Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 5

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 17. November 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 24. November 2000, 10:00-10:15

Aufgabe 19: Zeige, daß das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge eine Nullfolge ist. (2 Punkte)

Aufgabe 20:

a) Beweise Satz 2.5 der Vorlesung: Seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} konvergente Folgen mit lim a_{n} = lim b_{n} = a. Sei (c_{n})_{n∈ℕ} eine weitere Folge, zu der es ein n_{0} ∈ ℕ mit a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ n_{0} gebe. Dann ist auch c_{n} konvergent, und es gilt lim c_{n} = a. (2 Punkte)

b) Beweise Satz 2.6 der Vorlesung: Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge. Es gebe Konstanten A, B ∈ ℝ mit A ≤ a_{n} ≤ B. Dann gilt A ≤ lim a_{n} ≤ B. (1 Punkt)

Aufgabe 21:

a) Zeige die Bernoullische Ungleichung: Für n ∈ ℕ und x ∈ ℝ mit x > −1 gilt

(1 + x)^{n} ≥ 1 + nx. (2 Punkte)

b) Zeige, daß

((1 + \frac{1}{n})^{n} | (1 + \frac{1}{n})^{n+1})_{n∈ℕ}

eine Intervallschachtelung ist. Dabei ist die Bernoullische Ungleichung hilfreich. (3 Punkte) Bemerkung: Die dadurch festgelegte reelle Zahl ist die Konstante e ≈ 2.718281828459.

Aufgabe 22: Setze

a_{0} := 1, a_{n+1} := \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1}.

a) Zeige, daß (a_{n})_{n∈ℕ} eine Cauchyfolge ist. (2 Punkte)

b) Zeige, daß der Grenzwert a := lim a_{n} die zugehörige Fixpunktgleichung erfüllt und bestimme seinen Wert. (2 Punkte)

Aufgabe 23: Sei M ⊂ ℝ beschränkt. Aufgrund der Vollständigkeit von ℝ besitzt M eine größte untere und eine kleinste obere Schranke (in ℝ, nicht notwendigerweise in M!), wir nennen sie Infimum und Supremum von M, i.Z. inf M und sup M. Für eine beschränkte Folge (a_{n})_{n∈ℕ} definieren wir den Limes inferior und den Limes superior vermöge

lim inf_{n→∞} a_{n} := lim_{n→∞}(inf {a_{i}|i ≥ n})

lim sup_{n→∞} a_{n} := lim_{n→∞}(sup {a_{i}|i ≥ n})

Anstelle von lim inf und lim sup schreibt man auch oft \underline{lim} und \overline{lim}.

a) Zeige, daß der Limes inferior und der Limes superior wohldefiniert sind, d.h. daß die Grenzwerte auf der rechten Seite existieren. (2 Punkte) b) Zeige, daß für eine beschränkte Folge (a_{n})_{n∈ℕ} und beliebiges ε > 0 gilt:

a_{m} < lim inf_{n→∞} a_{n} + ε für unendlich viele m,
a_{m} > lim inf_{n→∞} a_{n} − ε für fast alle m,
a_{m} > lim sup_{n→∞} a_{n} − ε für unendlich viele m,
a_{m} < lim sup_{n→∞} a_{n} + ε für fast alle m.

(2 Punkte)

c) Zeige, daß eine beschränkte Folge (a_{n})_{n∈ℕ} genau dann konvergiert, wenn gilt:

lim inf_{n→∞} a_{n} = lim sup_{n→∞} a_{n}.

(2 Punkte)

d) Zeige, daß für beschränkte Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} gilt:

\underline{lim} a_{n} + \underline{lim} b_{n} ≤ \underline{lim} (a_{n} + b_{n}) ≤ \underline{lim} a_{n} + \overline{lim} b_{n} ≤ \overline{lim} (a_{n} + b_{n}) ≤ \overline{lim} a_{n} + \overline{lim} b_{n}.

(2 Punkte)

e) Finde zwei beschränkte Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ}, für die alle Ungleichungen aus d) strikt sind, d.h. daß anstelle von ≤ sogar < gilt. (2 Punkte)

Hinweis: Läßt man die Symbole ±∞ zu, so lassen sich die Definitionen des Infimums, des Supremums, des Limes inferior und des Limes superior auch auf unbeschränkte Mengen bzw. Folgen ausdehnen.

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.