Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 4

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 10. November 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 17. November 2000, 10:00-10:15

Aufgabe 15: Sei K ein Körper. Auf K × K definieren wir Verknüpfungen

\begin{matrix}⊕ : (K × K) × (K × K) → K × K, & (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d), \\ ⊙ : (K × K) × (K × K) → K × K, & (a, b) ⊙ (c, d) := (ac − bd, ad + bc). \end{matrix}

a) Zeige, daß K × K mit diesen Verknüpfungen genau dann ein Körper ist, wenn gilt:

∀a, b ∈ K : a^{2} + b^{2} = 0 ⇒ (a = 0 ∧ b = 0).

Zeige, daß insbesondere ℝ × ℝ ein Körper ist; wir bezeichnen ihn als Körper der komplexen Zahlen ℂ und schreiben a + bi anstelle von (a, b). (4 Punkte)

b) Ergibt sich ein Körper für K = ℚ, K = ℂ, K = 𝔽_{2} bzw. K = 𝔽_{3}, wobei 𝔽_{p} = ℤ/pℤ den Primkörper der Charakteristik p bezeichnet (p prim)? (2 Punkte) Hinweis: Vgl. die Bemerkung von Aufgabe 1 auf Übungsblatt 3 der Linearen Algebra.

c) Zeige, daß ℂ nicht angeordnet weden kann. (2 Punkte)

d) Zeige, daß kein endlicher Körper angeordnet werden kann. (2 Punkte)

Aufgabe 16: Untersuche, ob die folgenden Folgen konvergent oder divergent sind. Falls konvergent, bestimme ihren Grenzwert. Falls divergent, untersuche, ob sie bestimmt divergent gegen ∞ sind.

\begin{matrix}a) & a_{n} := \frac{n^{2} − 1}{3n^{2} + 1} & c) & a_{n} := ^{n} \sqrt{n!} \\ b) & a_{n} := \frac{2\sqrt{n^{4} − 1}}{5n^{3} − \sqrt{n} + 99} & d) & a_{n} := \binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}} \end{matrix}

(je 1 Punkt)

Aufgabe 17: Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge mit Grenzwert a ∈ ℝ. Untersuche die Folge (b_{n})_{n∈ℕ} mit

b_{n} := \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} a_{i}

auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert. (3 Punkte)

Aufgabe 18: Seien a_{1}, b_{1} ∈ ℝ mit 0 ≤ a_{1} ≤ b_{1}. Betrachte die Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ}, wobei

a_{n+1} := \sqrt{a_{n}b_{n}}, b_{n+1} := \frac{1}{2}(a_{n} + b_{n}).

Zeige, daß beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. (3 Punkte)

Programmieraufgabe 1: Ein einfaches Modell zur Populationsentwicklung in einem biologischen System ist gegeben durch die Folge

p_{n+1} := kp_{n} \frac{1000 − p_{n}}{1000} ,

wobei p_{n} die Zahl der Individuen in der n-ten Generation beschreibt, als Startwert wird p_{0} festgelegt. k ist eine Konstante, die die Vermehrungsrate modelliert. Das Modell kann folgendermaßen interpretiert werden: Für kleine Populationen ist die Vermehrungsrate etwa proportional zur Population (p_{n+1} ≈ kp_{n}), bei hoher Population fühlen die Individuen sich nicht mehr so wohl und die Vermehrungsrate sinkt, was durch den zusätzlichen Faktor (1000 − p_{n})/1000 modelliert wird. Für große p_{n} ist die Population sogar rückläufig.

a) Implementiere dieses Modell in Maple.

b) Teste das Modell für verschiedene Startwerte p_{0} ∈ [0; 1000] und Konstanten k ∈ [1; 3]. Berechne mindestens 100 Schritte und stelle die Ergebnisse graphisch dar. Wie entwickelt sich die Population? Wie ist die Abhängigkeit der Ergebnisse von p_{0} und k?

b) Wie verhält sich das System für k ∈ [3; 3.4]?

c) Wie verhält sich das System für k ∈ [3.6; 4]? (Ein solches Verhalten ist bei Insektenpopulationen tatsächlich beobachtet worden.) (10 Punkte)

Vorstellung der Lösungen: Zeit: In der Woche vom 27.11. bis 1.12.2000, genauer Termin nach Vereinbarung. Ort: CIP-Pool, Wegelerstr. 6, Zimmer 114. Die Programmieraufgaben müssen einzeln bearbeitet und vorgestellt werden. Der Start von Maple im CIP-Pool erfolgt mit dem Kommando xmaple.

Einführung in Maple: Rüdiger Braun, Reinhold Meise: Analysis mit Maple. Verlag Vieweg, 1995.

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.