Analysis1

Prof. M. Griebel

Wintersemester 2000/2001

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlen 3

1.1 Die natürlichen Zahlen ℕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Zahldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Das Axiomensystem von Peano . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Operationen mit natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Ordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.6 Fakultät und Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Die ganzen Zahlen ℤ und die rationalen Zahlen ℚ . . . . . . . . . 8 1.2.1 Die ganzen Zahlen ℤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Die rationalen Zahlen ℚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Die reellen Zahlen ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Die Entdeckung der Existenz irrationaler Zahlen . . . . . 10 1.3.2 Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte . . . . . . 11 1.3.3 Axiomatik der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Folgen und Reihen 16 2.1 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Bestimmte Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Cauchy- Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Der Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Reihen und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.8 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.9 Rechnen mit Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.10 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Reelle Funktionen 36 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Funktionenfolgen und -reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6 Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Differentialrechnung 58 4.1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Extrema und Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Taylorpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Integralrechnung 72 5.1 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . 80 5.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.6 Weitere Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 86 5.7 Integation und Grenzübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Fourier-Reihen 89 6.1 Trigonometrische Polynome und Fourier-Reihen . . . . . . . . . 89 6.2 Der Satz von Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3 Konvergenz in der Hilbert-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4 Ausblick: Punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1 Zahlen

1.1 Die natürlichen Zahlen ℕ

1.1.1 Zahldarstellungen

Es gibt viele verschiedene Darstellungen natürlicher Zahlen. Jedoch sind nicht alle auch gleich gut zum Rechnen geeignet. Historisch sind vor allem folgende Zahldarstellungen von Bedeutung:

• Die Strichzahlen, bei denen die Anzahl der Striche der natürlichen Zahl entspricht, sind wenig nützlich zur Darstellung größerer Zahlen und zum Rechnen. Bsp: ||| entspricht der Zahl drei.

• Die antiken Römer verwendeten die Symbole I, V, X, L, C, D und M, um auch große Zahlen darstellen zu zu können. So bezeichnet z.B. MDCLXVII die gleiche Zahl wie 1667 im Dezimalsystem. Allerdings ist auch diese Zahldarstellung kaum zum Rechnen geeignet

• In Positionszahldarstellungen repräsentiert eine k- stellige Zahl, geschrieben als s_{k−1}s_{k−2} … s_{0}, die Summe ∑_{i=0}^{k−1} b^{i}, wobei b die Basis des Positionszahlsystems ist und die Faktoren s_{k−1}, s_{k−2}, … s_{0} aus einem Vorrat von b Ziffern sind. Von Mayas und Kelten wurde die Basis 20 verwendet; die Sumerer rechneten mit der Basis 60. Relikte dieser Konvention finden sich noch heute in der Zeit- und der Winkelmessung. Im alltäglichen Gebrauch ist heute die Basis 10 (Dezimalsystem) üblich; in der Informationstechnik werden vor allem die Basen 2 (Binärdarstellung) und 16 (Hexadezimaldarstellung) verwendet.

1.1.2 Das Axiomensystem von Peano

Definition 1.1 (Axiome der natürlichen Zahlen nach Peano^{1}). Sei ℕ eine Menge und n ↦ n′ eine Abbildung von ℕ auf sich mit den Eigenschaften

(1) Die Abbildung n ↦ n′ ist injektiv, d.h. n′ = m′ ⇒ n = m.

(2) Es gibt ein ausgezeichnetes Element 1 ∈ ℕ, für das gilt:

(2.1) n′ ≠ 1 ∀ n ∈ ℕ (2.2) (Axiom der vollständigen Induktion): Ist τ eine Teilmenge von ℕ mit

1Giuseppe Peano (1858-1932)

1 ∈ τ und

n ∈ τ ⇒ n′ ∈ τ,

so ist τ = ℕ.

Die Elemente einer solchen Menge ℕ heißen natürliche Zahlen. Die Zahl n′ ist der Nachfolger der Zahl n. Diese wiederum heißt Vorgänger von n′.

Bemerkung. Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist durch obiges Axiomensystem eindeutig bestimmt (bis auf Isomorphie).

1.1.3 Operationen mit natürlichen Zahlen

Die Addition natürlicher Zahlen ist eine Abbildung ℕ × ℕ → ℕ, definert durch

m + 1 = m′
m + (n′) = (m + n)′

Auch die Multiplikation natürlicher Zahlen ist eine Abbildung ℕ × ℕ → ℕ. Sie wird definiert durch

m · 1 = m
m · (n′) = m · n + m

Bemerkung. Aus diesen Definitionen lassen sich Rechengesetze ableiten (Übungsaufgabe 7):

• Das Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation: (k + m) + n = k + (m + n) und (km)n = k(mn) ∀ k, m, n ∈ ℕ

• Das Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation: m + n = n + m und mn = nm ∀ k, m, n ∈ ℕ

• Das Distributivgesetz: (k + m)n = kn + mn ∀ k, m, n ∈ ℕ

Definition 1.2. Sei n ∈ ℕ. Die Menge {m ∈ ℕ | m ≤ n} heißt n-ter Abschnitt von ℕ. Eine Menge heißt endlich, wenn sie leer ist oder sie sich bijektiv (umkehrbar eindeutig) auf einen Abschnitt von ℕ abbilden läßt. Jede nicht endliche Menge ist unendlich. Eine Menge, welche sich bijektiv auf die Menge ℕ der natürlichen Zahlen abbilden läßt, heißt abzählbar unendlich.

Cantor^{2} bemerkte, daß die These, ein Teil könne nicht so groß sein, wie das Ganze, für unendliche Mengen aufgegeben werden muß.

Dies illustriert Hilberts^{3} Hotel: In einem Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern seien alle Zimmer belegt. Kommt nun ein neuer Gast, so erhält er dennoch ein Zimmer; jeder der Gäste zieht ein Zimmer weiter und der neue Gast bekommt das erste. Bei k neuen Gästen zieht jeder Gast k Zimmer weiter und die neuen Gäste beziehen die ersten k Zimmer. Wollen abzählbar unendlich viele Gäste ein Zimmer in dem voll belegten Hotel, so zieht der Gast mit der Zimmernummer n in das 2n-te Zimmer und die neuen Gäste erhalten die Zimmer mit ungeraden Nummern.

Cantor stellte weiterhin fest, daß es Mengen gibt, die noch größer als ℕ sind. So ist zum Beispiel die Menge aller Teilmengen von ℕ überabzählbar.

1.1.4 Ordnungsrelation

Definition 1.3. Seien m, n ∈ ℕ. Hat die Gleichung m + x = n eine Lösung x ∈ ℕ, so heißt m kleiner als n: m < n. Es ist m ≤ n genau dann, wenn m < n oder m = n.

Eigenschaften dieser Ordnungsrelation sind

1. Für je zwei Zahlen m, n ∈ ℕ gilt genau eine der drei Relationen

m < n,  m = n oder  m > n

2. Aus m < n und n < k folgt m < k (Transitivität)

3. m < n ⇒ m + k < n + k

4. m < n ⇒ mk < nk

Satz 1.1 (Wohlordnung der natürlichen Zahlen). Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält ein kleinstes Element.

1.1.5 Vollständige Induktion

Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion folgt aus den Axiomen der natürlichen Zahlen.

2Georg Cantor (1845-1918)

3nach David Hilbert (1862-1943)

Satz 1.2 (Induktionsbeweis). Zu jedem n ∈ ℕ sei die Aussage A(n) gegeben. Alle Aussagen A(n) sind wahr, wenn gilt

(1) A(1) ist wahr. (Induktionsanfang)

(2) A(n + 1) ist wahr, falls A(n) wahr ist. (Induktionsschritt)

Beispiel.

1 + 2 + 3 + … + n = ∑_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2}

Beweis. Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung offenbar wahr. Induktionsschritt: Die Behauptung sei wahr für n, d.h. ∑_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}. Dann ist ∑_{i=1}^{n+1} i = ∑_{i=1}^{n} i + (n + 1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n + 1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.

Bemerkung. Gauß^{4} hatte als Kind die Idee, die Zahlen von 1 bis 100 folgendermaßen aufzusummieren: 1 + 2 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050. Beispiel. Für x ≠ 1 gilt:

1 + x + x^{2} + x^{3} + … + x^{n} = ∑_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x}

Beweis. Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung offenbar wahr. Induktionsschritt: Die Behauptung sei wahr für n. Dann gilt ∑_{i=0}^{n+1} x^{i} = ∑_{i=0}^{n} x^{i}+x^{n+1} = \frac{1−x^{n+1}}{1−x} +x^{n+1} = \frac{1−x^{n+1}+x^{n+1}−x^{n+2}}{1−x} = \frac{1−x^{n+2}}{1−x}.

Bemerkung. Das Prinzip der vollständigen Induktion läßt sich noch verallgemeinern. Die Aussage A(n) ist wahr für alle n ≥ n_{1}, falls A(n_{1}) wahr ist und A(n + 1) aus A(n) für alle n ≥ n_{1} folgt.

Definition 1.4 (Rekursion). Eine Abbildung f : ℕ → X ist rekursiv definiert durch

(1) Angabe von f(1)

(2) Eine Vorschrift, die es erlaubt, f(n + 1) aus f(1), f(2), … f(n) zu gewinnen.

Beispiel. Die n-te Potenz m^{n} einer Zahl m wird definiert durch

(1) m^{1} = m

(2) m^{n+1} = m · m^{n}

Analog zu diesem Beispiel kann die Multiplikation auf die Addition und diese wiederum auf die Nachfolgeoperation n ↦ n′ zurückgeführt werden.

4Carl Friedrich Gauß (1777-1855)

1.1.6 Fakultät und Binomialkoeffizient

Definition 1.5. Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist n! := 1 · 2 · 3 … n. Die rekursive Definition lautet 1! := 1, (n + 1)! = (n + 1)n!

Bemerkung. Die Definition der Fakultät wird erweitert auf 0 durch 0! := 1.

Definition 1.6. Seien k, n ∈ ℕ. Der Binomialkoeffizient \binom{n}{k} ist

\binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n − k)!} = \frac{(n − k + 1) · (n − k + 2) · . . . · n}{k!}

Satz 1.3. Die Anzahl aller möglichen Anordnungen von n paarweise verschiedenen Elementen ist n!.

Beispiel. Die Zahlen 1, 2 lassen sich auf 2! = 2 Arten anordnen: (1, 2) und (2, 1). Die Zahlen 1, 2, 3 lassen sich auf 3! = 6 Arten anordnen: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Satz 1.4. Die Anzahl der k- elementigen Teilmengen einer nichtleeren Menge mit n Elementen ist \binom{n}{k}.

Beweis: Übungsaufgabe 8. Beispiel. Im Lotto ”6 aus 49“ sind \binom{49}{6} = 13983816 verschiedene Tipps möglich.

Satz 1.5 (Binomialentwicklung). Für alle n ∈ ℕ gilt

(1 + x)^{n} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x + \binom{n}{2}x^{2} + … + \binom{n}{n}x^{n} = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}

Bemerkung. Es gilt

\binom{n}{k} = \binom{n}{n − k}

sowie die Rekursionsformel

\binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}

Beweis der Rekursionsformel. \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \frac{n(n−1)···(n−k+1)}{k!} + \frac{n(n−1)···(n−k)}{k!(k+1)} = \frac{(k+1+n−k)n(n−1)···(n−k+1)}{(k+1)!} = \frac{(n+1)n···(n−k+1)}{(k+1)!} = \binom{n+1}{k+1} Die Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten veranschaulicht das Pascalsche Dreieck^{5}. Dabei ist die (k + 1)-te Zahl der (n + 1)-ten Zeile der Wert des Binomialkoeffizienten \binom{n}{k}. Gemäß der Rekursionsformel ergibt sich jede Zahl im Inneren als Summe der beiden jeweils darüberstehenden.

1 1 1

1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1

⋮

1.2 Die ganzen Zahlen ℤ und die rationalen Zahlen ℚ

1.2.1 Die ganzen Zahlen ℤ

Man betrachte die Menge ℕ × ℕ aller Paare natürlicher Zahlen und definiere auf dieser eine Äquivalenzrelation ∼ derart, daß

(a, b)∼(c, d)  ⇔  a + d = b + c.

Definition 1.7. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen ganze Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit ℤ bezeichnet. Für die ganze Zahl [(a, b)] schreibt man a − b. Die Zahl [a, a] wird mit 0 bezeichnet. Anstelle von 0 − a schreibt man auch −a.

Die Operationen mit natürlichen Zahlen lassen sich auf die ganze Zahlen erweitern. Auch die Ordnungsrelation läßt sich übertragen. Zusätzlich ist die Subtraktion, Umkehroperation der Addition, stets erklärt: Für m, n ∈ ℤ hat die Gleichung m + x = n stets eine Lösung x ∈ ℤ.

Satz 1.6. Sind a, b ∈ ℤ, so auch a + b und a · b.

Satz 1.7. Die Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar.

