Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 14

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 2. Februar 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 9. Februar 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 63: Zeige folgende Variante des Mittelwertsatzes der Integralrechnung: Sei a < b, sei f : [a, b] → ℝ stetig differenzierbar, monoton fallend und nichtnegativ und sei g : [a, b] → ℝ stetig. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b] mit

∫_{a}^{b} f(x)g(x)dx = f(a) ∫_{a}^{ξ} g(x)dx.

Hinweis: Partielle Integration, Zwischenwertsatz. (4 Punkte)

Aufgabe 64:

a) Zeige, daß das uneigentliche Integral

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}dx

existiert. In der Vorlesung wurde gezeigt, daß mit jeder Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] → ℝ auch |f| Riemann-integrierbar ist (Satz 5.8). Zeige anhand des Beispiels

∫_{0}^{∞} \frac{| sin x|}{x}dx,

daß dies für uneigentliche Integrale i.allg. nicht gilt.

b) Zeige, daß

∫_{−1}^{1} \frac{dx}{x}

nicht existiert. Zeige, daß jedoch für alle c ∈ ℝ^{+} der Grenzwert

lim_{ε↘0} (∫_{−1}^{−cε} \frac{dx}{x} + ∫_{ε}^{1} \frac{dx}{x})

existiert und berechne ihn. (4 Punkte) Bemerkung: Koppelt man also beide Grenzprozesse, so läßt sich (in manchen Fällen) Konvergenz erzielen, allerdings kann der Grenzwert wie gesehen vom Verhältnis c der Geschwindigkeiten abhängen. Im Fall c = 1 spricht man von einem Cauchyschen Hauptwert.

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.