Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 11

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 12. Januar 2001 \underline{Abgabe:} Freitag, den 19. Januar 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 48: Berechne die Ableitungen folgender Funktionen f(x):

a) \sqrt{e^{sin^{\sqrt{x}}}}  d) \sqrt{e^{x^{4}+x^{2}+1}}  g) x^{x^{x}} = x^{(x^{x})}  h) (x^{x})^{x}
b) arcsin(cos 3x) sin x  e) 6x^{4}e^{8x−2}  i) (sin x)^{cos x}
c) ln(ln(ln x))−ln π  f) Arcosh x  j) \frac{\sqrt{cos x} ^{3} \sqrt{1 + arctan x}}{5x^{2} sin x cot^{2} x} auf (0; \frac{π}{2} )

(Manchmal ist die logarithmische Ableitung hilfreich.) (5 Punkte)

Aufgabe 49: Seien

f(x) = sin (\frac{1}{x}), g(x) = x sin (\frac{1}{x}), h(x) = x^{2} sin (\frac{1}{x}) für x ≠ 0, g(0) = h(0) = 0.

a) Zeige, daß f nicht stetig nach 0 fortsetzbar ist.

b) Zeige, daß g stetig in 0, aber nicht differenzierbar in 0 ist.

c) Zeige, daß h differenzierbar in 0, aber nicht stetig differenzierbar in 0 ist. (4 Punkte)

Aufgabe 50:

a) Sei f : ℝ → ℝ in x ∈ ℝ differenzierbar. Zeige, daß dann gilt:

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x − h)}{2h} = f′(x).

b) Zeige durch Angabe eines Gegenbeispiels, daß aus der Existenz des obigen Grenzwertes jedoch nicht folgt, daß f in x stetig ist (und erst recht nicht differenzierbar). (4 Punkte)

Aufgabe 51: Sei f : [0; 1] → [0; 1] stetig, f(0)=0, f(1)=1. Es gebe ein m ∈ ℕ, so daß

f^{m} := \underbrace{f ∘ f ∘ … ∘ f}_{m-mal} = id_{[0;1]}

ist. Zeige, daß dann f = id_{[0;1]} ist. (4 Punkte)

Aufgabe 52: Sei f : ℝ → ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, f habe eine Nullstelle, und es gelte f′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ℝ. Zu einem Startwert x_{0} ∈ ℝ sei die Folge (x_{i})_{i∈ℕ} rekursiv mit Hilfe des Newtonverfahrens bestimmt:

x_{i+1} := x_{i} − \frac{f(x_{i})}{f′(x_{i})}.

Zeige, daß das Newtonverfahren lokal quadratisch gegen eine Nullstelle von f konvergiert, d.h. falls der Startwert x_{0} nahe genug an einer Nullstelle ξ liegt, so konvergiert die Folge (x_{i})_{i∈ℕ} gegen ξ und

∃ c ∈ ℝ ∀i ∈ ℕ : |x_{i+1} − ξ| ≤ c|x_{i} − ξ|^{2}.

Hinweis: Taylorentwicklung von f um x_{i}. (4 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.