Beweisidee. Die Abbildung f : ℕ → ℤ mitf(n) = \{ \begin{matrix}\frac{n}{2} & für n gerade \\ \frac{1−n}{2} & für n ungerade \end{matrix}

ist eine Bijektion von ℕ auf ℤ, womit beide Mengen gleichmächtig sind.

Bemerkung. Obgleich ℕ und ℤ gleichmächtig sind, ist die Menge der natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.

5untersucht von Blaise Pascal (1623-1662)

1.2.2 Die rationalen Zahlen ℚ

Man betrachte nun die Äquivalenzrelation ∼ auf ℤ × ℤ\{0} mit (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc. Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind die rationalen Zahlen. Das Paar (a, b) ∈ ℤ × ℤ\\{0\} wird geschrieben als Bruch \frac{a}{b}. Statt \frac{a}{1} schreibt man a. Um eine rationale Zahl eindeutig als Bruch darstellen zu können, wird der Repräsentant der Klasse, bei dem Zähler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner positiv ist, für die Darstellung verwendet. Die rationalen Zahlen sind abgeschlossen unter den 4 Grundoperationen, die in bekannter Weise erklärt werden.

Satz 1.8. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar.

Beweis. Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der rationalen Zahlen, daher ist ℚ mindestens so mächtig, wie ℕ. Für die umgekehrte Relation konstruiere man ein Abzählverfahren, welches jeder rationalen Zahl eine natürliche zuordnet. Dazu betrachte man die folgende Tabelle aller positiven Brüche:

\frac{1}{1}  \frac{2}{1} → \frac{3}{1}  \frac{4}{1} ⋯
↓ ↗  ↙  ↗
\frac{1}{2}  \frac{2}{2}  \frac{3}{2}
↙  ↗
\frac{1}{3}  \frac{2}{3}
↓ ↗

\frac{1}{4}

⋮ Alle Brüche einer Zeile haben den gleichen Nenner; Brüche dersselben Spalte haben den gleichen Zähler. Die Tabelle wird in skizzierter Reihenfolge durchlaufen, wobei die Brüche, deren Zähler und Nenner teilerfremd sind, in dieser Reihenfolge aufgeschrieben werden: (1, \frac{1}{2}, 2, 3, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, 4, …). Damit erhält man eine Bijektion h : ℕ → ℚ^{+}. Setzt man g(n) = h(n), sowie g(−n) = −h(n) für n ∈ ℕ und g(0) = 0, dann ist g : ℤ → ℚ auch eine bijektive Abbildung. ℤ ist abzählbar, d.h. es gibt eine Bijektion f : ℕ → ℤ. Somit ist g ∘ f : ℕ → ℚ eine Abzählung von ℚ.

1.3 Die reellen Zahlen ℝ

1.3.1 Die Entdeckung der Existenz irrationaler Zahlen

Die Pythagoräer waren der Ansicht, alle Größen ließen sich in ganzen Zahlen ausdrücken; bis einer ihrer Schüler, Hippasus von Metapont, im 5. Jhd. v. Chr. inkommensurable Strecken, d.h. solche ohne gemeinsames Maß, im Ordenssymbol der Pytagoräer, dem Pentagramm, entdeckte. Eine Strecke wird gemessen, indem man ein Maß der Länge e n-mal auf die Strecke legt, die dann n · e lang ist. Zwei Strecken a und b haben dann ein gemeinsames Maß e, wenn es natürliche m und n gibt, sodaß a = me und b = ne, also \frac{m}{n} rational ist. Ein gemeinsames Maß zweier kommensurabler Strecken a und b läßt sich mit dem Euklidischen Algorithmus^{6} finden: Die kleinere Strecke b wird sooft wie möglich auf a abgetragen; dabei bleibt ein Rest r, d.h. a = b · q + r mit r < b für ein q ∈ ℕ. Nun wird das Verfahren mit b und r fortgesetzt, d.h. r wird auf b abgetragen, wobei wieder ein Rest \overline{r} bleiben kann. Sind a und b kommensurabel, so muß das Verfahren in endlich vielen Schritten zum Ende kommen. Der letzte Rest ungleich 0 ist dann das größte gemeinsame Maß.

Im regulären Fünfeck (siehe Figur) beträgt der Zentriwinkel über einer Seite \frac{360^{∘}}{5} = 72^{∘}. Dementsprechend sind die Innenwinkel 180^{∘} − 72^{∘} = 108^{∘}. Der obere Peripheriewinkel über einer Sehne ist halb so groß wie der Zentriwinkel über der gleichen Sehne; daher ist z.B. ^{}A̸DB = \frac{1}{2}72^{∘} = 36^{∘}, ^{}B̸DC = 36^{∘} und ^{}E̸CD = 36^{∘}. Somit gilt ^{}D̸JC = 180^{∘} − 3 · 36^{∘} = 72^{∘} = ^{}A̸DC, d.h. △DJC ist gleichschenklig, also |\overline{CJ}| = a_{1}, wenn a_{1} die Länge einer Seite ist. Analoges gilt für entsprechende Strecken, die von anderen Ecken des regulären Fünfecks ausgehen. Sei a_{0} die Länge der Diagonalen. Damit wird |\overline{EJ}| = a_{0} − a_{1} := a_{2}. Es ist ^{}E̸JD = 180^{∘} −^{}D̸JC = 108^{∘}, d.h. △DEJ und △ECD sind beide gleichschenklig, wobei die beiden gleichlangen Seiten einen Winkel von 108^{∘} einschließen. Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich, woraus \frac{|\overline{EC}|}{|\overline{ED}|} = \frac{|\overline{ED}|}{|\overline{EJ}|}, also \frac{a_{0}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{1}−a_{0}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} folgt. Die Schnittpunkte der Diagonalen bilden nun wieder ein reguläres Fünfeck (F GHJK), welches die Seitenlänge |\overline{KJ}| = a_{0} − 2a_{2} = a_{1} − a_{2} := a_{3} hat. Wegen \frac{|\overline{EH}|}{|\overline{EC}|} = \frac{|\overline{EF} |}{|\overline{EB}|} = \frac{a_{1}}{a_{0}} ist \overline{HF} parallel zu \overline{BC}, woraus mit dem Strahlensatz \frac{a_{0}}{a_{1}} = \frac{|\overline{EC}|}{|\overline{CB}|} = \frac{|\overline{EH}|}{|\overline{HF} |} = \frac{a1}{|\overline{HF} |} folgt. Die Länge |\overline{HF} | der Diagonalen des kleinen Fünfeck ist damit \frac{a_{1}}{a_{0}} a_{1} = \frac{a_{2}}{a_{1}} a_{1} = a_{2}. Alle regulären Fünfecke sind ähnlich zueinander; insbesondere ist das Verhältnis von Diagonalen- und Seitenlänge stets gleich. Für die betrachteten Fünfecke ABCDE und F GHJK bedeutet dies \frac{a_{0}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{3}} . Auf F GHJK und das durch seine Diagonalenschnittpunkte entstehende regelmäßige Fünfeck lassen sich obige Überlegungen ebenfalls anwenden. Allgemein gilt also: Sind a_{0}, a_{1} die Diagonalen- bzw. Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks und a_{i+2} = a_{i} − a_{i+1} für i = 0, 1, 2, …, so sind alle Verhältnisse \frac{a_{i+1}}{a_{i}} gleich: \frac{a_{0}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{3}} = … Wendet man den Euklidischen Algorithmus auf a_{0} und a_{1} and, so erhält man mit a_{0} > a_{1} und a_{0} < 2a_{1} (Dreiecksungleichung für △ECD): a_{0} = 1 · a_{1} + (a_{0} − a_{1}) = a_{1} + a_{2} a_{1} = 1 · a_{2} + (a_{1} − a_{2}) = a_{2} + a_{3} … Das Verfahren endet nicht, da alle \frac{a_{i+1}}{a_{i}} gleich und demzufolge alle Reste a_{i} ≠ 0 sind. Diagonale und Seite eines regelmäßigen Fünfecks sind somit inkommensurabel. Ihr Verhältnis \frac{a_{0}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{1}−a_{0}} ist als ”Goldener Schnitt“ bekannt.

6nach Euklid von Alexandria (ca. 325 v.Chr. - ca. 265 v.Chr.)

1.3.2 Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte

Eine weitere nicht rationale Zahl ist \sqrt{2}. Sie existiert, da sie die Länge der Diagonalen eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge 1 darstellt.

Beweis, daß \sqrt{2} irrational. Man nehme an, \sqrt{2} sei rational. Dann hat hat sie eine Darstellung als \frac{p}{q} mit p, q ∈ ℕ, wobei o.B.d.A. p und q als teilerfremd angenommen werden können. ⇒ 2q^{2} = p^{2}. Somit ist p^{2} und folglich auch p durch 2 teilbar, d.h. p = 2r für ein r ∈ ℕ. ⇒ q^{2} = 2r^{2}, womit auch q^{2} durch 2 teilbar ist, was jedoch der Teilerfremdheit von p und q widerspricht.

Dieses Beispiel zeigt nochmals, daß es Zahlen gibt, die nicht in ℚ liegen; die rationalen Zahlen sind nicht vollständig. Dennoch läßt sich bemerken: Bemerkung. Die rationalen Zahlen liegen dicht, d.h. zu je zwei Zahlen a, b ∈ ℚ mit a < b gibt es stets eine Zahl c ∈ ℚ, sodaß a < c < b. Zum Beispiel ist c = \frac{a+b}{2} eine solche. Durch Vervollständigung mittels Dedekindscher Schnitte soll nun eine erweiterte Menge von Zahlen konstruiert werden.

Definition 1.8. Sei M eine Menge mit Ordnungsrelation. Ein Paar (α, β) von Teilmengen heißt Dedekindscher Schnitt^{7} in M, wenn gilt:

(1) Jedes Element von M gehört einer der beiden Teilmengen an.

(2) Keine der beiden Teilmengen ist leer.

(3) Wenn a ∈ α, b ∈ β, so ist a < b.

(4) β besitzt kein kleinstes Element.

α heißt Untermenge; β heißt Obermenge.

Definition 1.9. Ein Dedekindscher Schnitt in ℚ heißt reelle Zahl. Die Menge aller Dedekindschen Schnitte in ℚ ist ℝ.

Bemerkung. Jeder Schnitt (α, β) ist durch eine der beiden Teilmengen eindeutig bestimmt. Im folgenden kann er daher ohne Einschränkung mit der Obermenge β identifiziert werden. Bemerkung. Die Menge ℚ der rationalen Zahlen ist in ℝ enthalten. Der rationalen Zahl s entspricht der Schnitt mit der Obermenge {r ∈ ℚ : r > s} und der Untermenge {r ∈ ℚ : r ≤ s}. Ein Schnitt ist genau dann rational, wenn die Untermenge ein größtes Element besitzt. Nicht alle Schnitte sind rational. Beispiel. \sqrt{2} entspricht dem Schnitt mit der Obermenge β = {r ∈ ℚ : r^{2} > 2 ∧ r > 0}. Dies ist ein Dedekindscher Schnitt in ℚ, denn die Eigenschaften (1) − (3) aus Definition 1.8 sind offensichtlich erfüllt und für den Nachweis von (4) läßt sich folgende Überlegung anstellen: Sei r ∈ β. Dann ist s := \frac{2r+2}{r+2} > 0. Außerdem gilt s^{2} − 2 = 2\frac{2(r+1)^{2}}{(r+2)^{2}} − 2 = 2\frac{r^{2}−2}{(r+2)^{2}} > 0, da r^{2} > 2 ist; damit folgt s^{2} > 2. Schließlich ist r − s = \frac{r^{2}+2r−2r−2}{r+2} = \frac{r^{2}−2}{r+2} > 0 und folglich r > s.

7nach Richard Dedekind (1831-1916)

Somit gibt es zu jedem r ∈ β noch ein s ∈ β, das kleiner ist als r; β hat kein kleinstes Element. Bemerkung. Die in ℚ definierten Operationen +, · und deren Umkehrungen, sowie die Ordnungsrelation lassen sich auf ℝ übertragen. Es gelten die gleichen Rechengesetze. Bemerkung. ℝ ist vollständig im Gegensatz zu ℚ. Die Untermenge eines Dedekindschen Schnittes in ℝ besitzt stets ein größtes Element. Wird also der Vervollständigungsprozeß auf ℝ angewant, so liefert er wieder ℝ. Bemerkung. Die konstruktive Definition von ℝ ist auch möglich mittels

• Intervallschachtelung

• Fundamentalfolgen (Cauchy- Folgen)

• Prinzip der oberen Grenze

• Dezimalbruchentwicklung

Satz 1.9. Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar.

