{r}g_{r},
d.h. f′(a) = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}g′_{i}(a) bzw. gradf(a) = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}gradg_{i}(a).

in ℝ^{n} bzw. unter Zugrundelegung der Standardbasis in ℝ^{n}.

Beweis

Die Untermannigfaltigkeit M kann in einer Umgebung von a mittels Parameterdarstellung beschrieben werden als φ : V → ℝ^{n} mit V ⊂ ℝ^{p} und p = n − r.

Die Verkettung F = f ∘φ muß im Urbild b ∈ V von a eine kritische Stelle haben, da F in b ein lokales Extremum hat, wie auch f|_{M}.

Demzufolge hat man

(⋆) F′(b, k) = f′(a, φ′(b, k)) = 0

für alle k ∈ ℝ^{p}, und wegen g_{i}(φ(u)) = 0 für alle u ∈ V hat man

(⋆⋆) g′_{i}(a, φ′(b, k)) = 0

für alle k ∈ ℝ^{p}.

Zu zeigen ist, daß es λ_{1}, … λ_{r} gibt, für die

(⋆ ⋆ ⋆) f′(a, h) − ∑_{i=1}^{r} λ_{i}g′_{i}(a, h) = 0

für alle h ∈ ℝ^{n} ist.

Aus den Bedingungen (⋆) und (⋆⋆) folgt, daß für die h, die im Tangentialraum in a an M liegen, d.h. für φ′(b, k) mit beliebigem k ∈ ℝ^{p}, die Gleichung (⋆ ⋆ ⋆) für alle λ_{1}, …, λ_{r} erfüllt ist.

Die Gleichung (⋆ ⋆ ⋆) gilt sogar für alle h ∈ ℝ^{n}. Denn bei Wahl des Komplementärraumes W zum Tangentialraum in a mit dim(W) = r, wird dieser von w_{1}, …, w_{r} aufgespannt. Dann lassen sich die λ_{1}, …, λ_{r} , weil nach Voraussetzung für beliebiges h ∈ ℝ^{n}

rang ( \begin{matrix}g′_{1}(a, w_{1}) & … & g′_{r}(a, w_{1}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ g′_{1}(a, w_{r}) & … & g′_{r}(a, w_{r}) \end{matrix} ) = r

ist, bestimmen aus dem linearen Gleichungssystem

\begin{aligned}f′(a, w_{1}) − λ_{1}g′_{1}(a, w_{1}) − … − λ_{r}g′_{r}(a, w_{1}) & = 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ f′(a, w_{r}) − λ_{1}g′_{1}(a, w_{r}) − … − λ_{r}g′_{r}(a, w_{r}) & = 0. \end{aligned}

Da jedes beliebige h ∈ ℝ^{n} dargestellt werden kann als h = φ′(b, k) + c_{1}w_{1} + … + c_{r}w_{r}, ist die Gleichung (⋆ ⋆ ⋆) für alle h ∈ ℝ^{n} erfüllt.

Also hat G := f − λ_{1}g_{1} − … − λ_{r}g_{r} für geeignete λ_{i} in a eine kritische Stelle. □

Vorgehensweise zur Bestimmung lokaler Extrema von f unter den Nebenbedingungen g_{1} = 0, ..., g_{r} = 0

1. Wähle den Ansatz G := f − λ_{1}g_{1} − … − λ_{r}g_{r} und bestimme hierfür die kritischen Stellen von G, die die Nebenbedingungen erfüllen.

2. Ermittle die x_{1}, …, x_{n}, λ_{1}, …, λ_{r} aus den n + r Gleichungen

D_{1}f(x) = λ_{1}D_{1}g_{1}(x) + … + λ_{r}D_{1}g_{r}(x)
⋮  ⋮
D_{n}f(x) = λ_{1}D_{n}g_{1}(x) + … + λ_{r}D_{n}g_{r}(x)
g_{1}(x) = 0
⋮  ⋮
g_{r}(x) = 0

3. Prüfe auf Vorliegen von wirklichen Extrema (Minima, Maxima) oder Sattelpunkten.

Anwendung

Bestimmung der Extrema einer quadratischen Form als Bestimmung der Eigenwerte

Sei A eine symmetrische n × n-Matrix.

Es ist f(x) = x^{⊤}Ax mit x ∈ ℝ^{n}.

Finde das Maximum von f auf Einheitssphäre S^{n−1}, d.h. unter den Nebenbedingungen g(x) = ⟨x, x⟩ − 1 = x^{⊤}x − 1 = 0.

Da S^{n−1} kompakt ist, hat f ihr Maximum m an einer Stelle v ∈ S^{n−1}.

Mit g′(x) = 2x^{⊤} ≠ 0 für alle x ∈ S^{n−1} folgt ∃λ f′(x) = λg′(x), d.h. mit 2v^{⊤}A = 2λv^{⊤} das Eigenwertproblem Av = λv.

Weiterhin gilt für v^{⊤}v = 1 : λ = λv^{⊤}v = v^{⊤}Av =_{def} f(v) =_{def} m.

Fazit

Jede Maximalstelle v von f auf S^{n−1} ist ein Eigenvektor von A und das Maximum m = f(v) ist der Eigenwert zu v.

Verallgemeinerung:

Satz 3.34 (Hauptachsentransformation)

Die symmetrische reelle n × n-Matrix A besitzt Eigenvektoren v_{1}, …, v_{n} und Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n} mit folgenden Eigenschaften:

• v_{1}, …, v_{n} sind paarweise senkrecht,

• die Eigenwerte λ_{k} zu v_{k} sind Maxima von f auf S^{n−1} ∩H_{k−1} mit der

orthogonalen Zerlegung H_{0} := ℝ^{n}, H_{k} = [v_{1}, …, v_{k}]^{⊥}.

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

4.1 Problemstellung. Klassifikation

Differentialgleichung (DGL) wird eine Gleichung genannt, in der neben einer oder mehreren unabhängigen Veränderlichen und einer oder mehreren Funktionen dieser Veränderlichen auch noch die Ableitungen dieser Funktionen nach den unabhängigen Veränderlichen auftreten.

Klassifikation

Nach der Anzahl der in ihnen enthaltenen unabhängigen Veränderlichen (Variablen) werden unterschieden

• gewöhnliche Differentialgleichungen (GDGL) als Funktionen einer Variablen,

• partielle Differentialgleichungen als Funktionen mehrerer Variablen.

Im folgenden werden GDGL betrachtet. Mit G ist ein Gebiet bezeichnet, also eine offene und zusammenhängende Teilmenge des ℝ^{n}, im Falle des ℝ sind die zusammenhängenden Teilräume genau die Intervalle I.

Definition 4.1 (explizite DGL 1.Ordnung. Lösung)

Sei G ⊂ ℝ × ℝ, f : G → ℝ stetig, I ⊂ ℝ ein Intervall.

Dann

• heißt y′ = f (x, y) (explizite) Differentialgleichung erster Ordnung,

• heißt eine differenzierbare Funktion φ : I → ℝ Lösung in I mit Graph

Γ_{φ} := {(x, y) ∈ I × ℝ | y = φ (x)} ⊂ G

und mit

φ′ (x) = f (x, φ (x)) , ∀x ∈ I.

Beispiel (trivial)

y′ = f(x) führt nach direkter Integration zu φ(x) = c + ∫_{x_{0}}^{x} f(t)dt.

Geometrische Interpretation

Die Differentialgleichung y′ = f (x, y) wird geometrisch interpretiert als Richtungsfeld auf G ⊂ ℝ^{2}. In jedem Punkt (x, y) ∈ G wird die Steigung gegeben mit y′ = f (x, y). Die Aufgabe lautet dann:

Finde eine differenzierbare Funktion φ(x), deren Graph in jedem Punkt in f die vorgegebene Steigung hat (Integralkurve des Richtungsfeldes).

Definition 4.2 (System von n DGL 1.Ordnung. Lösung)

Sei G ⊂ ℝ × ℝ^{n}, f : G → ℝ^{n} stetig, I ⊂ ℝ ein Intervall.

Dann

• heißt y′ = f (x, y) System von n Differentialgleichungen erster Ordnung,

• heißt eine differenzierbare Abbildung φ : I → ℝ^{n} Lösung in I mit

Graph

Γ_{φ} := {(x, y) ∈ I × ℝ^{n} | y = φ (x)} ⊂ G

und mit

φ′ (x) = f (x, φ (x)) , ∀x ∈ I.

Das Gleichungssystem y′ = f (x, y) in Komponentenschreibweise:

y′_{1} = f_{1}(x, y_{1}, …, y_{n})
y′_{2} = f_{2}(x, y_{1}, …, y_{n})

⋮

y′_{n} = f_{n}(x, y_{1}, …, y_{n})

Definition 4.3 (explizite DGL n-ter Ordnung. Lösung)

Sei G ⊂ ℝ × ℝ^{n}, f : G → ℝ^{n} stetig, I ⊂ ℝ ein Intervall.

