Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 6

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 24. November 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 1. Dezember 2000, 10:00-10:15

Aufgabe 24:

a) (Riemannscher Umordnungssatz) Sei ∑_{i=1}^{∞} a_{i} eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe. Zeige, daß es zu jedem b ∈ ℝ eine Umordnung der Reihe gibt, die gegen b konvergiert, d.h. daß es eine bijektive Abbildung σ : ℕ → ℕ mit ∑_{i=1}^{∞} a_{σ(i)} = b gibt. (4 Punkte)

b) Zeige, daß es Umordnungen der Reihe gibt, die bestimmt gegen +∞ und −∞ divergieren. (1 Punkt)

c) Finde eine Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe, die bestimmt gegen +∞ divergiert. (1 Punkt)

Aufgabe 25: Entferne aus der harmonischen Reihe alle Summanden \frac{1}{n}, bei denen n die Ziffer 4 in der Dezimaldarstellung enthält. Zeige, daß die Reihe der restlichen Summanden konvergiert. (3 Punkte)

Aufgabe 26: Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz, absolute Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergenz. Berechne ggf. ihre Summe.

\begin{matrix}a) & ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2^{k}} & c) & ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} & e) & ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{\sqrt[k]{k}} \\ b) & ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{4k^{2} − 1} & d) & ∑_{k=0}^{∞} \frac{2^{3k+1}}{3^{3k+2}} \end{matrix}

(je 1 Punkt)

Aufgabe 27: Untersuche auf Konvergenz, absolute Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergenz:

a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}}  c) ∑_{k=1}^{∞} k^{α} für α < −1

b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1 − \frac{1}{k})^{k}}{k}  d) ∑_{k=1}^{∞} k^{α} für α ≥ −1

(je 1 Punkt)

Aufgabe 28: Finde eine absolut konvergente Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} mit

lim sup_{k→∞} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} = ∞.

Was bedeutet dies für das Quotientenkriterium? (2 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.