Beweis. ( Cantorsches Diagonalverfahren). Man nehme an, ℝ sei abzählbar. Dann ist auch das Intervall (0, 1) abzählbar, d.h. es existiert eine Folge x_{1}, x_{2}, x_{3}, … reeller Zahlen, sodaß (0, 1) = {x_{n} | n ∈ ℕ}. Zu jeder Zahl x_{n} betrachte man eine Darstellung dieser als Dezimalbruch 0, a_{n1}a_{n2}a_{n3}a_{n4} …

x_{1} = 0, ā_{11} a_{12}a_{13}a_{14} …

x_{2} = 0, a_{21} ā_{22} a_{23}a_{24} …

x_{3} = 0, a_{31}a_{32} ā_{33} a_{34} …

x_{4} = 0, a_{41}a_{42}a_{43} ā_{44} …

⋮ Nun definiere man eine Zahl c ∈ (0, 1) mit der Dezimalbruchdarstellung

0, c_{1}c_{2}c_{3} … so, daß c_{k} = \{ \begin{matrix}4 & falls a_{kk} = 5 \\ 5 & falls a_{kk} ≠ 5 \end{matrix}

Dann ist c ≠ x_{n} ∀ n ∈ ℕ, denn: c und x_{n} unterscheiden sich in mindestens einer Dezimalstelle, d.h. ∃ k ∈ ℕ : c_{k} ≠ a_{nk}. Sei k der kleinste Index mit dieser Eigenschaft. Mit der verallgemeinerten Dreiecksungleichung für unendliche Reihen, die in Abschnitt 2.8 hergeleitet werden soll, und dem Grenzwert der geometrischen Reihe aus 2.7 ist |c − x_{n}| = |∑_{j=k}^{∞} 10^{−j}(c_{j} − a_{nj})| ≥ 10^{−k}|c_{k} − a_{nk}| − |∑_{j=k+1}^{∞} 10^{−j}(c_{j} − a_{nj})| ≥ 10^{−k} − ∑_{j=k+1}^{∞} 10^{−j}|c_{j} − a_{nj}| ≥ 10^{−k} − 5 ∑_{j=k+1}^{∞} 10^{−j} = \frac{4}{9}10^{−k} > 0 Somit kommt c in obiger Aufzählung nicht vor. Folglich ist das Intervall (0, 1) und mithin ganz ℝ nicht abzählbar.

Bemerkung. Die Darstellung einer Zahl als Dezimalbruch ist im allgemeinen nicht eindeutig. So ist z.B. 0.7 = 0.6999 … Bemerkung. Jedes nichtleere Intervall (a, b) von ℝ ist überabzählbar, denn x ↦ \frac{x−a}{b−a} bildet (a, b) bijektiv auf (0, 1) ab, womit beide Mengen gleichmächtig sind.

Lemma 1.10. ℝ\ℚ ist nicht abzählbar.

Beweis. ℝ = ℝ\ℚ ∪ ℚ. Wäre also ℝ\ℚ abzählbar, dann wäre ℝ die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen und somit selber abzählbar, was nicht der Fall ist.

1.3.3 Axiomatik der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen werden charakterisiert durch

• die Körperaxiome,

• die Anordnungsaxiome

• und das Vollständigkeitsaxiom

Definition 1.10. Eine Menge M bildet zusammen mit zwei Operationen ”+“ und ”·“ einen Körper, wenn für alle a, b, c ∈ M gilt:

(A1) (a + b) + c = a + (b + c)  (Assoziativgesetz der Addition)
(A2) a + b = b + a  (Kommutativgesetz der Addition)
(A3) ∃ 0 ∈ M : a + 0 = a  (Existenz der Null)
(A4) ∀ a ∈ M ∃ (−a) ∈ M : a + (−a) = 0 (Existenz des additiv Inversen)
(M1) (a · b) · c = a · (b · c)  (Assoziativgesetz der Multiplikation)
(M2) a · b = b · a  (Kommutativgesetz der Multiplikation)
(M3) ∃ 1 ∈ M : a · 1 = a  (Existenz der Eins)
(M4) ∀ a ∈ M ∃ (a^{−1}) ∈ M : a · (a^{−1}) = 1 (Existenz des multiplikativ Inversen)
(D) (a + b) · c = a · c + b · c  (Distributivgesetz)

Bemerkung. Sowohl ℚ als auch ℝ sind Körper.

Definition 1.11. Sei M ein Körper. Es gebe eine Teilmenge τ ⊂ M, deren Elemente als positiv ausgezeichnet sind: x > 0 ∀ x ∈ τ. Dann ist M ein angeordneter Körper, wenn gilt:

(O1) Für alle a ∈ M gilt genau eine der drei Beziehungen a > 0, a = 0, −a > 0.

(O2) a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a + b > 0 (O3) a > 0 ∧ b > 0 ⇒ ab > 0

Definition 1.12. Ein Körper M heißt archimedisch angeordnet, falls er angeordnet ist und zudem ∀ a, b ∈ M mit b > 0 ∃ n ∈ ℕ : nb − a > 0.

Vollständigkeitsaxiom (Supremumseigenschaft).

(V) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge τ von M besitzt eine

kleinste obere Schranke, das Supremum von τ. Definition 1.13. Eine nichtleere Teilmenge τ von M heißt nach oben beschränkt, falls es ein k ∈ M gibt, sodaß a ≤ k ∀ a ∈ τ. τ heißt nach unten beschränkt, falls es ein k ∈ M gibt, sodaß a ≥ k ∀ a ∈ τ.

Definition 1.14. Ein k ∈ M heißt kleinste obere Schranke (Supremum) einer nichtleeren Menge τ ⊂ M, wenn k obere Schranke von τ ist und es keine kleinere obere Schranke von τ gibt.

Die größte untere Schranke, das Infimum, wird analog definiert. Bemerkung. Die Menge M, welche die Körper-, die Anordnungs- und das Vollständigkeitsaxiom erfüllt, ist eindeutig bestimmt (bis auf Isomorphie) und heißt Menge ℝ der reellen Zahlen. ℝ ist ein archimedisch angeordneter Körper. Bemerkung. Die Axiome der Dedekindschen Schnitte sind gleichwertig mit dem archimedischen und dem Vollständigkeitsaxiom. Im Folgenden werden Regeln aufgelistet, die sich aus den Anordnungsaxiomen ableiten lassen. Dabei wird a > b anstelle von a − b > 0 geschrieben.

1. a > b, b > c ⇒ a > c (Transitivität)

2. a > b > 0 ⇒ \frac{1}{a} < \frac{1}{b}

3. a > b ⇒ a + c > b + c

4. a > b, c > 0 ⇒ ac > bc

5. a > b, c < 0 ⇒ ac < bc

6. a > b, α > β ⇒ a + α > b + β

7. a > b > 0, α > β > 0 ⇒ aα > bβ

8. a ≠ 0 ⇒ a^{2} > 0

9. Bernoulli- Ungleichung:^{8}

x ∈ ℝ, x ≥ −1, n ∈ ℕ ⇒ (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx

(Beweis mittels vollständiger Induktion, vgl. Übungsaufgabe 21a)

8nach Jakob Bernoulli (1654-1705)

Definition 1.15. Sei a ∈ ℝ. Der Absolutbetrag von a ist

|a| := \{ \begin{matrix}a & falls a ≥ 0 \\ −a & falls a < 0 \end{matrix}

Es gilt:

|ab| = |a| · |b|
|a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)
||a| − |b|| ≤ |a − b|

Satz 1.11. Sei b ∈ ℝ und b > 1. Dann existiert zu jedem k ∈ ℝ ein n ∈ ℕ, sodaß b^{n} > k ist.

Beweis. ℝ ist ein archimedisch angeordneter Körper, d.h. zu b − 1 und k − 1 existiert ein n ∈ ℕ mit n(b − 1) > k − 1. Aus der Bernoulli- Ungleichung folgt für dieses n: b^{n} = (1 + (b − 1))^{n} ≥ 1 + n(b − 1) > k.

Lemma 1.12. Ist 0 < b < 1, dann gilt: ∀ ε > 0 ∃ n ∈ ℕ : b^{n} < ε.

Beweis. b < 1 ⇒ \frac{1}{b} > 1. Nach Satz 1.11 existiert ein n ∈ ℕ mit (\frac{1}{b})^{n} > \frac{1}{ε}. Für dieses n folgt dann b^{n} < ε.

2 Folgen und Reihen

In diesem Abschnitt sollen Grenzprozesse und Grenzwerte untersucht werden. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung des Umfanges π eines Kreises mit dem Durchmesser 1. Der Kreisumfang wird dabei durch den Umfang ihm um- und einbeschriebener regelmäßiger Polygone approximiert. Je mehr Ecken diese Polygone haben, um so genauer kann der Wert von π angegeben werden. So erhält man z.B. für 96- Ecke die Abschätzung 3\frac{10}{71} < π < 3\frac{1}{7}. Ein weiteres Beispiel für Grenzprozesse ist das Babylonische Wurzelziehen: Sei a > 0, x_{1} = 1 und x_{n+1} errechnet sich aus x_{n} durch x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ). Die Werte von x_{n} kommen mit zunehmenden n der \sqrt{a} immer näher. Für a = 2 beispielsweise ist x_{2} = 1.5 , x_{3} = 1.41¯6 , x_{4} = 1.414215686... Siehe dazu: Übungsaufgabe 12, Programmieraufgabe 3.

2.1 Folgen und Grenzwerte

Definition 2.1. Eine Abbildung ℕ → ℝ, die jedem n ∈ ℕ ein a_{n} ∈ ℝ zuordnet, heißt Folge reeller Zahlen (Folge in ℝ). Sie wird bezeichnet mit (a_{n})_{n∈ℕ} oder (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …).

Allgemeiner ist, wenn n_{0} ∈ ℤ, auch (a_{n})_{n≥n_{0}} eine Folge, da es eine Bijektion von {n ∈ ℤ : n ≥ n_{0}} auf ℕ gibt. Eine Folge wird häufig durch ein Bildungsgesetz beschrieben. Beispiel. (1) a_{n} = a, a ∈ ℝ liefert die konstante Folge (a, a, a, …).

(2) a_{n} = (−1)^{n} stellt eine alternierende Folge (−1, 1, −1, …) dar.

(3) a_{n} = \frac{1}{n} , (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, …)

(4) a_{n} = \frac{n}{n+1} , (1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, …)

(5) a_{n} = \frac{n}{2^{n}} , (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, …)

(6) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, rekursiv definiert durch a_{1} = 1 , a_{2} = 1 , a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} besteht aus den Fibonacci^{9}- Zahlen: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)

(7) b ∈ ℝ, a_{n} = b^{n−1} : (1, b, b^{2}, b^{3}, …)

Definition 2.2. Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent gegen a ∈ ℝ, falls

∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ : |a_{n} − a| < ε ∀ n ≥ N

Die Zahl a ist der Grenzwert (Limes) der Folge (a_{n})_{n∈ℕ} : a = lim (a_{n})_{n∈ℕ}. U_{ε}(a) = {x ∈ ℝ : |x − a| < ε} heißt ε- Umgebung von a. In dieser liegen fast alle, d.h. alle bis auf endlich viele, Glieder der Folge.

Definition 2.3. Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ist divergent, wenn sie gegen keine reelle Zahl konvergiert.

Satz 2.1. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

Beweis. Man nehme an, es gäbe eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit zwei Grenzwerten a ≠ a′. Dann existieren zu ε = \frac{|a−a′|}{3} Indizes N und N′ mit |a_{n} − a| < ε ∀ n ≥ N und |a_{n} − a′| < ε ∀ n ≥ N′. Für alle n ≥ max (N, N′) gilt dann: |a − a′| = |a − a_{n} + a_{n} − a′| ≤ |a_{n} − a| + |a_{n} − a′| < \frac{2}{3}|a − a′|, was nicht sein kann.

Nun sollen die Beispiele für Folgen auf Konvergenz untersucht werden.

(1) Die konstante Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = a hat den Grenzwert a, denn für alle ε > 0 ist |a_{n} − a| = 0 < ε ∀ n ≥ 1.

9Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170-1250)

(2) (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = (−1)^{n} ist divergent.

Beweis. Angenommen, (a_{n}) sei konvergent gegen ein a ∈ ℝ. Dann gibt es zu ε = 1 ein N ∈ ℕ, sodaß |a_{n} − a| < 1 ∀ n ≥ N. ⇒ 2 = |a_{n+1} − a_{n}| ≤ |a_{n+1} − a| + |a_{n} − a| < 1 + 1 = 2, was offenbar falsch ist.

(3) Für a_{n} = \frac{1}{n} ist lim (a_{n}) = 0, denn |a_{n} − 0| = \frac{1}{n} < ε für alle n > \frac{1}{ε}.

Definition 2.4. Eine gegen 0 konvergente Folge heißt Nullfolge.

(4) Sei a_{n} = \frac{n}{n+1}. Dann ist lim (a_{n}) = 1, denn |\frac{n}{n+1} − 1| = \frac{1}{n+1} < ε ∀ n ≥ \frac{1}{ε}.

(5) Mittels vollständiger Induktion läßt sich n^{2} ≤ 2^{n} für n ≥ 4 zeigen. Daher gilt ∀ ε > 0 und ∀ n > max (\frac{1}{ε}, 4): |\frac{n}{2^{n}} | = \frac{n}{2^{n}} ≤ \frac{1}{n} < ε , d.h. a_{n} = \frac{n}{2^{n}} ist eine Nullfolge.