Dann

• heißt y^{(n)} = f (x, y, y′, …, y^{(n−1)}) explizite Differentialgleichung nter Ordnung,

• heißt eine n-mal differenzierbare Funktion φ : I → ℝ Lösung in I mit Graph

Γ_{φ} := {(x, y_{0}, y_{1}, …, y_{(n−1)}) ∈ I × ℝ^{n} | y_{i} = φ^{(i)} (x) , 0 ≤ i ≤ n − 1} ⊂ G

und mit

φ^{(n)} (x) = f (x, φ (x) , φ′ (x) , …, φ^{(n−1)} (x)) , ∀x ∈ I.

Bemerkung

Eine implizite Darstellung ist f̃(x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0 für G ⊂ ℝ^{n+2} und

mit f : G → ℝ.

Eine speziellere, abstrakte Sichtweise ergibt sich, wenn Integralkurven auf Vektorfeldern betrachtet werden:

Definition 4.4 (Vektorfeld)

Ein Vektorfeld v auf G ⊂ ℝ^{n} ist eine Abbildung v : G → ℝ^{n}, die jedem Punkt x ∈ G einen Vektor v (x) ∈ ℝ^{n} zuordnet.

Interpretation

Geschwindigkeitsfeld einer stationären Strömung.

Definition 4.5 (Integralkurve auf einem Vektorfeld)

Eine Integralkurve auf einem Vektorfeld v : G → ℝ^{n} ist eine differenzierbare Kurve φ : I → G mit φ̇ (t) = v (φ (t)).

Interpretation

Mit der Zeit t versehene Bahnkurve eines in der Strömung v mitgeführten Partikels.

Beispiel

Rotationsfeld v(x, y) = (−y, x).

Die Bedingung für die Integralkurve lautet φ̇_{1} = −φ_{2} und φ̇_{2} = φ_{1}, d.h. φ̇ = iφ für φ = φ_{1} + iφ_{2}. Die Lösung lautet: φ(t) = ce^{it} mit c ∈ ℂ, t ∈ ℝ.

Eine spezielle Interpretation eines Systems von n Differentialgleichungen erster Ordnung nach Def. 4.2 ergibt sich - in der Sache veranlasst durch physikalische Fragestellungen - in der Betrachtung zeitabhängiger Vektorfelder, was zum Begriff des dynamischen Systems führt.

Definition 4.6 (dynamisches System. Lösung)

Sei G ⊂ ℝ × ℝ^{n} offen, (t, y) ∈ G, t «Zeit».

Dann

• heißt die stetige Abbildung F : G → ℝ^{n} dynamisches System,

• heißt die differenzierbare Kurve φ : I → ℝ^{n} Lösung bzw. Integralkurve des dynamischen Systems F mit (t, φ (t)) ∈ G und

φ̇ (t) = F (t, φ (t)) ⇔ ẏ = F (t, y) , ∀t ∈ I.

Bemerkung

Die Definition gilt analog für ℂ mit G ⊂ ℝ × ℂ^{n}, F : G → ℂ^{n}, φ : I → ℂ^{n}

mit I ⊂ ℝ.

Bisher wurden nur allgemeine Lösungen oder allgemeine Integrale betrachtet, die noch willkürliche Konstanten c_{1}, …, c_{n} enthalten, die durch zusätzliche Bedingungen bestimmt werden können. Man kommt so zu den partikulären Lösungen bzw. Integralen. Betreffen die Vorgaben nur eine Stelle des Definitionsbereiches, spricht man von einer Anfangswertaufgabe, sonst von einer Randwertaufgabe.

Definition 4.7 (Anfangswertproblem)

Sei (t_{0}, y_{0}) ∈ G als Anfangswert gegeben.

Als Anfangswertproblem (Anfangswertaufgabe) wird bezeichnet die Bestimmung der Lösung φ mit

1. φ (t_{0}) = y_{0},

2. ẏ = F (t, y) und

3. y (t_{0}) = y_{0}.

Die Untersuchung des Anfangswertproblems bezieht sich zunächst im wesentlichen auf die Prüfung von Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Bevor hierzu etwas ausgesagt wird, wird gezeigt, daß man sich bei der Betrachtung dieser oder ähnlicher Fragestellungen auf die Untersuchung von Systemen von DGL 1.Ordnung beschränken kann, denn

Satz 4.1 (Reduktion)

Jede Differentialgleichung n-ter Ordung läßt sich auf ein System von Differentialgleichungen 1.Ordnung zurückführen.

Beweis

Es ist zu zeigen, daß man zu einer beliebigen DGL n-ter Ordnung ein System von DGL 1.Ordnung aufstellen kann und eine Lösung des Systems von DGL 1.Ordnung auch eine Lösung der DGL n-ter Ordnung ist.

1. Sei G ⊂ ℝ^{n+1}, f : G → ℝ, y^{(n)} = f (x, y, y′, y′′, …, y^{(n−1)}).

2. Schreibe die DGL n-ter Ordnung y^{(n)} um als System von DGL 1.Ordnung

Y = ( y_{0} ; y_{1} ; ⋮ ; y_{n−2} ; y_{n−1} ) , F (x, Y) = ( y′_{0} ; y′_{1} ; ⋮ ; y′_{n−2} ; y′_{n−1} ) = Y′ = ( \begin{matrix}y′_{0} & = & y_{1} \\ y′_{1} & = & y_{2} \\ ⋮ & & ⋮ \\ y′_{n−2} & = & y_{n−1} \\ y′_{n−1} & = & y_{n} \end{matrix} ) .

3. Ist φ : I → ℝ eine Lösung von y^{(n)}, dann gilt

φ^{(n)} (x) = f (x, φ (x) , φ′ (x) , …, φ^{(n−1)} (x)) .

Setzt man

Φ = ( φ_{0} ; φ_{1} ; ⋮ ; φ_{n−2} ; φ_{n−1} ) mit ( \begin{matrix}φ_{0} (x) & = & φ (x) \\ φ_{1} (x) & = & φ′ (x) \\ ⋮ & & ⋮ \\ φ_{n−2} (x) & = & φ^{(n−2)} (x) \\ φ_{n−1} (x) & = & φ^{(n−1)} (x) \end{matrix} ) ,

dann ist Φ eine Lösung von Y′ = F (x, Y).

4. Sei umgekehrt Φ : I → ℝ^{n} eine Lösung des Systems von DGL 1.Ordnung Y′ = F (x, Y). Dann ist die erste Komponente von Φ, d.h. φ := φ_{0} : I → ℝ Lösung der DGL n-ter Ordnung. Ist nämlich φ_{n−1} einmal differenzierbar, so folgt aus dem «Rückwärtsgang» durch die n − 1 DGL 1.Ordnung, daß φ selbst n-mal differenzierbar ist und man bekommt als n-te Gleichung φ^{(n)} (x) = f (x, φ (x) , φ′ (x) , …, φ^{(n−1)} (x)).

□

Bemerkung

Somit bedarf es auch nur einer Theorie für Systeme von DGL 1.Ordnung.

Beispiel

Bewegung eines Massenpunktes nach dem Zweiten Newtonschen Gesetz.

Sei x := x (t) der Ort, ẋ := \frac{dx}{dt} die Geschwindigkeit und ẍ := \frac{d^{2}x}{dt^{2}} die Beschleunigung eines Massenpunktes.

Mit m als Masse und mit F als Kraft gilt mẍ = F (t, x, ẋ), d.h. ein System von drei DGL 2.Ordnung mit x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}).

Mit der Geschwindigkeit v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) gewinnt man das System von sechs DGL 1.Ordnung durch ẋ := v und v̇ = \frac{1}{m}F (t, x, v).

4.2 Existenz. Eindeutigkeit

Betrachtet wird das Anfangswertproblem für ein System von gewöhnlichen DGL 1.Ordnung

y′ = F (x, y) und y (x_{0}) = y_{0}.

Definition 4.8 (Vektorraum C ([x_{0} − δ, x_{0} + δ]))

Vektorraum oder Raum C ([x_{0} − δ, x_{0} + δ]) ist die Bezeichnung für die Menge der in dem Intervall [x_{0} − δ, x_{0} + δ] stetigen vektorwertigen Abbildungen mit der Operatornorm

∥g∥_{C} = max_{x∈[x_{0}−δ,x_{0}+δ]} ∥g (x)∥_{∞} .

Bemerkung

C ([x_{0} − δ, x_{0} + δ]) ist normierter vollständiger Vektorraum oder Funktionenraum.

Satz 4.2 (Satz von Picard-Lindelöf)

Sei x_{0} ∈ I mit Intervall I ⊂ ℝ, F : I × ℝ^{n} → ℝ stetig und erfülle die Lipschitz-Bedingung

∀x ∈ I ∀y, z ∈ ℝ^{n} ∥F (x, y) − F (x, z)∥_{∞} ≤ L ∥y − z∥_{∞} .

