Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 2

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 27. Oktober 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 3. November 2000, 10:00-10:15

Aufgabe 6: Beweise mit Hilfe vollständiger Induktion:

a)  ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i + 1)(i + 2)} = \frac{1}{4} − \frac{1}{2(n + 1)(n + 2)}  (2 Punkte)

b)  ∑_{i=1}^{2n}(−1)^{i+1} \frac{1}{i} = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{n + i}  (2 Punkte)

Aufgabe 7: In der Vorlesung wurde die Addition und Multiplikation zweier natürlicher Zahlen m und n definiert durch

\begin{aligned}(A1) & m + 1 & := & m′ & (M1) & m · 1 & := & m \\ (A2) & m + (n′) & := & (m + n)′ & (M2) & m · (n′) & := & (m · n) + m, \end{aligned}

wobei ′ : ℕ → ℕ die Nachfolgerabbildung der Peano-Axiome ist. Zeige, daß aus (A1), (A2), (M1) und (M2) für alle k, m, n ∈ ℕ folgt:

(A^{+}) (k + m) + n = k + (m + n)  Assoziativgesetz der Addition  (1 Punkt)
(K^{+}) m + n = n + m  Kommutativgesetz der Addition  (1 Punkt)
(D1) (k + m) · n = (k · n) + (m · n)  (1 Punkt)
(D2) k · (m + n) = (k · m) + (k · n) Distributivgesetz  (1 Punkt)
(A^{•}) (k · m) · n = k · (m · n)  Assoziativgesetz der Multiplikation  (1 Punkt)
(M^{•}) m · n = n · m  Kommutativgesetz der Multiplikation  (1 Punkt)

Aufgabe 8: Fermi-Statistik: Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen verteilt werden, wobei pro Zelle maximal ein Teilchen erlaubt ist. Zeige, daß es genau

\binom{n}{k}

verschiedene Verteilungen gibt. (4 Punkte)

Aufgabe 9: Bose-Einstein-Statistik: Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen verteilt werden, wobei beliebig viele Teilchen pro Zelle erlaubt sind. Zeige, daß es genau

\binom{n + k − 1}{k}

verschiedene Verteilungen gibt. (4 Punkte)

Aufgabe 10: Beweise: Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar. Hinweis: Verwende ein Diagonalverfahren. (4 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.