Definition 2.5. Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn es ein k ∈ ℝ gibt, sodaß a_{n} ≤ k (bzw. a_{n} ≥ k) ∀ n ∈ ℕ. (a_{n})_{n∈ℕ} heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist, d.h. ∃ M ≥ 0 : |a_{n}| ≤ M ∀ n ∈ ℕ.

Satz 2.2. Jede konvergente Folge ist auch beschränkt.

Beweis. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge mit lim (a_{n}) = a. Für ein N ∈ ℕ gilt dann |a_{n} − a| < 1 ∀ n ≥ N ⇒ |a_{n}| < |a| + 1 für n ≥ N und somit |a_{n}| ≤ max (|a_{1}|, |a_{2}|, …, |a_{N−1}|, |a| + 1) für alle n ∈ ℕ.

Bemerkung. Die Umkehrung von Satz 2.2 gilt nicht, z.B. ist a_{n} = (−1)^{n} beschränkt, aber divergent.

(6) Die Folge der Fibonacci- Zahlen, definiert durch a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} und a_{1} = 1 a_{2} = 1, ist divergent, denn a_{n} ≥ (n − 1) ∀ n.

(7) Man betrachte die Folge (b^{n})_{n∈ℕ}.

1. Fall: |b| < 1. ⇒ lim (b^{n}) = 0, denn nach Lemma 1.12 existiert ein N ∈ ℕ mit |b|^{N} < ε und somit ist |b|^{n} ≤ |b|^{N} < ε ∀ n ≥ N.

2. Fall: b = 1 ⇒ b^{n} = 1 ⇒ lim (b^{n}) = 1

3. Fall: b = −1 ⇒ (b^{n}) divergiert; siehe Beispiel (2).

4. Fall: |b| > 1 ⇒ Die Folge (b^{n}) divergiert, da sie nach Satz 1.11 unbeschränkt ist.

2.2 Rechenregeln für Grenzwerte

Satz 2.3. Seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} zwei konvergente Folgen mit lim (a_{n})_{n∈ℕ} = a und lim (b_{n})_{n∈ℕ} = b. Dann ist auch (c_{n})_{n∈ℕ} konvergent mit

a) c_{n} = a_{n} + b_{n} und lim (c_{n}) = a + b

b) c_{n} = a_{n} − b_{n} und lim (c_{n}) = a − b

c) c_{n} = a_{n} · b_{n} und lim (c_{n}) = a · b

d) c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} und lim (c_{n}) = \frac{a}{b} für b, b_{n} ≠ 0

e) c_{n} = λa_{n} und lim (c_{n}) = λa für alle λ ∈ ℝ.

Beweis. zu a) Sei ε > 0. Dann existieren N_{1}, N_{2} ∈ ℕ, sodaß |a_{n} − a| < \frac{ε}{2} ∀ n ≥ N_{1} und |b_{n} − b| < \frac{ε}{2} ∀ n ≥ N_{2}, da (a_{n}) und (b_{n}) konvergent sind. ∀ n ≥ max (N_{1}, N2) gilt dann |(a_{n} + b_{n}) − (a + b)| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b| < ε.

zu c) (a_{n}) und (b_{n}) sind beschränkt, d.h.

∃ K′, K′′ : |a_{n}| < K′ , |b_{n}| < K′′ ∀ n. Sei K = max (K′, K′′) und ε > 0 beliebig. Aufgrund der Konvergenz von (a_{n}) und (b_{n}) gibt es N_{1}, N_{2} mit |a_{n} − a| < \frac{ε}{2K} ∀ n ≥ N_{1} und |b_{n} − b| < \frac{ε}{2K} ∀ n ≥ N_{2}. Für sämtliche n ≥ max (N_{1}, N_{2}) folgt daraus |a_{n} · b_{n} − ab| = |a_{n}(b_{n} − b) + b(a_{n} − a)| ≤ |a_{n}| · |(b_{n} − b)| + |b| · |(a_{n} − a)| < K \frac{ε}{2K} + K \frac{ε}{2K} = ε. Dabei gilt die Abschätzung |b| ≤ K wegen Satz 2.6.

zu e) Sei (b_{n}) die konstante Folge mit b_{n} = λ. Dann folgt aus b) die Behauptung.

zu b) Nach e) konvergiert (−b_{n})_{n∈ℕ} gegen −b und aus a) folgt damit, daß (a_{n} + (−b_{n}))_{n∈ℕ} gegen a − b konvergiert.

zu d) Zunächst soll die Folge (\frac{1}{b_{n}} )_{n∈ℕ} betrachtet werden. (b_{n}) hat den Grenzwert b, daher gibt es ein N_{1} ∈ ℕ mit |b_{n} − b| < \frac{|b|}{2} ∀ n ≥ N_{1} ⇒ |b_{n}| > \frac{|b|}{2} für diese n. Weiterhin existiert ein N_{2} ∈ ℕ mit |b_{n} − b| < \frac{ε|b|^{2}}{2} ∀ n ≥ N_{2}. Somit ist |\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b} | = |\frac{b−b_{n}}{b·b_{n}} | = |\frac{1}{b·b_{n}} | |b_{n} − b| < \frac{2}{|b|^{2}} · \frac{ε|b|^{2}}{2} = ε ∀ n ≥ N := max(N_{1}, N_{2}), d.h. lim (\frac{1}{b_{n}} ) = \frac{1}{b}. Mit c) folgt daraus die Konvergenz von (\frac{a_{n}}{b_{n}} )_{n∈ℕ} gegen \frac{a}{b}.

Beispiel. c_{n} = \frac{3n^{2}+13n}{n^{2}−2} = \frac{3+ \frac{13}{n}}{1− \frac{2}{n^{2}}} . Es ist lim (\frac{1}{n}) = 0, woraus lim (\frac{1}{n^{2}} ) = lim (\frac{1}{n}) · lim (\frac{1}{n}) = 0 und lim (\frac{13}{n}) = 13 · lim (\frac{1}{n}) = 0 folgt. ⇒ lim (3 + \frac{13}{n}) = 3, lim (1 − \frac{1}{n^{2}} ) = 1. ⇒ lim (c_{n}) = 3. Bemerkung. Sind λ, μ ∈ ℝ und a_{n} → a, b_{n} → b, dann folgt aus Satz 2.3

(a) und e)): λa_{n} + μb_{n} → λa + μb, d.h. die konvergenten Folgen in ℝ bilden einen Vektorraum über ℝ und lim : (a_{n})_{n∈ℕ} ↦ lim (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine lineare Abbildung. Bemerkung. Die Summe zweier divergenter Folgen kann konvergent sein. Bemerkung. Das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge (Übungsaufgabe 19). Bemerkung. Arithmetische, geometrische und harmonische Mittelbildungen von konvergenten Folgen sind wieder konvergent.

Satz 2.4. Sind (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} zwei Folgen mit a_{n} ≤ b_{n} ∀ n, so gilt auch lim (a_{n}) ≤ lim (b_{n}).

Beweis. Sei a = lim (a_{n}) und b = lim (b_{n}). Annahme: a > b. Dann gibt es zu ε := \frac{a−b}{2} Indizes N_{1}, N_{2} mit |a_{n} − a| < ε ∀ n ≥ N_{1} und |a_{n} − a| < ε ∀ n ≥ N_{1}. Somit ist a − ε < a_{n} ≤ b_{n} < b + ε für alle n ≥ max (N_{1}, N_{2}), was jedoch a − ε = a − \frac{a−b}{2} = \frac{a+b}{2} = b + \frac{a−b}{2} = b + ε, also a − ε = b + ε widerspricht.

Bemerkung. Aus a_{n} < b_{n} ∀ n folgt nicht lim (a_{n}) < lim (b_{n}), wie das Beispiel a_{n} = 0 , b_{n} = \frac{1}{n} zeigt.

Satz 2.5. Sind (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} zwei konvergente Folgen mit dem Grenzwert a und es gilt a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} für fast alle n, so konvergiert auch die Folge (c_{n})_{n∈ℕ} gegen a.

Satz 2.6. Ist (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent und A ≤ a_{n} ≤ B für fast alle n, so ist auch A ≤ lim (a_{n}) ≤ B.

Beweis von Satz 2.5 und 2.6: Übungsaufgabe 20.

2.3 Bestimmte Divergenz

Definition 2.6. Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen ∞ (−∞), wenn

∀ K ∈ ℝ ∃ N ∈ ℕ : a_{n} > K (bzw. a_{n} < K) ∀ n ≥ N

Man schreibt: lim (a_{n}) = ∞ (bzw. lim (a_{n}) = −∞)

Beispiel. Die Folge a_{n} = n divergiert bestimmt gegen ∞. (−2^{n})_{n∈ℕ} hat den uneigentlichen Grenzwert −∞. Die Folge a_{n} = (−1)^{n} divergiert, jedoch nicht bestimmt. Bemerkung. +∞ und −∞ sind Symbole, keine reellen Zahlen. So sind z.B. die Operationen ∞ − ∞, 0 · ∞, \frac{∞}{∞} nicht definiert. Dies ist schnell einzusehen, wenn man die Folgen a_{n} = n, b_{n} = 1, c_{n} = a_{n} + b_{n} = n + 1 betrachtet. Es ist lim (a_{n}) = ∞, lim (b_{n}) = 1, lim (c_{n}) = ∞, woraus, wäre ∞ eine reelle Zahl, ∞ = ∞ + 1 und 0 = 1 folgen würde. Jedoch läßt sich ∞ ± x = ∞, \frac{x}{∞} = 0, ∀ x ∈ ℝ und ∞ · x = ∞ für x > 0 formulieren. In der Nichtstandard-Analysis wird ℝ kompaktifiziert und \overline{ℝ} = ℝ ∪ \{+∞, −∞\} betrachtet.

Satz 2.7. Ist (a_{n})_{n∈ℕ} bestimmt divergent gegen ±∞, so ∃ n_{0} ∈ ℕ : a_{n} ≠ 0 ∀ n ≥ n_{0} und (\frac{1}{a_{n}} )_{n≥n_{0}} ist eine Nullfolge.

Beweis. Sei lim (a_{n}) = ∞. Dann existiert ein n_{0} ∈ ℕ, sodaß a_{n} > 0 ∀ n ≥ n_{0}. Überdies ∃ N ∈ ℕ : a_{n} > \frac{1}{ε} ∀ n ≥ N. Damit ist |\frac{1}{a_{n}} | < ε für diese n.

Satz 2.8. Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge und a_{n} > 0 ∀ n, so divergiert \frac{1}{a_{n}} gegen ∞.

2.4 Monotone Folgen

Definition 2.7. Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt monoton wachsend (fallend), wenn a_{n} ≤ a_{n+1} (bzw. a_{n} ≥ a_{n+1}) für alle n gilt. (a_{n})_{n∈ℕ} ist streng monoton wachsend (fallend), falls a_{n} < a_{n+1} (bzw. a_{n} > a_{n+1}) gilt.

Satz 2.9. Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

Beweis. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend und beschränkt. Dann gibt es ein γ = sup (a_{n}). Dieses hat die Eigenschaft, daß ∀ ε > 0 ∃ n_{0} : a_{n_{0}} > γ − ε. Aus der Monotonie folgt damit a_{n} > γ − ε ∀ n ≥ n_{0}, also |a_{n} − γ| < ε für fast alle n. Der Beweis für monoton fallende Folgen verläuft analog.

Beispiel. (1) Für 0 ≤ x < 1 ist a_{n} = x^{n} monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt, also konvergent.

(2) Ist a_{n} = ∑_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}, so gilt a_{n+1} − a_{n} = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} − \frac{1}{n} < 0, d.h. auch diese Folge ist monoton fallend und beschränkt und folglich konvergent.

Definition 2.8. Ein Paar ((a_{n}), (b_{n})) von Folgen heißt Intervallschachtelung, wenn (a_{n}) monoton wächst, (b_{n}) monoton fällt und (a_{n} − b_{n}) eine Nullfolge ist.

Beispiel. Bei der fortgesetzten Halbierung ergibt sich das Intervall [a_{n+1}, b_{n+1}] durch [a_{n+1}, b_{n+1}] = [a_{n}, \frac{a_{n}+b_{n}}{2} ] oder [a_{n+1}, b_{n+1}] = [\frac{a_{n}+b_{n}}{2} , b_{n}]. Hier gilt |a_{n} − b_{n}| = \frac{1}{2^{n−1}} |a_{1} − b_{1}| → 0. Für eine Intervallschachtelung, bezeichnet mit (a_{n}|b_{n}), ist offensichtlich a_{n} ≤ b_{m} ∀ n, m. Es gilt das

Intervallschachtelungsprinzip.

(ISP) Zu jeder Intervallschachtelung (a_{n}|b_{n}) in ℝ gibt es eine Zahl,

die in allen Intervallen [a_{n}, b_{n}] liegt.

Das Intervallschachtelungsprinzip ist äquivalent zum Vollständigkeitsaxiom.

