Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 13

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 26. Januar 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 2. Februar 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 57: Zeige, daß für x ∈ ℝ^{n} gilt:

lim_{p→∞} ∥x∥_{p} = ∥x∥_{∞}.

(4 Punkte)

Aufgabe 58: Untersuche auf Integrierbarkeit und berechne ggf. das Integral über [0; 1]:

f(x) = \{ \begin{matrix}(min\{n ∈ ℕ : nx ∈ ℤ\})^{−1} & falls x ∈ ℚ \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(4 Punkte)

Aufgabe 59:

a) Sei a < b, sei f : [a; b] → ℝ stetig. Zeige:

(f ≥ 0 ∧ ∫_{a}^{b} f(x)dx = 0) ⇒ f = 0.

b) Gilt a) auch noch, wenn die Voraussetzung der Stetigkeit entfällt? (4 Punkte)

Aufgabe 60: Zeige, daß die Umkehrung von Satz 5.7 der Vorlesung gilt: Seien a, b ∈ ℝ mit a < b, sei f : [a, b] → ℝ beschränkt. Es gebe ein C ∈ ℝ, so daß zu jedem ε > 0 ein η > 0 existiert, so daß für jede Zerlegung a = x_{0} < x_{1} < … < x_{N} = b der Feinheit ≤ η und jede Wahl von Stützstellen ξ_{i} ∈ [x_{i−1}, x_{i}] gilt:

|C − ∑_{i=1}^{N}(x_{i} − x_{i−1})f(ξ_{i})| ≤ ε.

Dann ist f über [a, b] Riemann-integrierbar und hat das Integral C. (4 Punkte) Damit ist gezeigt, daß die Definition der Riemann-Integrierbarkeit mittels Ober- und Unterintegrale äquivalent ist zur Konvergenz der Riemannsummen im o.g. Sinn.

Aufgabe 61: Berechne folgende Integrale mit Hilfe der Ober- und Unterintegrale:

a)  ∫_{a}^{b} x^{3}dx  mit a < b,  (1 Punkt)

b)  ∫_{1}^{b} \frac{dx}{x}  mit b > 1.  (2 Punkte)

Hinweis zu b): Verwende eine Zerlegung der Form 1 = q^{0} < q^{1} < q^{2} < … < q^{N} = b.

Aufgabe 62: Berechne folgende Integrale mittels Partialbruchzerlegung:

a) ∫_{a}^{b} \frac{(x^{2} + 4)^{2} + x^{2} − 2x}{(x^{2} + 4)^{2}(x − 2)} dx

b) ∫_{a}^{b} \frac{x^{5} + x^{2} + 1}{x^{4} + x^{2}} dx

c) ∫_{a}^{b} \frac{1}{x^{4} + 1} dx

Berechne folgende Integrale mittels partieller Integration:

d) ∫_{0}^{π/2} sin^{n} x dx mit n ∈ ℕ

e) ∫_{a}^{b} x^{2}e^{x} dx

f) ∫_{a}^{b} ln |x| dx

g) ∫_{a}^{b} arctan x dx Berechne folgende Integrale mittels Substitution:

h) ∫_{a}^{b} x^{−3}e^{x^{−2}} dx

i) ∫_{a}^{b} \frac{x}{cos^{2} x} dx

j) ∫_{−r}^{r} \sqrt{r^{2} − x^{2}} dx Welchen Flächeninhalt hat ein Kreis mit Radius r? Wie müssen die Integrationsgrenzen a, b ∈ ℝ ggf. eingeschränkt werden? (10 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.