Dann gibt es zu jedem Anfangswert y_{0} ∈ ℝ^{n} genau eine stetig differenzierbare Abbildung φ : I → ℝ^{n} mit φ′ (x) = F (x, φ (x)) und φ (x_{0}) = y_{0}.

Beweis

Angenommen, das Anfangswertproblem habe die Lösung φ. Gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt dann die Fixpunktgleichung (Integralgleichung)

(⋆) φ (x) = y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} F (t, φ (t)) dt = (Φ (φ)) (x) ,

d.h. φ ist Fixelement der Abbildung Φ des Raumes aller in I stetigen vektorwertigen Funktionen in sich, die durch (⋆) beschrieben ist.

Wir zeigen zunächst, daß für x ∈ [x_{0} − δ, x_{0} + δ] die Abbildung Φ erstens Abbildung von C ([x_{0} − δ, x_{0} + δ]) in sich (Selbstabbildung) ist, was unmittelbar aus (⋆) folgt, und zweitens kontrahierend ist. Dies wird erreicht durch Fixieren von δ so, daß Φ kontrahierend wird. Hierzu wird betrachtet

(Φ (ψ)) (x) − (Φ (φ)) (x) = ∫_{x_{0}}^{x} (F (t, ψ (t)) − F (t, φ (t))) dt.

Mit der Abschätzung

∥(Φ (ψ)) (x) − (Φ (φ)) (x)∥_{∞} ≤ sign (x − x_{0}) ∫_{x_{0}}^{x} ∥F (t, ψ (t)) − F (t, φ (t))∥_{∞} dt erhält man unter Beachtung der Lipschitz-Bedingung

∥F (t, ψ (t)) − F (t, φ (t))∥_{∞} ≤ L ∥ψ (t) − φ (t)∥_{∞}

und durch Übergang von Vektornorm auf Abbildungsnorm (Operatornorm)

∥Φ (ψ) − Φ (φ)∥_{C} ≤ ∫_{x_{0}−δ}^{x_{0}+δ} L ∥ψ − φ∥_{C} dt = 2δL ∥ψ − φ∥_{C} .

Wählt man δ < \frac{1}{2L}, so ist die Abbildung Φ kontrahierend.

Gemäß dem Fixpunktsatz von Banach gilt (wegen Selbstabbildung und Kontraktion)

∃_{1}φ ∈ C ([x_{0} − δ, x_{0} + δ]) φ (x) = y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} F (t, φ (t)) dt.

Da F stetig ist, gilt φ′ (x) = F (x, φ (x)), d.h. die Anfangsbedingung φ (x_{0}) = y_{0} ist erfüllt. Somit gibt es genau eine Lösung φ für das AWP im Intervall |x − x_{0}| ≤ δ.

Dieses Ergebnis kann nun iterativ auf das AWP an den Stellen (Randpunkten) x_{0} − δ und x_{0} + δ mit den AW φ (x_{0} − δ) und φ (x_{0} + δ) angewandt werden und führt zu einer eindeutigen Lösung im doppelt so großen Intervall |x − x_{0}| ≤ 2δ. Durch Fortsetzen dieses Verfahrens auf die entsprechend gewählten Randpunkte der jeweils betrachteten Intervalle kann die zunächst für das Intervall |x − x_{0}| ≤ δ gültige Existenz- und Eindeutigkeitsaussage auf das gesamte Intervall I ⊂ ℝ erweitert werden. □

Bemerkung

Die an den Beweisanfang gestellte Integralversion mittels des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist eine äquivalente Formulierung zur DGL. D.h.

• F : G → ℝ^{n} stetig auf G ⊂ ℝ × ℝ^{n} offen,

• φ : I → ℝ^{n} stetig auf I mit (x, φ (x)) ∈ G, ∀x,

löst das AWP

\begin{matrix}y′ = F (x, y) \\ y (x_{0}) = y_{0} \end{matrix} \} ⇔ φ (x) = φ (x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x} F (t, φ (t)) dt ∀x ∈ I.

Dies ist von Vorteil bei der Betrachtung von Grenzprozessen, da die Integralversion es erlaubt, mit stetigen statt mit differenzierbaren Funktionen φ zu arbeiten.

Bemerkung

Existieren alle partiellen Ableitungen D_{1}f (x, y) , …, D_{n}f (x, y) und sind diese beschränkt, so erfüllt F die Lipschitz-Bedingung des Satzes von Picard-Lindelöf.

Bemerkung

Im Satz von Picard-Lindelöf wird vorausgesetzt, daß f bzgl. aller Variablen stetig ist und bzgl. der y-Variablen der Lipschitz-Bedingung genügt. Aus der Gültigkeit der Lipschitz-Bedingung folgt, daß f bzgl. der y-Variablen gleichmäßig stetig ist.

(Anm.: Aus der Lipschitz-Bedingung allein folgt nicht, daß f insgesamt stetig ist.)

Beweis

Gemäß der Dreiecksungleichung und der Lipschitz-Bedingung hat man

∥f (x, y) − f (x_{0}, y_{0})∥_{∞} ≤ ∥f (x, y) − f (x, y_{0})∥_{∞} + ∥f (x, y_{0}) − f (x_{0}, y_{0})∥_{∞}
≤ L ∥y − y_{0}∥_{∞} + ∥f (x, y_{0}) − f (x_{0}, y_{0})∥_{∞} .

Sei ε > 0 vorgegeben. Sei δ > 0 so bestimmt, daß für |x − x_{0}| < δ gilt

∥f (x, y_{0}) − f (x_{0}, y_{0})∥_{∞} < ε.

Dann gilt ∀ (x, y) mit |x − x_{0}| < δ bzw. ∥y − y_{0}∥_{∞} < \frac{ε}{L}

∥f (x, y) − f (x_{0}, y_{0})∥_{∞} < L\frac{ε}{L} + ε = 2ε,

d.h. f ist in (x_{0}, y_{0}) stetig. □

4.3 Lösungsmethoden für GDGL

Die Lösung φ (x) einer gegebenen allgemeinen DGL ist nicht in jedem Falle explizit angebbar. Allerdings gibt es für bestimmte Klassen gewöhnlicher DGL Lösungstechniken. Solche vorzustellen, ist Aufgabe des gegenwärtigen Abschnitts.

Analytische Lösungsverfahren

• Iterationsverfahren nach Picard-Lindelöf

• Methode der Trennung der Variablen y′ = f (x, y)) = g (x) h (x)

• Methode der Variation der Konstanten (für homogene bzw. nichthomogene lineare DGL)

• für DGL höherer Ordnung sog. «Tricks», abhängig vom Typ

1. Energietrick

2. Trick der inversen Funktion

3. Euler-Lagrangesche Gleichung

4. Berührungstransformation (Legendre, Lie et al.)

5. Laplace-Transformation

6. u.a.m.

Führen analytische Lösungsverfahren nicht zum Ziele, verbleiben die Verfahren numerischer Approximation. Hierzu wird eine Theorie der Numerik gewöhnlicher DGL benötigt. Vorstehender Sachverhalt gilt grundsätzlich auch für partielle DGL.

Iterationsverfahren nach Picard-Lindelöf

Dieses Iterationsverfahren (Fixpunktiteration) beruht auf der Integraldarstellung des AWP. Hierzu definiert man die Abbildungen φ_{k} : I → ℝ^{n}, k ∈ ℕ durch die Rekursion

φ_{0} (x) := y_{0}
φ_{k+1} (x) := y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} f (t, φ_{k} (t)) dt.

Durch vollständige Induktion und mit Anwendung des Majorantenkriteriums läßt sich zeigen, daß die Folge (φ_{k}) gleichmäßig gegen die Lösung des AWP

φ (x) := y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} f (t, φ (t)) dt.

konvergiert. Manchmal kann so die Lösung eines AWP direkt berechnet werden.

Beispiel

In ℝ×ℝ wird zu der DGL y′ = 2xy die Lösung φ (x) gesucht, die der Bedingung φ (0) = y_{0} genügt. Dann lautet die Rekursionsgleichung

φ_{k+1} (x) = y_{0} + 2 ∫_{x_{0}}^{x} tφ_{k} (t) dt.

Die ersten drei Glieder der Funktionenfolge sind

φ_{0} (x) = y_{0}
φ_{1} (x) = y_{0} + 2y_{0} ∫_{0}^{x} tdt  = y_{0} (1 + x^{2})
φ_{2} (x) = y_{0} + 2y_{0} ∫_{0}^{x} t (1 + t^{2}) dt = y_{0} (1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} )

Durch vollständige Induktion kann man zeigen

φ_{k} (x) = y_{0} (1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!} + … + \frac{x^{2k}}{k!} ) .

Hieraus erhält man

φ (x) = lim_{k→∞} φ_{k} (x) = y_{0} ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{k!} = y_{0}e^{x^{2}}.