Beweis. (V) ⇒ (ISP): Die Menge A = {a_{1}, a_{2}, …} ist durch alle b_{n} nach oben beschränkt. Für s = sup A gilt also a_{n} ≤ s ≤ b_{n} ∀ n, d.h. s ∈ [a_{n}, b_{n}] ∀ n. (ISP) ⇒ (V): Zu einer nichtleeren, nach oben beschränkten Menge M konstruiere man rekursiv eine Intervallschachtelung (a_{n}, b_{n}) in der folgenden Weise. Sei b_{1} irgend eine obere Schranke von M und a_{1} eine reelle Zahl, die keine obere Schranke von M ist. Das Intervall [a_{n+1}, b_{n+1}] ergibt sich aus [a_{n}, b_{n}] durch die Vorschrift

[a_{n+1}, b_{n+1}] = \{ \begin{matrix}[a_{n}, \frac{a_{n}+b_{n}}{2} ] & falls \frac{a_{n}+b_{n}}{2} obere Schranke von M ist \\ [\frac{a_{n}+b_{n}}{2} , b_{n}] & sonst \end{matrix}

Dann ist die Zahl s, die allen Intervallen [a_{n}, b_{n}] angehört, eine obere Schranke von M, denn andernfalls gäbe es ein m ∈ M, sodaß m > s ist, womit jedes Intervall von einer Länge < m − s die Zahl m nicht enthielte, was der Eigenschaft der b_{n}, obere Schranken von M zu sein, widerspräche. s ist auch die kleinste obere Schranke, denn für jede Zahl r mit r < s existiert ein n ∈ ℕ, sodaß r ∉ [a_{n}, b_{n}], d.h. r < a_{n} ist. Nach Konstruktion der Intervallschachtelung jedoch ist kein a_{n} obere Schranke von M.

Bemerkung. Die Zahl g, die in allen Intervallen [a_{n}, b_{n}] einer Intervallschachtelung (a_{n}|b_{n}) liegt, ist eindeutig bestimmt, denn für alle h ≠ g liegt h nicht in den Intervallen von einer Länge < |g − h|. g ist der gemeinsame Grenzwert der Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ}:

g = lim (a_{n}) = lim (b_{n}) = ⋂_{n=1}^{∞} [a_{n}, b_{n}]

2.5 Cauchy- Folgen

Satz 2.10 (Cauchy- Kriterium^{10}). Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ist konvergent ⇔

∀ ε > 0 ∃N ∈ ℕ : |a_{m} − a_{n}| < ε  ∀m, n ≥ N  (1)

Definition 2.9. (a_{n})_{n∈ℕ} mit der Eigenschaft (1) heißt Cauchy-Folge.

Bemerkung. Die Richtung ”⇒“ von von 2.10 bedeutet, daß jede konvergente Folge eine Cauchy- Folge ist. Die Umkehrung (”In ℝ konvergiert jede Cauchy- Folge“) läßt sich als alternatives Axiom zum Vollständigkeitsaxiom verwenden. Zu einem späteren Zeitpunkt soll gezeigt werden, daß sie auch aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt.

Beweis ”⇒“ von Satz 2.10. Sei a der Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈ℕ} , d.h. ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ : |a_{n} − a| < \frac{ε}{2} ∀n ≥ N ⇒ |a_{n} − a_{m}| = |(a_{n} − a) + (a − a_{m})| ≤ |a_{n} − a| + |a − a_{m}| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Beispiel. Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ∪\{0\}} mit a_{0} = 1 und a_{n+1} = \frac{1}{1+a_{n}} ist konvergent, denn: Offensichtlich gilt \frac{1}{2} ≤ a_{n} ≤ 1 ∀ n. Damit ist für beliebige n, k ≥ 0 : |a_{n+k+1} − a_{n+1}| = |\frac{1}{1+a_{n+k}} − \frac{1}{1+a_{n}} | = |\frac{a_{n}−a_{n+k}}{(1+a_{n})(1+a_{n+k})} | = \frac{|a_{n+k}−a_{n}|}{(1+a_{n})(1+a_{n+k})} ≤ _{\frac{1}{(1+ \frac{1}{2})^{2}}} |a_{n+k} − a_{n}| = \frac{4}{9} |a_{n+k} − a_{n}| Nimmt man diese Ungleichung im Fall n = 0 als Induktionsanfang und |a_{n+k} − a_{n}| ≤ (\frac{4}{9})^{n} |a_{k} − a_{0}| als Induktionsvoraussetzung, so folgt: |a_{n+k+1} − a_{n+1}| ≤ \frac{4}{9}|a_{n+k} − a_{n}| ≤ (\frac{4}{9})^{n+1} |a_{k} − a_{0}| und damit |a_{n+k} − a_{n}| ≤ (\frac{4}{9})^{n} |a_{k} − a_{0}| ≤ 2 (\frac{4}{9})^{n} ∀ n. Weil nun (2 (\frac{4}{9})^{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge ist, wird damit |a_{n+k} − a_{n}| = |a_{m} − a_{n}| < ε für beliebig kleine ε und entsprechend große m, n. Somit ist (a_{n}) eine Cauchy- Folge, also konvergent. Es sei bemerkt, daß der Grenzwert a der rekursiv definierten Folge (a_{n}) die Fixpunktgleichung erfüllt: a = \frac{1}{1+a}.

2.6 Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Definition 2.10. Eine Zahl h heißt Häufungspunkt (oder: Häufungswert) der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, wenn ∀ ε > 0 : |a_{n} − h| < ε für unendlich viele n.

Beispiel. • (a_{n}) = (−1)^{n} hat die 2 Häufungswerte 1 und −1.

10nach Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

• Ist ein Folge konvergent, so ist der Grenwert wegen dessen Eindeutigkeit der einzige Häufungswert.

• (a_{n}) = n hat keinen Häufungswert.

Definition 2.11. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge und (n_{k})_{k∈ℕ} mit n_{i} < n_{j} für i < j eine Folge aufsteigender natürlicher Zahlen. Dann heißt (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} = (a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, …) eine Teilfolge von (a_{n})_{n∈ℕ}.

Folgerung. Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge mit lim a_{n} = a, dann konvergiert auch jede Teilfolge von (a_{n})_{n∈ℕ} gegen a.

Satz 2.11. Ist h ein Häufungswert einer Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann existiert eine Teilfolge (a_{n_{k}}), die gegen h konvergiert.

Beweis. Es soll gezeigt werden, daß es möglich ist, eine Teilfolge (a_{n_{k}}) mit der Eigenschaft

|a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k}  ∀ k ∈ ℕ  (2)

zu konstruieren. Dann ist |a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k} ≤ ε ∀ k ≥ \frac{1}{ε} und somit (a_{n_{k}}) eine Teilfolge, die gegen h konvergiert. Für den Beweis der Existenz einer solchen Konstruktion wird auf das Prinzip der vollständigen Induktion zurückgegriffen. Induktionsanfang: Weil h Häufungswert sein sollte, gibt es mindestens ein n_{1}, sodaß (2) erfüllt ist. Induktionsschritt: Es seien k Folgenglieder mit der Eigenschaft (2) gefunden. Nun ist h Häufungswert, d.h. |a_{n} − h| < ε := \frac{1}{k+1} für unendlich viele n. Diese können nicht alle < n_{k} sein, da es nur endlich viele natürliche Zahlen < n_{k} gibt. Also ∃ n_{k+1} > n_{k} mit |a_{k+1} − h| < \frac{1}{k+1}.

Satz 2.12 (Bolzano-Weierstraß^{11}). Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungswert.

Beweis. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge, d.h. ∃M_{0}, N_{0} mit M_{0} < N_{0} und M_{0} ≤ a_{n} ≤ N_{0} ∀ n. Man nehme das Intervall [M_{0}, N_{0}] als Startwert und konstruiere daraus durch fortgesetzte Halbierung eine Intervallschachtelung (M_{k}|N_{k}) mit der Eigenschaft, daß ∀k : M_{k} ≤ a_{n} ≤ N_{k} für unendlich viele a_{n}. Dies wird möglich, indem der Prozess der Halbierung stets mit einem Intervall, welches unendlich viele a_{n} enthält, fortgesezt wird. Es sei h die durch eine solche Intervallschachtelung bestimmte Zahl. Sie ist der gemeinsame Grenzwert der Folgen (M_{k}) und (N_{k}). ⇒ ∀ ε > 0 ∃ K : h − ε < M_{K} < N_{K} < h + ε, d.h. h − ε < a_{n} < h + ε für unendlich viele a_{n}. ⇒ h ist der gesuchte Häufungswert.

11nach Bernard Bolzano (1781-1848) und Karl Weierstraß (1815-1897)

Folgerung 2.12. Eine Zahl ist Häufungswert einer Folge dann und nur dann, wenn sie auch Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ist.

Folgerung 2.12 (Alternative Formulierung von Satz 2.12). Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.

Nun soll wie angekündigt die Richtung ”⇐“ von Satz 2.10 (Cauchy-Kriterium), d.h. ”Jede Cauchy- Folge ist konvergent“ mit Hilfe von Satz 2.12 bewiesen werden.

Beweis. Sei ε > 0 und |a_{n} − a_{m}| < ε ∀ n, m ≥ N. Insbesondere gilt |a_{n} − a_{N}| < ε ∀ n ≥ N ⇒ |a_{n}| < |a_{N}| + ε Folglich ist die größere der beiden Zahlen |a_{N}| + ε und max_{n<N} |a_{n}| eine Schranke für (a_{n}). Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat (a_{n}) damit mindestens einen Häufungswert h, d.h. |a_{k} − h| < ε für unendlich viele k. Es sei ein solches k ≥ N fest gewählt. ⇒ |a_{n} − h| ≤ |a_{n} − a_{k}| + |a_{k} − h| < 2ε ∀n ≥ N Also ist h auch Grenzwert.

Zusammenfassung. Bisher wurden folgende Implikationen bewiesen:

(1) Vollständigkeistaxiom
⇕
(2) Intervallschachtelungsprinzip
⇓
(3) Satz von Bolzano-Weierstraß
⇓
(4) Cauchy- Kriterium

Außerdem läßt sich das Intervallschachtelungsprinzip (2) aus dem Cauchy-Kriterium (4) folgern. Es ergibt sich der Ringschluß (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (2); damit sind alle vier Aussagen äquivalent. Sie formulieren jeweils die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Die Anordnungsaxiome und die Vollständigkeit von ℝ zusammen sind wiederum gleichwertig mit der Konstruktion der reellen Zahlen über Dedekindsche Schnitte. Zur Begründung der letzten Aussage betrachte man zunächst zu einer gegebenen Intervallschachtelung (a_{n}|b_{n}) den Dedekindschen Schitt in ℚ mit der Obermenge β = ⋃_{n∈ℕ} ((b_{n}, ∞) ∩ ℚ). Er repräsentiert die reelle Zahl, welche allen [a_{n}, b_{n}] gemeinsam ist. Sei andererseits zu einem Dedekindschen Schnitt S = (α, β) in ℚ die Intervallschachtelung (a_{n}|b_{n}) gegeben durch a_{1} ∈ α, b_{1} ∈ β beliebig und

[a_{n+1}, b_{n+1}] = \{ \begin{matrix}[a_{n}, \frac{a_{n}+b_{n}}{2} ] & falls \frac{a_{n}+b_{n}}{2} ∈ β \\ [\frac{a_{n}+b_{n}}{2} , b_{n}] & falls \frac{a_{n}+b_{n}}{2} ∈ α \end{matrix}

Dann ist die durch S repräsentierte Zahl in allen [a_{n}, b_{n}] enthalten.

Im Folgenden soll noch die oben erwähnte Implikation: Cauchy-Kriterium ⇒ Intervallschachtelungsprinzip bewiesen werden:

Beweis. Sei (a_{n}|b_{n}) eine Intervallschachtelung. ⇒ ∀ ε > 0 ∃ N : |b_{N} − a_{N}| < ε Wegen a_{m}, a_{n} ∈ [a_{N}, b_{N}] ∀ n, m > N ist auch |a_{n} − a_{m}| < ε. ⇒ (a_{n}) ist Cauchy- Folge. Somit existiert g := lim(a_{n}). (a_{n}) ist nach Definition der Intervallschachtelung monoton wachsend. ⇒ a_{n} ≤ g ∀n. Überdies ist a_{n} ≤ b_{n} ∀n. ⇒ b_{n} ≥ g ≥ a_{n} ∀n, d.h. g liegt in allen Intervallen.

Satz 2.13 (Cauchyscher Grenzwertsatz). Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a, so konvergiert auch die Folge

(b_{n})_{n∈ℕ} mit b_{n} := \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} a_{i} gegen a.

Beweis: Übungsaufgabe 17. Beispiel. (a_{n}) = (\frac{1}{n}) ist eine Nullfolge, daher ist auch lim (\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i}) = 0; wohingegen (∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i})_{n∈ℕ} nicht beschränkt ist, was im nächsten Abschnitt gezeigt werden soll.

2.7 Reihen und Konvergenz

Definition 2.12. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt die Folge (s_{n}) mit s_{n} = ∑_{i=1}^{n} a_{i} die Summenfolge von (a_{n}). Die zugeordnete unendliche Reihe ist Ausdruck ∑_{i=1}^{∞} a_{i}. s_{n} sind die Partialsummen der Reihe.

