Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 3

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 3. November 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 10. November 2000, 10:00-10:15

Aufgabe 11: Sei g ∈ ℝ das Verhältnis des Goldenen Schnitts, d.h. g = h^{−1}, wobei h diejenige positive reelle Zahl mit

\frac{1}{h} = \frac{h}{1 − h}

ist. Zeige, daß g nicht rational ist: g ∉ ℚ. (4 Punkte)

Aufgabe 12: Sei p ∈ ℝ, p > 1. Zur iterativen Bestimmung von \sqrt{p} kann folgendes Verfahren benutzt werden:

x_{1} := p, x_{i+1} := \frac{1}{2}(\frac{p}{x_{i}} + x_{i})

a) Zeige, daß für i ∈ ℕ gilt:

\frac{p}{x_{i}} < \sqrt{p} < x_{i}

(2 Punkte)

b) Zeige, daß die Fehlerschranke aus a) sich in jedem Schritt mehr als halbiert, d.h. für i ∈ ℕ gilt

x_{i+1} − \frac{p}{x_{i+1}} < \frac{1}{2}(x_{i} − \frac{p}{x_{i}} ) (2 Punkte)

Aufgabe 13: Klassische Statistik: Auf n Zellen sollen k unterscheidbare Teilchen verteilt werden, wobei die i-te Zelle genau k_{i} Teilchen erhalten soll, ∑_{i=1}^{n} k_{i} = k. Die Anordnung innerhalb der Zellen werde nicht berücksichtigt. Zeige, daß es genau

\frac{k!}{∏_{i=1}^{n}(k_{i}!)}

verschiedene Verteilungen gibt. (4 Punkte)

Aufgabe 14: Zeige, daß für jedes n ∈ ℕ die Zahl

1 + 2^{2^{n}} + 2^{2^{n+1}}

durch 7 teilbar ist. (3 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.