Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 9

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 15. Dezember 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 5. Januar 2001, 10:00-10:10

Aufgabe 38:

a) Zeige, daß eine Menge A ⊂ ℝ genau dann abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement ℝ\A offen ist. (2 Punkte)

b) Zeige, daß der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen offen und die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen offen ist. Formuliere und beweise entsprechende Aussagen für abgeschlossene und kompakte Mengen. (2 Punkte)

c) Zeige durch Gegenbeispiele, daß die Voraussetzung der Endlichkeit in allen drei Fällen erforderlich ist. (2 Punkte)

Aufgabe 39: Finde Funktionenfolgen (f_{n})_{n∈ℕ} und (g_{n})_{n∈ℕ}, die gleichmäßig gegen Funktionen f bzw. g konvergieren, d.h. f_{n} ⇉ f und g_{n} ⇉ g, für die aber nicht f_{n}g_{n} ⇉ fg gilt. (4 Punkte)

Aufgabe 40: Sei f : ℝ → ℝ eine Funktion. Untersuche die Folgen

f_{n}(x) := \frac{[nf(x)]}{n} und g_{n}(x) := f (\frac{[nx]}{n})

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz gegen f, falls

a) f beliebig ist,

b) f stetig ist und

c) f gleichmäßig stetig ist. (4 Punkte)

Aufgabe 41:

a) Untersuche die Funktionen

f_{n}(x) = \frac{|x|^{n}}{1 + |x|^{n}} und g_{n}(x) = \frac{nx}{1 + n|x|}

auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz und bestimme ggf. die Grenzfunktion. (2 Punkte)

b) Berechne die Normen ∥f_{n}∥_{ℝ} und ∥g_{n}∥_{ℝ}. (1 Punkt)

c) Bestimme den Definitionsbereich und untersuche auf stetige Fortsetzbarkeit:

f(x) = exp (\frac{−1}{x^{2}})

(1 Punkt)

Aufgabe 42: Wir sagen, daß eine Funktion f : ℝ → ℝ die Zwischenwerteigenschaft hat, falls es für alle a, b ∈ ℝ mit a ≤ b und y ∈ [min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b))] ein x ∈ [a, b] mit f(x) = y gibt. Zeige, daß jede monotone Funktion f : ℝ → ℝ, die die Zwischenwerteigenschaft besitzt, stetig ist. Gilt das auch für nichtmonotone Funktionen? (4 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.