Definition 2.13. Die Reihe ∑_{i=1}^{∞} a_{i} heißt konvergent mit der Summe s, genau dann wenn (s_{n}) gegen s konvergiert. Im Falle der Konvergenz schreibt man

s = ∑_{i=1}^{∞} a_{i} = lim_{n→∞} ∑_{i=1}^{n} a_{i}

Analog zu Folgen können die Indizes auch bei einer natürlichen Zahl k ≠ 1 beginnen. ∑_{i=k}^{∞} a_{i} ist auch eine unendliche Reihe. Bemerkung. Aus einer gegebenen Summenfolge (s_{n}) ist die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ihrer Summanden in der folgenden Weise rekonstruierbar: a_{1} = s_{1} a_{n} = s_{n} − s_{n−1} In diesem Sinne sind Folgen und Reihen äquivalent. Beispiel. • Die geometrische Reihe ∑_{i=1}^{∞} x^{i} = \frac{1}{1−x} konvergiert für |x| < 1,

denn für die zugeordnete Summenfolge (s_{n}) gilt:

s_{n} = 1 + x + … + x^{n} = \frac{1−x^{n+1}}{1−x}

• Die harmonische Reihe ∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{i} hingegen ist bestimmt divergent gegen ∞, denn die Summenfolge (s_{n}) ist monoton wachsend und ∀ n = 2^{k} ist s_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + … + \frac{1}{8}) + … + (\frac{1}{2^{k−1}} + … \frac{1}{2^{k}} ) ≥ 1 + \frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + … + 2^{k−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{k}{2} , d.h. (s_{n}) wächst über alle Schranken.

2.8 Konvergenzkriterien für Reihen

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit klassischen Techniken, Folgen auf Konvergenz zu untersuchen. Alle Konvergenzkriterien für Folgen können selbstverständlich auf die Partialsummen von Reihen angewendet werden. Unter Benutzung von Satz 2.10 erhält man

Satz 2.14 (Cauchy- Kriterium für Reihen). Die Reihe ∑_{i=1}^{∞} a_{i} konvergiert dann und nur dann, wenn

∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ : |s_{n} − s_{m}| = | ∑_{i=m+1}^{n} a_{i}| < ε ∀ n > m > N

Folgerung. • Eine Reihe konvergiert nur (höchstens) dann, wenn die Folge ihrer Glieder eine Nullfolge ist.

• Die Abänderung endlich vieler Summanden einer Reihe verändert die Konvergenz bzw. Divergenz nicht.

Satz 2.15 (Leibniz- Kriterium^{12}). Ist (a_{n})_{n} eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die alternierende Reihe ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n}a_{n}.

12nach Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Beweis. Seien s_{k} = ∑_{n=0}^{k} (−1)^{n}a_{n} die Partialsummen der Reihe ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n}a_{n}. Die Summenfolge wird zunächst in zwei Teilfolgen (s_{2k})_{k} und (s_{2k+1})_{k} zerlegt. Aufgrund der Monotonie von (a_{n}) ist s_{2k+2} − s_{2k} = −a_{2k+1} + a_{2k+2} ≤ 0 ∀k, d.h. die Teilfolge (s_{2k})_{k} ist monoton fallend. Analog dazu ist s_{2k+3} − s_{2k+1} = a_{2k+2} − a_{2k+3} ≥ 0 ∀k, womit die Teilfolge (s_{2k+1})_{k} monoton wachsend ist. Zudem gilt s_{2k+1} − s_{2k} = −a_{2k+1} ≤ 0 ⇒ s_{2k} ≥ s_{2k+1} ≥ s_{1} ∀k und s_{0} ≥ s_{2k} ≥ s_{2k+1} ∀k. Also ist (s_{2k})_{k} nach unten und (s_{2k+1})_{k} nach oben beschränkt. ⇒ s := lim s_{2k} und s′ := lim s_{2k+1} existieren. Es bleibt zu zeigen, daß die Grenzwerte der beiden Teilfolgen gleich sein müssen. s − s′ = lim s_{2k} − lim s_{2k+1} = lim s_{2k} − s_{2k+1} = lim a_{2k+1} Letzteres ist nach Voraussetzung 0 und somit gilt s = s′. Damit konvergiert auch die gesamte Summenfolge: ∀ ε > 0 ∃ N_{1}, N_{2} : |s_{2k} − s| < ε ∀k ≥ N_{1}, |s_{2k+1} − s| < ε ∀k ≥ N_{2}. ⇒ |s_{n} − s| < ε ∀ n ≥ N := max (2N_{1}, 2N_{2} + 1)

Beispiel. • Die Leibniz- Reihe ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{1}{2n+1} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} … konvergiert. Die Summe ist \frac{π}{4} , was in einem späteren Kapitel noch gezeigt werden soll.

• Auch die alternierende harmonische Reihe ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n+1} \frac{1}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − … ist nach Satz 2.15 konvergent.

Satz 2.16 (Majoranten- Kriterium). Sind (a_{n})_{n∈ℕ} und (c_{n})_{n∈ℕ} zwei Folgen mit |a_{n}| ≤ |c_{n}| ∀n ≥ p und ∑_{n=p}^{∞} |c_{n}| konvergiert, dann gilt

1. ∑_{n=p}^{∞} a_{n} und ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| sind konvergent.

2. |∑_{n=p}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |c_{n}|.

Beweis. Da die Reihe ∑_{n=p}^{∞} |c_{n}| gemäß Voraussetzung konvergent ist, erfüllt sie das Cauchy- Kriterium und es gilt ∀ ε > 0 ∃ N : | ∑_{k=m+1}^{n} a_{k}| ≤ ∑_{k=m+1}^{n} |a_{k}| ≤ ∑_{k=m+1}^{n} |c_{k}| < ε ∀ n > m ≥ N, d.h. ∑_{n=p}^{∞} a_{n} und ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| erfüllen ebenfalls das Cauchy-Kriterium und sind somit konvergent. Ferner ist |∑_{k=p}^{∞} a_{k}| = lim_{n→∞} |∑_{k=p}^{n} a_{k}| ≤ lim_{n→∞} ∑_{k=p}^{n} |c_{k}| = ∑_{k=p}^{∞} |c_{k}|

Definition 2.14. Eine solche Reihe ∑_{n=p}^{∞} c_{n} heißt Majorante zu ∑_{n=p}^{∞} a_{n}.

Satz 2.17. Eine Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} mit a_{n} ≥ 0 ∀n konvergiert genau dann, wenn die Folge (s_{n}) ihrer Partialsummen beschränkt ist.

Beweis. Die Folge (s_{n}) wächst monoton, da nach Voraussetzung a_{n} ≥ 0 gilt. Ist sie zudem beschränkt, so muß auch Konvergenz vorliegen. Ist in der anderen Richtung (s_{n}) konvergent, so folgt die Beschränktheit direkt.

Definition 2.15 (Absolute Konvergenz). Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent, wenn ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| konvergiert.

Die Konvergenz von Reihen dieser Gestalt ist also nicht von möglichen Aufhebungen von Summengliedern abhängig.

Folgerung. • Eine Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert auf jeden Fall, wenn sie absolut konvergiert, da sie dann ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| als Majorante hat. Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe zeigt.

• Für absolut konvergente Reihen läßt sich mit dem 2. Teil von Satz 2.16 (Majoranten- Kriterium) eine verallgemeinerte Dreiecksungleichung formulieren:

|∑_{n=1}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|

Satz 2.18 (Wurzelkriterium). Sei L := lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}. Dann ist ∑_{n=1}^{∞} a_{n}

• absolut konvergent für L < 1;

• divergent für L > 1.

Satz 2.19 (Quotientenkriterium). Ist ∑_{n=1}^{∞} a_{n} eine Reihe, für die a_{n} ≠ 0 ∀ n und

∃ N ∈ ℕ, ϑ ∈ ℝ mit 0 < ϑ < 1 : |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ ϑ ∀ n ≥ N

gilt, so ist sie absolut konvergent.

Beweis. Die Abänderung endlich vieler Summanden verändert die Konvergenz bzw. Divergenz nicht. Sei also o.B.d.A. |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ ϑ < 1 ∀ n ∈ ℕ. Durch vollständige Induktion über n wird zunächst |a_{n}| ≤ |a_{1}|ϑ^{n−1} ∀n gezeigt. Der Induktionsanfang (n = 1) ist trivial; ist nun |a_{n}| ≤ |a_{1}|ϑ^{n−1}, so folgt |a_{n+1}| = |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} a_{n}| ≤ ϑ|a_{n}| ≤ |a_{1}|ϑ^{n−1}. Daher ist |a_{n}| ≤ |a_{1}|ϑ^{n−1} ∀n. Mit der absoluten Konvergenz der geometrischen Reihe ∑_{n=1}^{∞} |a_{1}|ϑ^{n−1} (für 0 < ϑ < 1) folgt, daß ∑_{n=1}^{∞} |a_{1}|ϑ^{n−1} Majorante zu ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ist, womit ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert.

Beispiel. ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{2^{n}} konvergiert, da für n ≥ 3 gilt: \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{2}2^{n}}{n^{2}2^{n+1}} = \frac{(n+1)^{2}}{2n^{2}} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n})^{2} ≤ \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{3})^{2} = \frac{8}{9} < 1 Bemerkung. Das Quotientenkriterium ist einfach anzuwenden, jedoch schwächer als das Wurzelkriterium. Beispiel. Sei ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = 1 + a^{3} + a^{2} + a^{5} + a^{4} + a^{7} + … mit a_{n} = \{ \begin{matrix}a^{n−1} & für n ungerade \\ a^{n+1} & für n gerade \end{matrix} und a < 1. Das Wurzelkriterium liefert den Nachweis der Konvergenz, denn: lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} = a < 1 Das Quotientenkriterium hingegen läßt sich nicht anwenden, da |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | alternierend a^{3} und a^{−1}, d.h. nicht stets ≤ ϑ < 1 ist.

2.9 Rechnen mit Reihen

Es stellt sich die Frage nach der Konvergenz von Reihen, die aus bekannten durch Anwenden der Grundoperationen konstruiert wurden.

Satz 2.20 (Linearität). Seien α, β ∈ ℝ. Sind ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konvergent, so auch ∑_{n=1}^{∞} (αa_{n} + βb_{n}) und es gilt

∑_{n=1}^{∞} (α a_{n} + β b_{n}) = α∑_{n=1}^{∞} a_{n} + β∑_{n=1}^{∞} b_{n}

Das Assoziativ- und das Kommutativgesetz lassen sich nicht ohne Weiteres auf unendliche Reihen übertragen. Beispiel. Würde das Assoziativgesetz gelten, so ließe sich ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n−1} = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − … schreiben als ∑_{n=1}^{∞} (1 − 1) = (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 und 1 + ∑_{n=1}^{∞} (−1 + 1) = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1, was nicht sein kann. Man nehme jetzt an, das Kommutativgesetz ließe sich auf alle Reihen anwenden und betrachte die alternierende harmonische Reihe s = ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n−1} \frac{1}{n} = 1 − \frac{1}{2} + … + \frac{1}{2k−1} − \frac{1}{2k} + … Durch Kommutieren der Summanden ergibt sich t = 1 + (−\frac{1}{2} − \frac{1}{4}) + \frac{1}{3} + (−\frac{1}{6} − \frac{1}{8}) + … + \frac{1}{2k−1} + (−\frac{1}{4k−2} − \frac{1}{4k} ) + … Wegen (\frac{1}{2k−1} − \frac{1}{4k−2} − \frac{1}{4k} ) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k−1} − \frac{1}{2k} ) gilt für die Partialsummenfolgen (t_{n}) und (s_{n}) die Beziehung t_{3m} = \frac{1}{2}s_{2m}. Da nun (s_{n}) und mithin die Teilfolge (s_{2m}) gegen s konvergiert und überdies |t_{3m+1} − t_{3m}| = \frac{1}{2m+1} und |t_{3m+2} − t_{3m}| = \frac{1}{2m+1} − \frac{1}{4m+2} beliebig klein für genügend große m sind, gilt ∀ m ≥ N hinreichend groß: |t_{3m} − \frac{1}{2}s| ≤ |t_{3m} − \frac{1}{2}s_{2m}| + \frac{1}{2}|s_{2m} − s| = \frac{1}{2}|s_{2m} − s| < ε |t_{3m+1} − \frac{1}{2}s| ≤ |t_{3m} − \frac{1}{2}s| + |t_{3m+1} − t_{3m}| < ε |t_{3m+2} − \frac{1}{2}s| ≤ |t_{3m} − \frac{1}{2}s| + |t_{3m+2} − t_{3m}| < ε Demnach konvergiert die gesamte Folge (t_{n}) gegen \frac{1}{2}s und mit s > 0 folgt daraus s ≠ t; das Kommutativgesetz gilt in diesem Beispiel nicht. Bemerkung. Für absolut konvergente Reihen bleibt das Kommutativgesetz jedoch gültig.