Die Probe durch Einsetzen ergibt

\begin{aligned}1. & y′ = 2xy & : & y_{0}e^{x^{2}}2x = 2xy_{0}e^{x^{2}} \\ 2. & y (0) = φ (0) & : & y_{0}e^{0} = y_{0} \end{aligned}

Methode der Trennung der Variablen

Die Methode der Trennung der Variablen beruht auf nachstehenden Definition und Satz.

Definition 4.9 (DGL mit getrennten Variablen)

Seien I, J ⊂ ℝ offen, f : I → ℝ, g : J → ℝ stetig, g (y) ≠ 0 ∀y ∈ J.

Dann ist y′ = f (x) g (y) eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Satz 4.3 (Lösung von DGL mit getrennten Variablen)

Seien I, J ⊂ ℝ offen, (x_{0}, y_{0}) ∈ I × J, F (x) = ∫_{x_{0}}^{x} f (t) dt, G (y) =

∫_{y_{0}}^{y} \frac{1}{g(t)}dt.

Ist für I′ ⊂ I mit x_{0} ∈ I′, F (I′) ⊂ G (J), dann existiert genau eine Lösung φ : I′ → ℝ von y′ = f (x) g (y) mit φ (x_{0}) = y_{0}. Die Lösung erfüllt

G (φ (x)) = F (x) ∀x ∈ I′.

Beweis «Eindeutigkeit» Zu zeigen: Ist φ : I′ → ℝ irgendeine Lösung von y′ = f (x) g (y) mit φ (x_{0}) = y_{0}, dann gilt

G (φ (x)) = F (x) ∀x ∈ I.

Denn

φ′ (x) = f (x) g (φ (x))  ⇒  ∫_{x_{0}}^{x} \frac{φ′ (t)}{g (φ (t))}dt = ∫_{x_{0}}^{x} f (t) dt
⇒_{u=φ(t)} ∫_{y_{o}}^{φ(x)} \frac{du}{g (u)} = ∫_{x_{0}}^{x} f (t) dt
⇒  G (φ (x)) = F (x) .

Wegen G′ (y) = \frac{1}{g(y)} ≠ 0 ist G streng monoton. Somit existiert eine stetig differenzierbare Umkehrfunktion H : G (y) → ℝ und damit

φ (x) = H (F (x)) ∀x ∈ I′,

d.h. die Lösung, falls sie überhaupt existiert, ist durch die Anfangsbedingung eindeutig bestimmt. «Existenz» φ : I′ → ℝ mit φ (x) := H (F (x)) ist stetig differenzierbar. Wegen F (x_{0}) = 0 = G (y_{0}) ist

φ (x_{0}) = H (F (x_{0})) = H (0) = y_{0}.

Weiterhin gilt G (φ (x)) = F (x) und somit

G′ (φ (x)) φ′ (x) = \frac{φ′ (x)}{g (φ (x))} = F′ (x) = f (x) .

Daraus folgt φ′ (x) = f (x) g (φ (x)) und φ existiert. Es gibt somit genau eine Lösung. □ Vorgehensweise (vereinfacht)

y′ = f (x) g (x)
\frac{dy}{dx} = f (x) g (x)
\frac{dy}{g (y)} = f (x) dx
∫ \frac{dy}{g (y)} = ∫ f (x) dx + const.

Auflösung der Schlußgleichung nach y = φ (x). Beispiel In ℝ^{2} wird zu der DGL y′ = y^{2} die Lösung φ (x) gesucht, die der Bedingung φ (0) = y_{0} genügt. Da die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist, existiert eine eindeutige Lösung. Fall 1 y_{0} = 0 Ansatz φ (x) = 0, ∀x ∈ ℝ. Probe durch Einsetzen in DGL und Bedingung ergibt, daß diese erfüllt sind. D.h. φ (x) = 0 ist einzige Lösung. Fall 2 y_{0} > 0 Sei φ : I → ℝ irgendeine Lösung des AWP über I, das den Nullpunkt enthält. Dann ist φ (x) > 0, ∀x ∈ I. Denn sonst gäbe es ein x_{1} ∈ I mit φ (x_{1}) = 0 und daher φ (x) = 0, ∀x ∈ I, was im Widerspruch zur Annahme steht. Man kann also die Betrachtung auf y′ = y^{2} in ℝ × {x ∈ ℝ | x > 0} beschränken. Es wird y′ = y^{2} dann zur DGL mit getrennten Variablen y′ = y^{2} · 1 durch die Notationen

f : ℝ → ℝ mit f (x) = 1
g : {x ∈ ℝ | x > 0} → ℝ mit g (y) = y^{2}

sowie

\begin{aligned}F (x) & = & ∫_{0}^{x} 1dx & = & x \\ G (y) & = & ∫_{y_{0}}^{y} \frac{1}{t^{2}} dt & = & \frac{1}{y_{0}} − \frac{1}{y} . \end{aligned}

Wegen G (\{x ∈ ℝ | x > 0\}) = ]−∞, \frac{1}{y_{0}} [ ist I′ := ]−∞, \frac{1}{y_{0}} [ das maximale Intervall mit F (I′) ⊂ G ({x ∈ ℝ | x > 0}). Mit Satz 4.3 wird dann

\frac{1}{y_{0}} − \frac{1}{φ (x)} = x ⇒ φ (x) = \frac{y_{0}}{1 − y_{0}x}, (x < \frac{1}{y_{0}} ) .

Fall 3 y_{0} < 0 analog mit

φ : ]\frac{1}{y_{0}} , ∞[ → ℝ und φ (x) = \frac{y_{0}}{1−y_{0}x}, (x > \frac{1}{y_{0}} ) .

Methode der Variation der Konstanten

Die mit «Variation der Konstanten» bezeichnete Lösungstechnik erstreckt sich auf homogene bzw. nichthomogene lineare DGL.

Definition 4.10 (homogene, inhomogene lineare DGL 1.Ordnung)

Sei I ⊂ ℝ Intervall, a, b : I → ℝ stetige Funktionen.

y′ = a (x) y + b (x)

heißt im Falle b = 0 homogene, im Falle b ≠ 0 inhomogene lineare Differentialgleichung 1.Ordnung.

Satz 4.4

Sei I ⊂ ℝ Intervall, x_{0} ∈ I, y_{0} ∈ ℝ, φ : I → ℝ Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 1.Ordnung y′ = a (x) y mit Anfangswert φ (x_{0}) = y_{0}.

Es gibt genau eine Lösung φ : I → ℝ mit

φ (x) = y_{0} exp (∫_{x_{0}}^{x} a (t) dt) .

Beweis

1. Die Lösung φ (x) = y_{0} exp (∫_{x_{0}}^{x} a (t) dt) erfüllt y′ = a (x) y mit φ′ (x) = a (x) φ (x) und φ (x_{0}) = y_{0}.

2. Da die Funktion a (x) y in I × ℝ stetig partiell nach y differenzierbar ist, ist die Lipschitz-Bedingung lokal erfüllt. Mit Satz 4.2 folgt daraus die Eindeutigkeit.

□

Im Falle der inhomogenen linearen DGL 1.Ordnung y′ = a (x) y + b (x) mit Anfangswert ψ (x_{0}) = y_{0} existiert unter Voraussetzung der Lipschitz-Stetigkeit nach dem Satz von Picard-Lindelöf ebenfalls genau eine Lösung ψ (x).

Löse zuerst die homogene lineare DGL 1.Ordnung y′ = a (x) y zum Anfangswert φ (x_{0}) = 1, d.h.

φ (x) = 1 · exp (∫_{x_{0}}^{x} a (t) dt) .

Es gilt ∀x φ (x) ≠ 0. Definiere

u (x) := \frac{ψ (x)}{φ (x)}.

Dann

a (x) φ (x) u (x) + b (x) = a (x) ψ (x) + b (x)
= ψ′ (x)
= (φ (x) u (x))′
= φ′ (x) u (x) + φ (x) u′ (x)
= a (x) φ (x) u (x) + φ (x) u′ (x)
⇒  b (x) = φ (x) u′ (x)
⇒  u′ (x) = \frac{b(x)}{φ(x)}
⇒  u (x) = u (x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x} u (t) dt
= y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} \frac{b(t)}{φ(t)}dt
⇒  ψ (x) = φ (x) u (x)
= φ (x) (y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} \frac{b(t)}{φ(t)}dt)
= 1 · exp (∫_{x_{0}}^{x} a (t) dt) (y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} \frac{b(t)}{φ(t)}dt) .

Beispiel Sei y′ = 2xy + x^{3} und y (0) = y_{0}. Dann ist

φ (x) = 1 · exp (∫_{0}^{x} 2tdt)
= e^{x^{2}}
ψ (x) = φ (x) u (x)
= e^{x^{2}} (y_{0} + ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}}t^{3}dt)

Mit Substitution s = t^{2} und partieller Integration erhält man

ψ (x) = e^{x^{2}} (y_{0} + \frac{1}{2} − \frac{1}{2} (x^{2} + 1) e^{−x^{2}})
= (y_{0} + \frac{1}{2}) e^{x^{2}} − \frac{1}{2} (x^{2} + 1) .

