Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 7

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 1. Dezember 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 8. Dezember 2000, 10:00-10:10

Aufgabe 29:

a) (Vertauschung von Grenzprozessen) Sei (a_{νμ})_{ν,μ∈ℕ} ein Tableau reeller Zahlen. Für jedes ν ∈ ℕ existiere der Grenzwert lim_{μ→∞} a_{νμ}, und die Reihen ∑_{ν=1}^{∞} a_{νμ} mögen gleichmäßig in μ konvergieren, d.h. zu jedem ε > 0 gebe es ein n_{0}, so daß für alle μ und n ≥ n_{0} gilt: | ∑_{ν=n}^{∞} a_{νμ}| < ε. (“Gleichmäßig in μ” bedeutet hier also, daß n_{0} unabhängig von μ ist.) Zeige, daß dann

lim_{μ→∞} ∑_{ν=1}^{∞} a_{νμ}  und  ∑_{ν=1}^{∞} lim_{μ→∞} a_{νμ}

existieren und gleich sind. (4 Punkte)

b) Bleibt die Aussage richtig, wenn die Reihen ∑_{ν=1}^{∞} a_{νμ} nur einzeln für sich konvergieren, aber nicht mehr gleichmäßig in μ? (Beweis bzw. Gegenbeispiel) (2 Punkte)

Aufgabe 30:

a) Zeige, daß der Konvergenzradius der Exponentialfunktion

exp(x) := ∑_{i=0}^{∞} \frac{x^{i}}{i!}

∞ ist, d.h. daß die Potenzreihe für jedes x ∈ ℝ konvergiert. (2 Punkte)

b) Zeige

exp(x) = lim_{j→∞} (1 + \frac{x}{j})^{j} .

(4 Punkte)

Hinweis: Binomischer Lehrsatz und Aufgabe 29.

Aufgabe 31:

a) Sei P (x) := ∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i} eine Potenzreihe. Zeige, daß der Konvergenzradius R von P gegeben ist durch

R = \frac{1}{lim sup_{i→∞} ^{i} \sqrt{|a_{i}|}}.

Wie ist dieser Ausdruck zu interpretieren, wenn der Limes superior die Werte 0 oder ∞ annimmt, und wie sieht dann das Konvergenzverhalten aus? (2 Punkte)

b) Zeige, daß der Konvergenzradius ebenfalls gegeben ist durch

R = \frac{1}{lim_{i→∞} |\frac{a_{i+1}}{a_{i}} |},

falls der Grenzwert existiert. (2 Punkte) Das erste Kriterium geht auf Augustin Louis Cauchy (1789-1857) und Jacques Hadamard (1865-1963) zurück, das zweite auf Leonhard Euler (1707-1783).

Aufgabe 32: (Konvergenzverbesserung) Sei ∑_{k=1}^{∞} a_{k} eine konvergente Reihe. In vielen Fällen läßt sich die Konvergenzgeschwindigkeit erhöhen, indem man stattdessen die Reihe ∑_{k=0}^{∞} b_{k} mit

b_{0} := \frac{1}{2}a_{1}, b_{k} := \frac{1}{2}(a_{k} + a_{k+1}) für k ≥ 1

betrachtet.

a) Zeige: Falls ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergiert, so auch ∑_{k=0}^{∞} b_{k}, und zwar gegen dieselbe Summe. (1 Punkt)

b) Betrachte die alternierende harmonische Reihe, d.h.

∑_{k=1}^{∞} a_{k} mit a_{k} = (−1)^{k+1} \frac{1}{k} .

Leite eine möglichst gute Abschätzung für die Absolutwerte der Restglieder

R_{n}^{a} := ∑_{k=n}^{∞} a_{k}, R_{n}^{b} := ∑_{k=n}^{∞} b_{k}

her. Was läßt sich daran im Hinblick auf die Konvergenzgeschwindigkeit der beiden Reihen ablesen? (3 Punkte)

Programmieraufgabe 2:

a) Aufgabe 30 bietet eine Darstellung der Exponentialfunktion als Folge, alternativ zur Definition mittels einer Potenzreihe. Berechne für verschiedene x ∈ ℝ die ersten 20 Partialsummen bzw. Folgenglieder und die Abweichungen vom Grenzwert exp(x) und stelle diese in Tabellenform dar. Was läßt sich über die Konvergenzgeschwindigkeit aussagen?

b) Stelle die Exponentialfunktion sowie einige Partialsummen und Folgenglieder in Abhängigkeit von x ∈ [−2; 2] graphisch dar.

c) Berechne die Summe der alternierenden harmonischen Reihe

∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k+1} \frac{1}{k} .

d) Führe Teilaufgabe a) sinngemäß für die beiden Reihen aus Aufgabe 32 b) durch. (10 Punkte)

Vorstellung der Lösungen: Zeit: In der Woche vom 11.12. bis 15.12.2000, genauer Termin nach Vereinbarung. Ort: CIP-Pool, Wegelerstr. 6, Zimmer 114. Die Bearbeitung erfolgt (wie gehabt) mit Maple oder einem anderen Computeralgebrasystem. Die Programmieraufgabe kann in Gruppen von bis zu drei Studenten bearbeitet und vorgestellt werden.

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.