Satz 2.21 (Großer Umordnungssatz). Ist eine Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n} absolut konvergent und eine Zerlegung der Reihe in endlich oder unendlich viele Teilreihen hat die Eigenschaft, daß jedes Glied der Folge (a_{n}) in genau einer Teilreihe als Summand auftritt, so gilt:

1. Jede dieser Teilreihen konvergiert absolut

2. Sind s_{1}, s_{2}, … die Summen der Teilreihen, dann konvergiert auch ∑ s_{i} absolut und ∑ s_{i} = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

Beweis der 1. Behauptung. Sei a_{ki} das i-te Glied der k-ten Teilreihe. Nun ist jede endliche Summe von absoluten Gliedern |a_{n}| durch s_{a} = ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| nach oben beschränkt. Somit ist auch jede endliche Summe von absoluten Gliedern |a_{ki}| der k-ten Teilreihe durch s_{a} beschränkt. Mit der Monotonie der Partialsummenfolgen (∑_{i=1}^{n} |a_{ki}|)_{n} ergibt sich daraus die absolute Konvergenz jeder Teilreihe.

Damit kann das Assoziativgesetz auf absolut konvergente Reihen ausgeweitet werden:

Satz 2.22 (Umordnungssatz). Jede aus Umordnung einer absolut konvergenten Reihe mit der Summe s hervorgegangene Reihe ist ebenfalls absolut konvergent mit der Summe s.

Eine Anwendung findet der große Umordnungssatz u.a. bei Doppelreihen. Ist ∑_{i,k=0}^{∞} a_{ik} eine solche, dann heißt

• z_{i} = ∑_{k=0}^{∞} a_{ik} die i-te Zeilensumme,

• s_{k} = ∑_{i=0}^{∞} a_{ik} die k-te Spaltensumme,

• D_{n} = ∑_{i+k=n} a_{ik} = ∑_{i=0}^{n} a_{i(n−i)} die n-te Diagonalensumme .

Satz 2.23 (Doppelreihensatz). Für eine Reihe ∑_{i,k=0}^{∞} a_{ik} sei die Menge aller endlicher Summen von absoluten Gliedern |a_{ik}| beschränkt. Sei ferner z_{i} = ∑_{k=0}^{∞} a_{ik}, s_{k} = ∑_{i=0}^{∞} a_{ik} und D_{n} = ∑_{i+k=n} a_{ik}. Dann gilt 1. ∑_{i=0}^{∞} z_{i}, ∑_{k=0}^{∞} s_{k} und ∑_{n=0}^{∞} D_{n} konvergieren absolut.

2. ∑_{i=0}^{∞} z_{i} = ∑_{k=0}^{∞} s_{k} = ∑_{n=0}^{∞} D_{n}

Beweis. Die Mengen der Indizes {i} = ℕ ∪ {0} und {k} = ℕ ∪ {0} sind abzählbar, also auch die Menge der Doppelindizes (i, k) ∈ ℕ_{0} × ℕ_{0}, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung (i, k) ↦ (m), m ∈ ℕ. Somit läßt sich ∑_{i,k=0}^{∞} a_{ik} auch als einfache Summe ∑_{m=1}^{∞} a_{m} schreiben. Diese Reihe ist absolut konvergent aufgrund von Monotonie und Beschränktheit. Nach dem großen Umordnungssatz konvergieren damit auch alle Teilreihen absolut, also insbesondere alle z_{i}, s_{k} und D_{n} und es ist ∑_{m=1}^{∞} a_{m} = ∑_{i=0}^{∞} z_{i} = ∑_{k=0}^{∞} s_{k} = ∑_{n=0}^{∞} D_{n}.

Beispiel. Es ist ∑_{i,j=2}^{∞} (\frac{1}{j})^{i} = 1. Dazu sei zunächst bemerkt, daß alle Summanden positiv sind. Desweiteren ist ∑_{i,j=2}^{∞} (\frac{1}{j})^{i} = ∑_{j=2}^{∞} (∑_{i=2}^{∞} (\frac{1}{j})^{i}) = ∑_{j=2}^{∞} (\frac{1}{j−1} − \frac{1}{j}) = 1

Doppelsummen treten auch bei der Multiplikation von Reihen auf.

Definition 2.16. Es heißt ∑_{i,k=0}^{∞} (a_{i}b_{k}) das Produkt (die Produktreihe) von ∑_{i=0}^{∞} a_{i} und ∑_{k=0}^{∞} b_{k}.

Satz 2.24. Das Produkt zweier absolut konvergenter Reihen mit den Summen a und b ist ebenfalls absolut konvergent und hat den Wert ab.

Definition 2.17. Sind ∑_{i=0}^{∞} a_{i}, ∑_{k=0}^{∞} b_{k} zwei Reihen und D_{n} = ∑_{i+k=n} a_{i}b_{k}, dann heißt ∑_{n=0}^{∞} D_{n} das Cauchy- Produkt der beiden Reihen.

Satz 2.25. Konvergieren ∑_{i=0}^{∞} a_{i} und ∑_{k=0}^{∞} b_{k} absolut, so auch ihr Cauchy- Produkt. Sein Wert ist (∑_{i=0}^{∞} a_{i}) (∑_{k=0}^{∞} b_{k}).

Beweis. Aus der absoluten Konvergenz von ∑_{i=0}^{∞} a_{i} und ∑_{k=0}^{∞} b_{k} folgt, daß jede endliche Summe von |a_{i}b_{k}| durch ∑_{i=0}^{∞} |a_{i}| ∑_{k=0}^{∞} |b_{k}| beschränkt ist. Es ist D_{n} = ∑_{i+k=n} a_{i}b_{k} die n-te Diagonalensumme der Doppelreihe ∑_{i,k=0}^{∞} a_{i}b_{k}. Nach dem Doppelreihensatz ist also ∑_{n=0}^{∞} D_{n} absolut konvergent und ∑_{n=0}^{∞} D_{n} = ∑_{i,k=0}^{∞} a_{i}b_{k}. Mit Satz 2.24 folgt daraus der zweite Teil der Behauptung.

Beispiel. Die geometrische Reihe konvergiert für |x| < 1. In dem Fall gilt (\frac{1}{1−x})^{2} = (1 + x + x^{2} + …)^{2}. Das Cauchy- Produkt der beiden Faktoren ist 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + … = ∑_{n=1}^{∞} nx^{n−1}. Nach Satz 2.25 ist also ∑_{n=1}^{∞} nx^{n−1} = (\frac{1}{1−x})^{2}

Satz 2.26 (Satz von Mertens^{13}). Ist eine Reihe absolut konvergent und eine weitere (nicht notwendigerweise absolut) konvergent, so konvergiert auch ihr Cauchy- Produkt.

Satz 2.27 (Abel^{14}). Konvergiert von zwei konvergenten Reihen mit den Summen a und b auch das Cauchy- Produkt, so ist dessen Wert gleich ab.

2.10 Potenzreihen

Definition 2.18. Eine Reihe der Form

P (x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + …

heißt Potenzreihe.

Es stellt sich die Frage, für welche Argumente x eine solche Potenzreihe konvergiert.

Lemma 2.28. Konvergiert eine Potenzreihe P (x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} in x_{0} ∈ ℝ\{0}, dann konvergiert P (x) auch absolut in jedem Punkt x ∈ ℝ mit |x| < |x_{0}|.

Beweis. ∃ S : |a_{n}x_{0}^{n}| ≤ S Damit ist |a_{n}x^{n}| = |a_{n}x_{0}^{n}(\frac{x}{x_{0}} )^{n}| = |a_{n}x_{0}^{n}| |(\frac{x}{x_{0}} )|^{n} ≤ S q^{n} mit q = |(\frac{x}{x_{0}} )| < 1. Daher hat P (x) die geometrische Reihe S ∑_{n=0}^{∞} q^{n} als Majorante und ist folglich absolut konvergent.

Satz 2.29. Ist P (x) eine Potenzreihe und R(x) = sup {r ∈ ℝ | P (r) konvergiert}, so konvergiert P (x) absolut ∀ x mit |x| < R; für |x| > R divergiert P (x).

Dies führt zur folgenden Definition:

Definition 2.19. Eine reelle Zahl R heißt Konvergenzradius einer Potenzreihe P (x) genau dann, wenn P (x) konvergiert für |x| < P (x) und divergiert für |x| > P (x).

13Franz Mertens (1840-1927)

14Niels Henrik Abel (1802-1829)

Beispiel. Bekanntermaßen hat die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} x^{n} den Konvergenzradius 1. Bemerkung. Aus dem Wurzel- und dem Quotientenkriterium folgen Möglichkeiten, den Konvergenzradius für Potenzreihen zu berechnen (vgl. Übungsaufgabe 31):

• R = \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}} (Cauchy - Hadamard^{15})

• R = \frac{1}{lim |\frac{a_{n+1}}{an} |}, sofern lim |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | existiert. (Euler^{16})

Im Folgenden sollen drei wichtige Potenzreihen aufgeführt werden.

• Die Exponentialreihe ist definiert als

exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + …

Ihr Konvergenzradius ist ∞, da lim \frac{(n+1)!}{n!} = lim (n + 1) = ∞.

• Die Logarithmusreihe

ln(x + 1) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − …

hat den Konvergenzradius 1.

• Für den Exponenten s ist die Binomialreihe

B_{s}(x) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}x^{n}

Dabei ist der Binomialkoeffizient \binom{s}{n} für n ∈ ℤ, s ∈ ℝ:

\binom{s}{n} = \{ \begin{matrix}\frac{s(s−1)...(s−n+1)}{n!} & für n > 0 \\ 1 & für n = 0 \\ 0 & für n < 0 \end{matrix}.

Ist s ∈ ℕ_{0}, so ist \binom{s}{n} = 0, falls n > s und B_{s}(x) wird zu der endlichen Reihe ∑_{n=0}^{s} \binom{s}{n}x^{n} mit der Summe (1 + x)^{s}. Für s ∉ ℕ_{0} hat B_{s}(x) den Konvergenzradius 1, denn

lim_{n→∞} |\begin{matrix}( & {s \atop n} & ) \\ ( & {s \atop n+1} & ) \end{matrix}| = lim_{n→∞} |\frac{n+1}{s−n} | = 1.

15Jacques Hadamard (1865-1963)

16Leonhard Euler (1707-1783)

Bemerkung. Aus dem Multiplikationssatz folgen direkt Additionstheoreme für bestimmte Funktionen. Beispiel. exp(x) ist absolut konvergent ∀x ∈ ℝ. Daher ist exp(x) exp(y) = (∑_{i=0}^{∞} \frac{x^{i}}{i!} ) (∑_{k=0}^{∞} \frac{y^{k}}{k!} )

= ∑_{j=0}^{∞} (∑_{i=0}^{j} \frac{x^{i}y^{j−i}}{i!(j−i)!}) (Cauchy- Produkt)

= ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{j!} (∑_{i=0}^{j} \binom{j}{i}x^{i}y^{y−i}) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{j!}(x + y)^{j}

= exp(x + y)

In der Praxis werden Funktionen häufig dadurch approximiert, daß von Potenzreihen, die gegen den gesuchten Funktionswert konvergieren, nur endliche viele Glieder aufsummiert werden:

∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} = ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}x^{k} + R_{n}(x) ≈ ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}x^{k}.

Die restliche Reihe, das Restglied R_{n}(x) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}x^{k}, welches nicht berechnet wird, stellt einen Fehler dar, für den es eine Abschätzung zu finden gilt.

Satz 2.30. ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} habe den Konvergenzradius R > 0. Dann folgt

∀ r < R, r > 0 ∃ C : |R_{n}(x)| < C_{n}|x|^{n} für |x| ≤ r.

Fällt überdies (a_{k})_{k} monoton, so ist R > 1 und

|R_{n}(x)| ≤ |a_{n}|\frac{|x|^{n}}{1 − |x|} für |x| < 1.

Beweis. Für |x| ≤ r < R ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k} und mithin R_{n}(x) absolut konvergent. Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung ergibt |R_{n}(x)| = |∑_{k=n}^{∞} a_{k}x^{k}| ≤ ∑_{k=n}^{∞} |a_{k}||x|^{k}. Mit dem Majorantenkriterium ist außerdem ∑_{k=n}^{∞} |a_{k}||x|^{k} ≤ |x|^{n}∑_{k=n}^{∞} |a_{k}||r|^{k−n} und folglich |R_{n}(x)| ≤ C_{n}|x|^{n} mit C_{n} = ∑_{j=0}^{∞} |a_{n+j}|r^{j}. Ist nun (a_{k})_{k} auch monoton fallend, so ist die geometrische Reihe |a_{0}|∑_{k=0}^{∞} |x|^{k} Majorante für ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}. Damit folgt R ≥ 1 und |R_{n}(x)| ≤ |a_{n}| ∑_{k=n}^{∞} |x|^{k} = |a_{n}||x|^{n} ∑_{k=0}^{∞} |x|^{k} = |a_{n}|\frac{|x|^{n}}{1−|x|}.