Satz 4.5 Sei I ⊂ ℝ Intervall, a, b : I → ℝ stetige Funktionen, x_{0} ∈ I, y_{0} ∈ ℝ beliebig. Es gibt genau eine Lösung ψ : I → ℝ der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1.Ordnung

y′ = a (x) y + b (x)

mit ψ (x_{0}) = y_{0} :

ψ (x) = φ (x) (y_{0} + ∫_{x_{0}}^{x} φ (t)^{−1} b (t) dt) mit φ (x) = exp (∫_{x_{0}}^{x} a (t) dt) .

Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Hier ist die Lösung äquivalent zu der Berechnung der Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades. Die homogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten a_{i} ∈ ℝ bzw. a_{i} ∈ ℂ kann geschrieben werden

−a_{n}y^{(n)} = a_{0}y + a_{1}y′ + a_{2}y′′ + … + a_{n−1}y^{(n−1)}
⇔
a_{0}y + a_{1}y′ + a_{2}y′′ + … + a_{n−1}y^{(n−1)} + a_{n}y^{(n)} = 0
⇔
a_{0}y^{(0)} + a_{1}y^{(1)} + a_{2}y^{(2)} + … + a_{n−1}y^{(n−1)} + a_{n}y^{(n)} = 0

Wählt man für die y^{(i)} = \frac{d^{i}y}{dx^{i}} = \frac{d^{i}}{dx^{i}} y den Operator T^{i} anstelle \frac{d^{i}}{dx^{i}}, so wird der Term

a_{0}y + a_{1} \frac{d}{dx}y + a_{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} y + … + a_{n−1} \frac{d^{n−1}}{dx^{n−1}} y + a_{n} \frac{d^{n}}{dx^{n}} y

=: (a_{0} + a_{1} \frac{d}{dx} + a_{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}} + … + a_{n−1} \frac{d^{n−1}}{dx^{n−1}} + a_{n} \frac{d^{n}}{dx^{n}} ) y =: (a_{0}T^{0} + a_{1}T^{1} + a_{2}T^{2} + … + a_{n−1}T^{n−1} + a_{n}T^{n}) y =: P (T) y

Dann kann die homogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten a_{i} ∈ ℝ bzw. a_{i} ∈ ℂ geschrieben werden als

a_{0}y + a_{1}y′ + a_{2}y′′ + … + a_{n−1}y^{(n−1)} + a_{n}y^{(n)} = 0
⇔
P (T) y = P (\frac{d}{dx}) y = ∑_{i=0}^{n} a_{i}y^{(i)} = 0.

Fazit

Der lineare Differentialoperator n-ter Ordnung P (T) wird betrachtet als Polynom n-ten Grades eines Differentialoperators \frac{d}{dx}, d.h. in der Unbekannten T = \frac{d}{dx}.

Die lineare DGL n-ter Ordnung wird betrachtet als die Anwendung von P (T) auf y (x).

Rechenregeln für Polynome von Differentialoperatoren

Sei P_{1} (T) , P_{2} (T) ∈ ℙ (T).

Addition

P (T) := P_{1} (T) + P_{2} (T)

Sei y : I → ℂ genügend oft differenzierbar, dann

P (\frac{d}{dx}) y = P_{1} (\frac{d}{dx}) y + P_{2} (\frac{d}{dx}) y.

Multiplikation

Q (T) := P_{1} (T) P_{2} (T)

Sei y : I → ℂ genügend oft differenzierbar, dann

Q (\frac{d}{dx}) y = P_{1} (\frac{d}{dx}) (P_{2} (\frac{d}{dx}) y) .

Bemerkung Mit konstanten Koeffizienten a_{i} ∈ ℝ bzw. a_{i} ∈ ℂ gilt Kommutativität

P_{1} (\frac{d}{dx}) P_{2} (\frac{d}{dx}) = P_{2} (\frac{d}{dx}) P_{1} (\frac{d}{dx}) .

Wegen der Produktregel für Ableitungen gilt dies nicht im Falle nichtkonstanter Koeffizienten a_{i} (x).

Betrachtet sei nun die Anwendung P (T) = P (\frac{d}{dx}) auf

y (x) := e^{λx} bzw. \frac{dy}{dx} = λe^{λx}.

Lemma 4.6

∀P (T) ∈ ℙ (T) ∀λ ∈ ℂ P (\frac{d}{dx}) e^{λx} = P (λ) e^{λx}.

Beweis Sei P (T) ∈ ℙ (T) mit P (T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}. Dann

P (\frac{d}{dx}) e^{λx} = ∑_{i=0}^{n} a_{i} \frac{d^{i}}{dx^{i}} e^{λx}
= ∑_{i=0}^{n} a_{i}λ^{i}e^{λx}
= P (λ) e^{λx}.
□

Folgerung Ist λ eine Nullstelle P (λ) = 0, dann ist φ (x) = e^{λx} eine Lösung von P (\frac{d}{dx}) y = 0.

Satz 4.7 Sei P (T) ∈ ℙ (T) mit P (T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} und a_{n} = 1, P (T) besitze n paarweise verschiedene Nullstellen λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ.

Dann hat die Differentialgleichung

P (\frac{d}{dx}) y = 0

ein Fundamentalsystem von Lösungen φ_{k} : I → ℂ

φ_{k} (x) = e^{λ_{k}x},

mit k = 1, …, n.

Mit Lemma 4.6 ist klar, daß die φ_{k} Lösungen sind. Als Elemente eines Fundamentalsystems müssen sie auch linear unabhängig sein, d.h. ihre Wronski-Determinante

W (x) = | \begin{matrix}φ_{1} (x) & φ_{2} (x) & … & φ_{n} (x) \\ φ′_{1} (x) & φ′_{2} (x) & … & φ′_{n} (x) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ φ_{1}^{(n−1)} (x) & φ_{2}^{(n−1)} (x) & … & φ_{n}^{(n−1)} (x) \end{matrix} | ≠ 0.

Wegen

φ_{k}^{(j)} (x) = λ_{k}^{j}e^{λ_{k}x}

wird

W (0) = | \begin{matrix}φ_{1} (0) & φ_{2} (0) & … & φ_{n} (0) \\ φ′_{1} (0) & φ′_{2} (0) & … & φ′_{n} (0) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ φ_{1}^{(n−1)} (0) & φ_{2}^{(n−1)} (0) & … & φ_{n}^{(n−1)} (0) \end{matrix} | = | \begin{matrix}1 & 1 & … & 1 \\ λ_{1} & λ_{2} & … & λ_{n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ λ_{1}^{n−1} & λ_{2}^{n−1} & … & λ_{n}^{n−1} \end{matrix} | ,

zur Vandermonde-Determinante, und damit

W (0) = ∏_{p>q} (λ_{p} − λ_{q}) ≠ 0,

da λ_{p}, λ_{q} paarweise verschieden sind. Dies bedeutet die lineare Unabhängigkeit der φ_{k}.

Beispiel

Für die DGL y′′′ − y′′ − 2y′ = 0 wird das Polynom zu T^{3} − T^{2} − 2T^{1} = 0 mit den Nullstellen λ_{1} = 0, λ_{2} = −1, λ_{3} = 2.

φ_{1} (x) = 1
φ_{2} (x) = e^{−x}
φ_{3} (x) = e^{2x}

bilden das Fundamentalsystem von Lösungen; die Lösung lautet mit φ (x) = αφ_{1} (x) + βφ_{2} (x) + γφ_{3} (x)

y = α + βe^{−x} + γe^{2x},

was sich durch Probe bestätigen läßt.

Die Funktionen φ_{k} spannen einen Lösungsraum auf, in dem jede Lösung eine Linearkombination der φ_{k} darstellt. Dies verschafft z.B. die Möglichkeit eines Basiswechsels, falls ein Fundamentalsystem aus komplexen Funktionen besteht und ein reelles Fundamentalsystem gewonnen werden soll.

Beispiel

Für die DGL y′′ + c^{2}y = 0 wird das Polynom zu T^{2} + c^{2} = 0 mit den Nullstellen λ_{1} = ic, λ_{2} = −ic, d.h. φ_{1} (x) = e^{icx}, φ_{2} (x) = e^{−icx}. Letztere sind eine komplexe Basis des Fundamentalsystems. Dieses kann z.B. transformiert werden in eine reelle Basis des Fundamentalsystems gemäß

\begin{aligned}ψ_{1} (x) & = & \frac{1}{2} (φ_{1} (x) + φ_{2} (x)) & = & cos (cx) \\ ψ_{2} (x) & = & \frac{1}{2i} (φ_{1} (x) − φ_{2} (x)) & = & sin (cx) \end{aligned}

Bemerkung

Bei mehrfachen Nullstellen ist das Polynom P (T) ∈ ℙ

P (T) = T^{n} + a_{n−1}T^{n−1} + … + a_{1}T + a_{0}

zerlegbar in Linearfaktoren

P (T) = (T − λ_{1})^{k_{1}} (T − λ_{2})^{k_{2}} … (T − λ_{r})^{k_{r}}

mit λ_{j} ∈ ℂ paarweise verschieden, k_{j} ≥ 1 Vielfachheit der Nullstellen und ∑_{j} k_{j} = n.

