Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 8

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 8. Dezember 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 15. Dezember 2000, 10:00-10:10

Aufgabe 33: Sei f : ℝ → ℝ stetig in 0, außerdem gelte

f(0) = 1 und f(x + y) ≤ f(x)f(y)

für alle x, y ∈ ℝ. Zeige, daß f stetig auf ℝ ist. (4 Punkte)

Aufgabe 34:

a) Skizziere und untersuche auf Stetigkeit:

f(x) = x − [x]
g(x) = (x − [x])(x − [x] − 1)
h(x) = (x − \frac{[x]}{2}) (x − \frac{[x] + 1}{2})

(3 Punkte)

b) Bestimme den Definitionsbereich und untersuche auf stetige Fortsetzbarkeit:

f(x) = \frac{7x^{4} + 12x^{3} − 4x^{2} + 4x + 8}{x^{3} + 3x + 14}

(1 Punkt)

Aufgabe 35: Zeige, daß f : ℝ → ℝ mit

f(x) = \{ \begin{matrix}(min\{n ∈ ℕ : nx ∈ ℤ\})^{−1} & falls x ∈ ℚ \\ 0 & sonst. \end{matrix}

stetig auf ℝ\ℚ und unstetig auf ℚ ist. (4 Punkte)

Aufgabe 36: Beweise Satz 3.8 der Vorlesung: Sei f : [a, b] → ℝ streng monoton und stetig. Dann existiert die Umkehrfunktion g : [f(a), f(b)] → ℝ bzw. g : [f(b), f(a)] → ℝ, und sie ist stetig. (3 Punkte)

Aufgabe 37:

a) Sei f : [a, b] → ℝ eine monotone Funktion. Zeige, daß die Menge der Unstetigkeitsstellen von f höchstens abzählbar unendlich ist. (4 Punkte)

b) Stimmt die Aussage auch für monotone Funktionen f : ℝ → ℝ? (2 Punkte) Hinweis: Falls f monoton wächst, betrachte die Mengen

U_{n} := \{x ∈ (a, b) : |inf_{s>x}\{f(s)\} − sup_{s<x}\{f(s)\}| ≥ \frac{1}{n}\} , n ∈ ℕ.

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.