Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Abt. Wissenschaftliches Rechnen und Numerische Simulation Prof. Dr. M. Griebel, M. Arndt

Analysis I Wintersemester 2000/2001 Aufgabenblatt 1

\underline{Ausgabe:} Freitag, den 20. Oktober 2000 \underline{Abgabe:} Freitag, den 27. Oktober 2000, 10:00-10:15

Aufgabe 1:

a) Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c. (2 Punkte)

b) Berechne den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks, das maximal in den Einheitskreis einbeschrieben ist. (2 Punkte)

Aufgabe 2: Beweise mit Hilfe vollständiger Induktion:

a)  ∑_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}  (2 Punkte)

b)  ∑_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}  (2 Punkte)

Aufgabe 3: Bestimme

a)  ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}  b)  ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}\binom{n}{i}  (je 2 Punkte)

Aufgabe 4: Zeige, daß die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen das Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Ist jedes Quadrat einer natürlichen Zahl von dieser Form? (4 Punkte)

Aufgabe 5: \underline{Behauptung:} Alle Pferde haben dieselbe Farbe. \underline{Beweis:} Wir zeigen per Induktion, daß alle Pferde einer Menge von n Pferden dieselbe Farbe haben. Induktionsanfang (n = 1): Offensichtlich wahr. Induktionsschritt (n ⇝ n+1): Wir wählen aus der Gruppe von n+1 Pferden eine Gruppe von n Pferden aus, von denen jedes Pferd nach Induktionsannahme dieselbe Farbe hat. Dann wählen wir eine andere Gruppe von n Pferden aus, von denen ebenso jedes Pferd dieselbe Farbe hat. Dies muß dieselbe Farbe sein wie die der ersten Gruppe, also haben alle n + 1 Pferde dieselbe Farbe. □ Ist dieser Beweis korrekt? Wenn nein, wo liegt der Fehler? (3 Punkte)

Die Aufgabenblätter sind auch unter http://wissrech.iam.uni-bonn.de/lehre/Analysis1 WS00 verfügbar.