Lemma 4.8

Sei λ ∈ ℂ, k ∈ ℕ, I ∈ ℝ k-mal differenzierbar.

Dann gilt

(\frac{d}{dx} − λ)^{k} (y (x) e^{λx}) = y^{(k)} (x) e^{λx}.

Lemma 4.9.

Sei P (T) ∈ ℙ (T) , λ ∈ ℂ, P (λ) ≠ 0.

Ist g : ℝ → ℂ Polynomfunktion vom Grad k, so gilt

P (\frac{d}{dx}) (g (x) e^{λx}) = h (x) e^{λx}

mit h : ℝ → ℂ, und h ist wieder Polynom vom Grad k.

Satz 4.10

Sei P (T) ∈ ℙ (T) mit P (T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} und a_{n} = 1, P (T) besitze paarweise verschiedene Nullstellen λ_{i} ∈ ℂ mit Vielfachheiten k_{j}, 1 ≤ j ≤ r.

P (\frac{d}{dx}) y = 0

ein Fundamentalsystem von Lösungen («Basis») φ_{jm} : I → ℂ mit

φ_{jm} (x) = x^{m}e^{λ_{j}x}

mit 1 ≤ j ≤ r und 0 ≤ m ≤ k_{j} − 1.

Prinzipielle Vorgehensweise zur Gewinnung von Lösungen

Sei P (T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i}, a_{i} ∈ ℂ, a_{n} = 1, b : I → ℂ stetig.

Betrachte die inhomogene DGL

P (\frac{d}{dx}) y = b (x) .

Dann ist die Vorgehensweise

1. Bestimme gemäß Satz 4.10 ein Fundamentalsystem von Lösungen der homogenen DGL

P (\frac{d}{dx}) y = 0.

2. Führe die inhomogene DGL zurück auf ein System von DGL 1.Ordnung.

3. Bestimme eine Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten gemäß Satz 4.5

Das Vorgehen vereinfacht sich erheblich im Spezialfall

P (\frac{d}{dx}) y = e^{μx}, μ ∈ ℂ, P (μ) ≠ 0.

Dann ist

ψ (x) = \frac{1}{P (μ)}e^{μx}

Lösung, denn

P (\frac{d}{dx}) ψ (x) = P (\frac{d}{dx}) \frac{1}{P (μ)}e^{μx} = \frac{1}{P (μ)}P (\frac{d}{dx}) e^{μx} =_{4.6} \frac{1}{P (μ)}P (μ) e^{μx} = e^{μx}.

Satz 4.11

Sei P (T) ∈ ℙ (T) mit P (T) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} und a_{n} = 1, b : ℝ → ℂ mit b (x) = f (x) e^{μx} mit f Polynom in x vom Grad m, komplex, μ ∈ ℂ Nullstelle k-ter Ordnung (k ≥ 0) von P (T).

Dann hat die Differentialgleichung

P (\frac{d}{dx}) y = f (x) e^{μx}

eine spezielle Lösung φ : ℝ → ℂ mit

φ (x) = h (x) e^{μx}

mit h Polynom vom Grad m + k. Beweis Nach Voraussetzung ist

P (\frac{d}{dx}) = Q (\frac{d}{dx}) (\frac{d}{dx} − μ)^{k}

mit Q Polynom mit Q (μ) ≠ 0. Der Beweis wird durch vollständige Induktion nach dem Grad m des Polynoms f (x) geführt. Zwischenbemerkung

• gemäß Satz 4.6 gilt P (\frac{d}{dx}) e^{λx} = P (λ) e^{λx}

• gemäß Satz 4.8 gilt (\frac{d}{dx} − λ)^{k} (y (x) e^{λx}) = y^{(k)} (x) e^{λx}

• gemäß Satz 4.9 gilt P (\frac{d}{dx}) (g (x) e^{λx}) = h (x) e^{λx} mit g, h Polynom-

funktionen vom Grad k.

Induktionsanfang m = 0. Löse P (\frac{d}{dx}) y = ce^{μx}. Spezielle Lösung ist

φ (x) = \frac{c}{k!Q (μ)}x^{k}e^{μx},

da mit Satz 4.6 und Satz 4.8

P (\frac{d}{dx}) (x^{k}e^{μx}) = Q (\frac{d}{dx}) (\frac{d}{dx} − μ)^{k} (x^{k}e^{μk})
= Q (\frac{d}{dx}) (k!e^{μx})
= k!Q (μ) e^{μx}.

Induktionsschritt (m − 1) → m. Mit Satz 4.8 und Satz 4.9 gilt

P (\frac{d}{dx}) (x^{m+k}e^{μx}) = Q (\frac{d}{dx}) (\frac{d}{dx} − μ)^{k} (x^{m+k}e^{μk})
= Q (\frac{d}{dx}) (\frac{(m + k)!}{m!}x^{m}e^{μx})
= g (x) e^{μx}

mit g (x) Polynom vom Grad m. Für ein geeignetes c ∈ ℂ ist f_{1} (x) := f (x) − cg (x) ein Polynom vom Grad m − 1. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann ein Polynom h_{1} (x) vom Grad m − 1 + k mit

P (\frac{d}{dx}) (h_{1} (x) e^{μx}) = f_{1} (x) e^{μx}.

Mit h (x) := h_{1} (x) + cx^{m+k} gilt

P (\frac{d}{dx}) (h (x) e^{μx}) = (f_{1} (x) + cg (x)) e^{μx}
= f (x) e^{μx}.
□

Systeme von linearen DGL mit konstanten Koeffizienten

Die Betrachtung von Systemen von linearen DGL mit konstanten Koeffizienten ist eng verknüpft mit der Eigenwerttheorie von Matrizen. Infolgedessen besteht die explizite Bestimmung eines Fundamentalsystems von Lösungen in der Transformation der Matrix des Systems auf die Normalform.

Satz 4.12

Sei A ∈ ℂ^{n×n}, a ∈ ℂ^{n} Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ ℂ.

Die Abbildung φ : ℝ → ℂ^{n}, definiert durch φ (x) := ae^{λx} ist Lösung der Differentialgleichung y′ = Ay.

Beweis

φ′ (x) = aλe^{λx} = A (ae^{λx}) = Aφ (x) . □

Satz 4.13

Sei A ∈ ℂ^{n×n}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℂ^{n} eine Basis von Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ.

Die Abbildungen φ_{k} : ℝ → ℂ^{n}, definiert durch φ_{k} (x) := a_{k}e^{λ_{k}x} mit k = 1, …, n bilden ein Fundamentalsystem von Lösungen der Differentialgleichung y′ = Ay.

Transformationen

Eine Matrix A ∈ ℂ^{n×n} besitzt genau dann eine Basis aus Eigenvektoren, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, sodaß die Matrix

B = S^{−1}AS

Diagonalgestalt hat. Die Spalten von S sind dann die Eigenvektoren mit den Diagonalelementen von B als den zugehörigen Eigenwerten. Allerdings ist es nicht immer möglich, eine Matrix A in dieser Weise auf Diagonalgestalt zu bringen.

In diesem Falle hilft der Umstand weiter, daß es stets eine invertierbare Matrix S gibt, sodaß die Matrix

B = S^{−1}AS

Dreiecksgestalt hat.

Lemma 4.14

Sei A ∈ ℂ^{n×n}, S ∈ GL (n, ℂ). Dann gilt
φ : ℝ → ℂ^{n}  Lösung der DGL  y′ = Ay
⇔
ψ := S^{−1}φ : ℝ → ℂ^{n} Lösung der transformierten DGL z′ = S^{−1}ASz.

Beweis

y′ = Ay  ⇔  S^{−1}y′
= S^{−1}Ay
= S^{−1}ASS^{−1}y
⇒_{z=S^{−1}y} = S^{−1}ASz = z′

□

Gemäß Lemma 4.14 läßt sich das System von linearen DGL y′ = Ay durch eine geeignete Transformation auf die Form z′ = Bz mit Dreiecksgestalt von B bringen

[ z′_{1} ; z′_{2} ; ⋮ ; z′_{n−1} ; z′_{n} ] = [ \begin{matrix}b_{11} & b_{12} & … & b_{1(n−1)} & b_{1n} \\ & b_{22} & … & b_{2(n−1)} & b_{2n} \\ & & & ⋮ & ⋮ \\ & & & b_{(n−1)(n−1)} & b_{(n−1)n} \\ & & & & b_{nn} \end{matrix} ] [ z_{1} ; z_{2} ; ⋮ ; z_{n−1} ; z_{n} ]

Zur vorgegebenen Anfangsbedingung ψ (x_{0}) = y_{0} läßt sich durch «Rückwärtssubstitution» analog dem Gauss-Verfahren die vollständige Lösung ermitteln:

Nach der letzten Zeile führt z′_{n} = b_{nn}z_{n} zu einer Lösung der Form

ψ_{n} (x) = α_{n}e^{b_{nn}x}

mit α_{n} so, daß ψ_{n} (x_{0}) = α_{n}e^{b_{nn}x_{0}} = y_{0n}. Für die vorletze Zeile wird dann

z′_{n−1} − b_{(n−1)(n−1)}z_{n−1} = b_{(n−1)n}ψ_{n} (x) ,

deren Lösung mit Lemma 4.11 zu ermiteln ist. So fortsetzend gelangt man schließlich zur vollständigen Lösung.

5 Variationsrechnung (Ausblick)

Aufgabenstellung

Erinnerung

Extremstellen von f ∈ C^{1} (Ω) mit Ω offene Teilmengen des ℝ^{n}.

Notwendig: x_{0} kritischer Punkt von f, d.h.

∇f (x_{0}) = 0 ⇔_{f∈C^{1}(Ω)} \frac{∂f}{∂a} (x) = 0, ∀a ∈ S^{n−1} ⊂ ℝ^{n}.

Nun: Analoge Bedingungen für die stationären Stellen eines Funktionals

𝔉 : M → ℝ

mit M Teilmenge eines Funktionenraumes. 𝔉 ist Integral, das auf den Funktionenraum gebildet wird.

Beispiel

Sei M die Menge aller differenzierbaren Kurven X : I → ℝ^{3}, deren Spur auf einer Fläche 𝔖 in ℝ^{3} liegt und die zwei gegebene Punkte P, Q ∈ 𝔖 verbinden. Die Frage nach der kürzesten Verbindung von P und Q unter allen Kurven X ∈ M führt auf die notwendige Bedingung, der ein Minimierer der Bogenlänge in M genügen muß

L (X) = ∫_{I} |Ẋ (t)| dt für z.B. X (t) = ( \begin{matrix}x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \end{matrix} ) .

Beispiel

Schwingungen einer Saite. Minimiere die elastische Energie

D (X) = \frac{1}{2} ∫_{I} |Ẋ|^{2} dt,

d.h. bestimme eine Kurve X : I → ℝ^{3} aller C^{1}-Verbindungskurven zweier Punkte P, Q ∈ ℝ^{3}.

Formalisierung der Aufgabenstellung

• Wähle «erweiterten Phasenraum» U als Gebiet in ℝ^{2n+1} := ℝ × ℝ^{n} × ℝ^{n} mit der Lagrange-Funktion F : U → ℝ, F ∈ C^{1}.

• Betrachte die Abbildungen u ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) , I = [a, b], deren 1-graph in U

liegt. Dabei ist

1 − graphu := {(x, u (x) , u′ (x))}

Punkt in x ∈ I. F (x, u (x) , u′ (x)) ist dann wohldefiniert und stetig auf I.

• Bilde Funktional (Variationsintegral)

𝔉 (u) := ∫_{a}^{b} F (x, u (x) , u′ (x)) dx

auf der Menge

C_{1} (I, U) := {u ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) | 1 − graphu ⊂ U} .

• Wähle zwei Punkte P, Q ∈ ℝ^{n} verschieden und definiere Menge

M := {u ∈ C_{1} (I, U) | u (a) = P, u (b) = Q} .

• Minimiere 𝔉 auf M: 𝔉 (u) → min in M.

Zur Lösung dieses Minimierungsproblems ist zu untersuchen, wie sich 𝔉 (u) ändert, wenn die Abbildung u variiert wird:

• Wähle Vektorfeld

φ ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) .

• Bilde Kurvenschar h (·, ε) mit Scharparameter ε ∈ ]−ε_{0}, ε_{0}[ , ε_{0} > 0 und

mit

h (x, ε) ; = u (x) + εφ (x) , x ∈ I, |ε| < ε_{0}.

Die Kurve u ist in die Kurvenschar h eingebettet.

• Betrachte Funktion

Φ : ]−ε_{0}, ε_{0}[ → ℝ definiert als Φ (ε) := 𝔉 (u + εφ) .

• Bilde Ableitung an Stelle ε = 0

Φ̇ (0) = \frac{d}{dε}𝔉 (u + εφ) |_{ε=0}.

Definition 5.1 (Erste Variation)

Als erste Variation von 𝔉 an der Stelle u in Richtung φ wird der Ausdruck

δ𝔉 (u, φ) := Φ̇ (0)

bezeichnet.

Bemerkung

δ𝔉 (u, φ) ist für Variationsintegral 𝔉 : M → ℝ das Analogon zur Richtungsableitung der Funktion f : Ω → ℝ

\frac{∂}{∂a}f (x_{0}) = \frac{d}{dε}f (x_{0} + εa) = ∇f (x_{0}) a.

Die Einschränkung a ∈ S^{n−1} ist irrelevant, da ∇f (x_{0}) a linear in a ist.

Weiterhin gilt

Φ̇ (ε) = ∫_{a}^{b} \frac{d}{dε}F (x, u (x) + εφ (x) , u′ (x) + εφ′ (x)) dx.

Betrachtet man die Lagrange-Funktion in der Form F (x, z, p) mit x ∈ ℝ, z ∈ ℝ^{n}, p ∈ ℝ^{n}, dann ergibt sich nach der Kettenregel \frac{d}{dε}F (x, u (x) + εφ (x) , u′ (x) + εφ′ (x)) dx

= F_{z} (x, u (x) + εφ (x) , u′ (x) + εφ′ (x)) φ (x)
+ F_{p} (x, u (x) + εφ (x) , u′ (x) + εφ′ (x)) φ′ (x) .

Damit wird

δ𝔉 (u, φ) = ∫_{a}^{b} (F_{z} (x, u (x) , u′ (x)) φ (x) + F_{p} (x, u (x) , u′ (x)) φ′ (x)) dx

bzw. in Koordinatenschreibweise

δ𝔉 (u, φ) = ∫_{a}^{b} ∑_{j=1}^{n} (F_{z_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) φ_{j} (x) + F_{p_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) φ′_{j} (x)) dx

Lemma 5.1 Sei F ∈ C^{1} (U) , F_{p} ∈ C^{1} (u, ℝ^{n}). Dann läßt sich die erste Variation

δ𝔉 (u, φ) , ∀u ∈ C^{2} (I, ℝ^{n})

schreiben als

δ𝔉 (u, φ) = ∫_{a}^{b} ∑_{j=1}^{n} (F_{z_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) − \frac{d}{dx}F_{p_{j}} (x, u (x) , u′ (x))) φ_{j} (x) dx

+ ∑_{j=1}^{n} F_{p_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) φ_{j} (x)|_{x=a}^{x=b} .

Definition 5.2 (Funktionenklasse)

Mit C_{c}^{1} (I^{o}, ℝ^{n}) wird die Klasse der Funktionen φ ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}), die «nahe am Rand von I verschwinden», bezeichnet. Ist also φ ∈ C_{c}^{1} (I^{o}, ℝ^{n}) und

I = [a, b], so gibt es Zahlen α, β mit a < α < β < b, sodaß
φ (x) = 0, ∀x ∉ ]α, β[ .

Satz 5.2 (Fundamentalsatz der Variationsrechnung)

Sei f ∈ C^{0} (I, ℝ^{n}) , I = [a, b]. Dann gilt

∫_{a}^{b} f (x) φ (x) dx = 0 ∀φ ∈ C_{c}^{1} (I^{o}, ℝ^{n}) ⇒ f (x) = 0 ∀x ∈ I.

Beweis Literatur Satz 5.3 (System der Euler-Lagrange-Gleichungen auf I)

Sei F, F_{p_{1}}, …, F_{p_{n}} ∈ C^{1} (U) , u ∈ C^{2} (I, ℝ^{n}).

1. Dann gilt

δ𝔉 (u, φ) = 0, ∀φ ∈ C_{c}^{1} (I^{o}, ℝ^{n})
⇒ \frac{d}{dx}F_{p_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) = F_{z_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) , i ≤ j ≤ n.

2. Dann gilt

δ𝔉 (u, φ) = 0, ∀φ ∈ C^{1} (I, ℝ^{n})
⇒ \frac{d}{dx}F_{p_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) = F_{z_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) , i ≤ j ≤ n.

und zusätzlich die sog. «natürlichen Randbedingungen» für x = a, b

F_{p_{j}} (x, u (x) , u′ (x)) = 0, 1 ≤ j ≤ n.

Definition 5.3 (Eulersches Vektorfeld. Eulerscher Operator)

L_{F} (u) : I → ℝ^{n} mit

L_{F} (u) := F_{z} (·, u, u′) − \frac{d}{dx}F_{p} (·, u, u′)

heißt Eulersches Vektorfeld oder Eulerscher Operator.

Anwendung in der Physik Variationelle Ableitung von 𝔉 nach u:

\frac{δ𝔉}{δu} (u) = L_{F} (u) .

Mit Lemma 5.1 wird

δ𝔉 (u, φ) = ∫_{a}^{b} \frac{δ𝔉}{δu} (u) φdx ∀φ ∈ C_{c}^{1} (I, ℝ^{n})
= ⟨\frac{δ𝔉}{δu} (u) , φ⟩

bei Auffassung des Integrals als Skalarprodukt im Funktionenraum. Dies erklärt die Analogie zur Richtungsableitung

\frac{∂}{∂a}f (x_{0}) = ∇f (x_{0}) a.

Abkürzungen für Euler-Lagrange-Gleichungssystem von n gewöhnlichen DGL 2.Ordnung für u :

L_{F} (u) = 0 bw. \frac{δ𝔉}{δu} (u) = 0

Definition 5.4 (Extremale)

Jede Lösung u ∈ C (I, ℝ^{n}) der Euler-Lagrange-Gleichung L_{F} mit

L_{F} = 0

heißt Extremale von F oder F -Extremale. Definition 5.5 (Lagrange-Funktion)

F (x, y, p) mit F, F_{p} ∈ C^{1} heißt Null-Lagrangesche, wenn jede Abbildung u : I → ℝ^{n} ∈ C^{2} eine F -Extremale ist, d.h. L_{F} (u) = 0.

Satz 5.4 Sei F (x, y, p) Null-Lagrangesche und h ∈ C^{2} mit h : [a, b] × [0, 1] → ℝ^{n} mit festen Endpunkten P und Q, d.h.

h (a, ε) ≡ P, h (b, ε) ≡ Q, ∀ε ∈ [0, 1] ,

dann gilt für das F zugeordnete Funktional

𝔉 (h (·, ε)) ≡ const., ∀ε ∈ [0, 1] .

Bemerkung Voraussetzungen sind abschwächbar

• F ∈ C^{1} für F (x, z, p) linear in p.

• h muß nur aus C^{1} sein.

Bemerkung Für jede Funktion S (x, z) ist die Lagrange-Funktion

G (x, z, p) := S_{x} (x, z) + S_{z} (x, z) p

eine Null-Lagrangesche. Bemerkung

Umeichen (umdefinieren) eines Variationsintegrals: Addieren einer Null-Lagrangeschen zum Integranden ändert die Extremale nicht.

Die Euler-Lagrange-DGL L_{F} (u) = 0 ist notwendige Bedingung dafür, daß ein u ∈ C^{2} ein lokales Minimum des Funktionals

𝔉 (u) := ∫_{I} F (x, u (x) , u′ (x)) dx, I = [a, b]

bei festen (wählbaren) oder freien (parametrisierbaren) Randbedingungen liefert. Setze voraus: F (x, z, p) , F_{p} (x, z, p) ∈ C^{1}, Sei M := {u ∈ C_{1} (I, U) | u (a) = P, u (b) = Q}, Satz 5.5

Sei u ∈ M lokaler Minimierer (entspr. Minimum) von 𝔉 in M. D.h. ∃r > 0, sodaß

𝔉 (u) ≤ 𝔉 (v) , ∀v ∈ M mit sup_{I} |u − v| < r
⇒ δ𝔉 (u, φ) = 0, ∀φ ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) mit φ (a) = φ (b) = 0.

Ist zudem u ∈ C^{2}, so ist u eine Extremale. Es gilt für a < x < b

F_{z} (x, u (x) , u′ (x)) − \frac{d}{dx}F_{p} (x, u (x) , u′ (x)) = 0.

Satz 5.6 Sei u ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) lokaler Minimierer von 𝔉 in C^{1} (I, ℝ^{n}).

D.h. ∃r > 0, sodaß
𝔉 (u) ≤ 𝔉 (v) , ∀v ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) mit sup_{I} |u − v| < r
⇒ δ𝔉 (u, φ) = 0, ∀φ ∈ C^{1} (I, ℝ^{n}) .
Ist zudem u ∈ C^{2} auf ]a, b[, so gelten

F_{z} (x, u (x) , u′ (x)) − \frac{d}{dx}F_{p} (x, u (x) , u′ (x)) = 0

und zusätzlich die natürlichen Randbedingungen für x = a, x = b

F_{p} (x, u (x) , u′ (x)) = 0.

Hamilton-Prinzip

Betrachte Funktional 𝔄 := ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L (x (t) , ẋ (t)) dt mit Lagrange-Funktion L (x, v) = T (x, v) − V (x), wobei

T (x, v) = \frac{1}{2} ⟨v, A (x) v⟩ = \frac{1}{2} ∑_{j,k=1}^{n} a_{jk} (x) v_{j}v_{k}

eine positiv definite quadratische Form in v = (v_{1}, …, v_{n}) ist mit Koeffizienten a_{jk} (x), die von x = (x_{1}, …, x_{n}) abhängen.

• A (x) positiv definit und symmetrisch

• T (x, v) kinetische Energie im Phasenraum, (x, v)-Raum

• V (x) potentielle Energie

• E (x, v) = T (x, v) + V (x) Gesamtenergie

Dies entspricht einem System von N Massenpunkten mit • Bewegung der Teilchen x (t) = (x_{1} (t) , …, x_{N} (t)) ∈ ℝ^{3N=n}

• Geschwindigkeit der Teilchen ẋ (t) = (ẋ_{1} (t) , …, ẋ_{N} (t)) ∈ ℝ^{3N=n}

Das Hamiltonsche Prinzip besagt:

Dem System von N Massenpunkten ist die Lagrange-Funktion L (x, v) zugeordnet mit

L (x, v) = \frac{1}{2} ⟨v, A (x) v⟩ − V (x) .

Interpretation

Unter allen denkbaren Bewegungen x (t) des Systems aus C^{1} sind die physikalisch möglichen daduch gekennzeichnet, daß sie das «Wirkintegral»

𝔄 (x) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} L (x, ẋ) dt

stationär machen, d.h.

δ𝔄 (x, φ) = 0

∀φ : [t_{1}, t_{2}] → ℝ^{n}, φ ∈ C^{1}, die nahe an t_{1}, t_{2} verschwinden.

Wegen L (x, v) = \frac{1}{2} ⟨v, A (x) v⟩ − V (x) gibt es sogar Lösungen aus C^{2}, d.h. die Euler-Lagrange-Form

\frac{d}{dt}L_{v} (x, ẋ) = L_{x} (x, ẋ) ⇔ \frac{d}{dt} [A (x) ẋ] = −V_{x} (x) .

Mit Kraftfeld K := −grad_{x}V = −V_{x} entspricht dies den Newtonschen Bewegungsgleichungen für ein konservatives Kraftfeld

A (x) ˆ=diag (m_{1}, …, m_{N})

mit m_{j}ẍ = K_{j} (x) , j = 1, …, N.

Mit der Euler-Beziehung (Vektorfeld) ergibt sich

vT_{v} (x, v) = 2T (x, v)

und mit

L_{v} = T_{v}

folgt

φ (x, v) := vL_{v} (x, v) − L (x, v) = T (x, v) + V (x) ,

d.h. φ ∼ Gesamtenergie längs jeder Extremalen (Lösung) x (t) des Funktionals 𝔄 konstant: Energieerhaltung.

Anwendung Legendre-Transformation, die durch L erzeugt wird:

Kanonische Impulse y zu einem Punkt x

y := L_{v} (x, v) = A (x) v.

Mit A (x) > 0 ⇒ ∃A^{−1} (x) =: B (x) ⇒ v = B (x) y. Die zugehörige Hamilton-Funktion H (x, y) mit x Ort und y Impuls ist

H (x, y) = [yv − L (x, v)]_{v=B(x)y}
= [vL_{v} (x, v) − L (x, v)]_{v=B(x)y}
= Φ (x, v) |_{v=B(x)y}
= [\frac{1}{2} ⟨v, A (x) v⟩ + V (x)]_{v=B(x)y}
= \frac{1}{2} ⟨y, B (x) y⟩ + V (x) ,

wobei sich die letzte Gleichung aus A symmetrisch, dh. A = A^{⊤}, B = B^{⊤} = A^{−1}, ergibt.

Fazit der Legendre-Transformation

mit y = A (x) v und v = B (x) y mit v Geschwindigkeit und y Impuls gilt L (x, v) + H (x, y) = yv

mit

LAGRANGE − Funktion  L (x, v) = \frac{1}{2} ⟨v, A (x) v⟩ − V (x)
HAMILTON − Funktion  H (x, y) = \frac{1}{2} ⟨y, B (x) y⟩ + V (x) .
(t, x, v) ⟷ (t, x, y)

\begin{aligned}ẋ & = & H_{y} (x, y) \\ ẏ & = & −H_{x} (x, y) \end{aligned} oder ( ẋ ; ẏ ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ∇H (x, y) .