Beispiel. Sei |x| < 1 und |s| < 1. Man betrachte die lineare Näherung 1 + sx für (1 + x)^{s} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{s}{k}x^{n} = 1 + sx + R_{2}(x). Wegen |s| < 1 ist |\frac{s−k}{k+1} | < 1 und mit \binom{s}{k+1} = \frac{s−k}{k+1} \binom{s}{k} folgt, daß (|\binom{s}{k}|)_{k} monoton fallend ist. Nach Satz 2.30 läßt sich das Restglied abschätzen durch |R_{2}(x)| ≤ |\frac{s(s−1)}{2} | \frac{|x|^{2}}{1−|x|}

Beispiel. exp(x) = ∑_{k=0}^{n−1} \frac{x^{k}}{k!} + R_{n}(x). Das Restglied soll mit einer geometrischen Reihe abgeschätzt werden: |R_{n}(x)| ≤ ∑_{k=n}^{∞} |\frac{x^{k}}{k!} | = \frac{|x|^{n}}{n!} (1 + \frac{|x|}{n+1} + … + \frac{|x|^{k}}{(n+1)(n+2)...(n+k)} + …) ≤ \frac{|x|^{n}}{n!} (1 + \frac{|x|}{n+1} + … + \frac{|x|^{k}}{(n+1)^{k}} + …) = \frac{|x|^{n}}{n!} _{\frac{1}{1− \frac{|x|}{n+1}}} = \frac{|x|^{n}}{n!} \frac{n+1}{(n+1)−|x|}. Für den Fall |x| ≤ 1 + \frac{n−1}{2} vereinfacht sich dies zu |R_{n}(x)| ≤ \frac{2|x|^{n}}{n!} .

3 Reelle Funktionen

3.1 Grundlagen

Im vorangegangenen Abschnitt wurden Folgen, d.h. Abbildungen der Menge ℕ auf ℝ betrachtet. Nun sollen allgemeiner Abbildungen einer beliebigen Menge auf die Menge der reellen Zahlen ℝ betrachtet werden.

Definition 3.1. Eine reelle Funktion auf der Menge X ist eine Abbildung f : X → ℝ, die jedem x ∈ X eindeutig eine reelle Zahl f(x) zuordnet. Es heißt X der Definitionsbereich von f. Die Menge f(X) = {f(x) ∈ ℝ | x ∈ X} ist der Wertebereich (das Bild) von f.

Definition 3.2. Die Menge G(f) = {(x, f(x)) | x ∈ X} ⊂ X × ℝ heißt der Graph von f.

Durch Visualisierung des Graphen können einige Funktionen veranschaulicht werden. Beispiel. Der Graph der Sägezahnfunktion f(x) = x − ⌊x⌋, wobei ⌊x⌋ die größte ganze Zahl ≤ x ist, hat z.B. die Darstellung

Bemerkung. Der Graph muß nicht zusammenhängend sein.

Beispiel. f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ ℚ \\ 0 & für x ∈ ℝ\ℚ \end{matrix} läßt sich nicht zeichnen.

Bemerkung. Ist der Definitionsbereich einer Funktion die Menge der natürlichen Zahlen, so ist diese Funktion auch eine Folge.

Dementsprechend können einige Definitionen, die sich auf Folgen beziehen, auf reelle Funktionen übertragen werden.

Definition 3.3. Ist X ⊂ ℝ, so heißt f : X → ℝ monoton wachsend, wenn ∀ x_{1}, x_{2} ∈ X mit x_{1} < x_{2} gilt: f(x_{1}) ≤ f(x_{2}). f heißt monoton fallend, wenn ∀ x_{1}, x_{2} ∈ X mit x_{1} < x_{2} gilt: f(x_{1}) ≥ f(x_{2})

Analog können die Definitionen der strengen Monotonie, der Schranke, des Infimums und des Supremums von Folgen übertragen werden.

Definition 3.4. x_{0} ∈ X heißt Nullstelle einer Funktion f : X → ℝ, wenn f(x_{0}) = 0 ist. f verschwindet identisch auf dem Intervall I, wenn f(x) = 0 ∀x ∈ I. Die Funktion f heißt konstante Funktion, wenn f(x) = const. Ist X ⊂ ℝ, so heißt f : X → ℝ mit f(x) = x ∀ x ∈ X die identische Funktion, in Zeichen: id_{X}.

Definition 3.5. Haben zwei Funktionen f und g den gleichen Definitionsbereich, so ist (f ± g)(x) = f(x) + g(x), (f · g)(x) = f(x) · g(x), (\frac{f}{g} ) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} für g(x) ≠ 0.

Definition 3.6. Seien f : X → ℝ und g : Y → ℝ zwei Funktionen mit f(X) ⊂ Y. Dann ist die zusammengesetzte Funktion g ∘ f : X → ℝ mit (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Definition 3.7. Ist f : X → ℝ injektiv und X ⊂ ℝ, so heißt g : f(X) → ℝ mit (g ∘ f)(x) = x ∀ x ∈ X die inverse Funktion (die Umkehrfunktion) von f.

Bemerkung. Streng monotone Funktionen sind stets injektiv und haben somit auch eine Inverse. Bemerkung. Ist g die inverse Funktion von f, so ist der Graph von g: G(f) = {(f(x), x) | x ∈ X} der an der Geraden {(x, x) | x ∈ ℝ} gespiegelte Graph von f.

3.2 Polynome und rationale Funktionen

Definition 3.8. Eine Funktion p : ℝ → ℝ mit p(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und a_{i} ∈ ℝ heißt Polynom über ℝ in der Unbekannten x. Die Zahlen a_{i} sind die Koeffizienten des Polynoms p.

Sind alle Koeffizienten 0, dann ist p das Nullpolynom: p = 0. Die größte ganze Zahl n ≥ 0, für die der Koeffizient a_{n} ≠ 0 ist, heißt Grad des Polynoms p : n = grad(p). Der Grad des Nullpolynoms wird als −∞ definiert. Mit LT(p) wird der Leitterm a_{grad(p)}x^{grad(p)} des Polynoms p bezeichnet. Bei der Schreibweise eines Polynoms als ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} soll o.B.d.A. a_{n} ≠ 0 sei.

Bemerkung. • Zwei Polynome sind gleich, wenn sie koeffizientenweise übereinstimmen (algebraische Gleichheit).

• Zwei Polynome p und p̃ sind auch gleich, wenn p(x) = p̃(x) ∀ x ∈ ℝ (analytische Gleichheit).

• Der Vektorraum der Polynome über ℝ vom Grad n ist isomorph zum

ℝ-Vektorraum ℝ^{n+1}. Bemerkung. • Die Menge der Polynome ist abgeschlossen unter Addition,

Subtraktion und Multiplikation.

• Die Summe zweier Polynome vom Grad m und n hat einen Grad ≤ max (m, n).

• Das Produkt zweier Polynome vom Grad m und n hat den Grad m + n.

Satz 3.1. Jedes Polynom p ≠ 0 vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.

Beweis. Induktionsanfang: Das konstante Polynom p(x) = a, a ≠ 0 hat den Grad 0 und keine Nullstelle. Induktionsschritt: Die Behauptung sei wahr für den Grad n − 1. Wegen der Identität

x^{m} − y^{m} = (x − y) ∑_{i=0}^{m−1} x^{i}y^{m−1−i}

ist p(x) − p(x_{0}) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}(x^{i} − x_{0}^{i}) = (x − x_{0})p_{0}(x), wobei p_{0}(x) ein Polynom vom Grad (n-1) ist. Sei nun x_{0} eine Nullstelle von p. Damit ist p(x) = (x − x_{0})p_{0}(x). Dieses Produkt kann wegen der Körpereigenschaften von ℝ nur verschwinden, wenn einer der Faktoren verschwindet. (x − x_{0}) hat die eine Nullstelle x_{0} und p_{0} hat nach Induktionsvoraussetzung maximal n − 1 Nullstellen. Somit verschwindet p über höchstens n Argumenten.

Bemerkung. Es gibt nichtkonstante Polynome, die keine Nullstelle in ℝ haben. Beispiel. x^{2} + 1

Definition 3.9. Sind p(x) und q(x) mit q ≠ 0 Polynome, so ist R(x) = \frac{p(x)}{q(x)} eine rationale Funktion. An den Nullstellen von q ist sie nicht definiert.

Bemerkung. Analog zur Definition der rationalen Zahlen lassen sich rationale Funktionen durch Paare von Polynomen charakterisieren, die in Äquivalenzklassen zerlegt werden können. Bemerkung. Die Menge der rationalen Funktionen ist abgeschlossen unter den Operationen aus Definition 3.5.

Satz 3.2 (Polynomdivision). Für jede rationale Funktion \frac{p(x)}{q(x)}, wobei p(x) = ∑_{i=0}^{m} a_{i}x^{i} und q(x) = ∑_{i=0}^{n} b_{i}x^{i} Polynome in der Unbekannten x sind, gibt es Polynome g(x) und r(x), sodaß grad(r) < grad(q) oder r = 0 und

\frac{p}{q} = g + \frac{r}{q}  (3)

Beweis. Der Beweis gelingt durch Angabe eines Divisionsalgorithmus, welcher die Darstellung (3) als Ergebnis liefert. Ist grad(p) < grad(q), dann sind g = 0 und r = p die gesuchten Polynome. Ist grad(p) ≥ grad(q), so wird im ersten Schritt r_{1} = p − \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m−n}q gebildet, womit

p = g_{1}q + r_{1} mit g_{1} = \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m−n}

ist. Für r_{1} = 0 oder grad(r_{1}) < grad(q) liefern g = g_{1} und r = r_{1} die gewünschte Darstellung. Im anderen Falle wird der Algorithmus mit der Bildung von r_{2} = r_{1} − \frac{LT(r_{1})}{b_{n}x^{n}}q fortgeführt. Damit ist p = g_{1}q + r_{1} = (g_{1} + \frac{LT(r_{1})}{b_{n}x^{n}}) q + r_{2} = g_{2} + r_{2}. Sei allgemein p = g_{i}q + r_{i} die Darstellung von p nach dem i-ten Divisionsschritt. Für den Fall r_{i} ≠ 0 und grad(r_{i}) ≥ grad(q) besteht der (i + 1)-te Schritt dann aus der Bildung von r_{i+1} = r_{i} − \frac{LT(r_{i})}{b_{n}x^{n}}q, was eine Darstellung von p als

p = (g_{i} + \frac{LT(r_{i})}{b_{n}x^{n}}) q + r_{i+1} = g_{i+1}q + r_{i+1}

liefert. Dabei ist stets entweder r_{i+1} = 0 oder grad(r_{i+1}) < grad(r_{i}), da sich bei der Bildung von r_{i+1} der LT(r_{i}) und \frac{LT(r_{i})}{b_{n}x^{n}}LT(q) aufheben. Der Grad der Reste r_{i} verringert sich also in jedem Schritt, d.h. nach endlich vielen Schritten erhält man eine Darstellung

p = gq + r  mit  r = 0 oder grad(r) < grad(q)

Bemerkung. Die Polynome g und r aus Gleichung (3) sind eindeutig bestimmt.

Definition 3.10. Ist in p = gq für ein Polynom g, so heißt p teilbar durch q. q heißt trivialer Teiler von p, wenn grad(q) ∈ {grad(p), 0, −∞}; andernfalls ist q ein echter Teiler von p.

Definition 3.11. Ein Polynom ohne echten Teiler heißt irreduzibel (oder: prim).

Bemerkung. Jedes reduzible Polynom läßt sich eindeutig bis auf konstante Vielfache in irreduzible Faktoren zerlegen.

Mit dem Euklidischen Algorithmus läßt sich der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome p_{1}(x) und p_{2}(x) bestimmen: Man starte mit p_{1} und p_{2} und dividiere nach dem Algorithmus aus dem Beweis von Satz 3.2 in jedem Schritt p_{j} durch p_{j+1}, um als Rest das Polynom p_{j+2} zu erhalten: p_{j} = q_{j}p_{j+1} + p_{j+2}. Dieses ist entweder 0 oder hat einen kleineren Grad als p_{j+1}. Somit ist nach endlich vielen Schritten ein p_{k+2} = 0, d.h. p_{k} = q_{k}p_{k+1} für zwei Polynome p_{k} und p_{k+1} aus obiger Konstruktion. p_{k+1} ist nun der gesuchte größte gemeinsame Teiler von p_{1} und p_{2}, da der ggT zum einen jedes der p_{j} und damit auch p_{k+1} teilt und zum anderen wegen p_{k} = q_{k}p_{k+1} und p_{j} = q_{j}p_{j+1} + p_{j+2} alle Polynome p_{j}, also insbesondere p_{1} und p_{2}, durch p_{k+1} teilbar sind.

Satz 3.3. Ist g(x) der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome p_{1}(x) und p_{2}(x), dann gibt es Polynome A(x) und B(x), sodaß

g = Ap_{1} + Bp_{2}

Sind speziell p_{1}(x) und p_{2}(x) teilerfremd, so gibt es A(x) und B(x) mit

1 = Ap_{1} + Bp_{2}

Definition 3.12. Sind p und q Polynome mit grad(p) < grad(q), wobei q irreduzibel und nichtkonstant ist, dann heißt \frac{p}{q^{k}} mit k ∈ ℕ Partialbruch.

Satz 3.4. Jede rationale Funktion ist darstellbar als Summe von Partialbrüchen und eines Polynoms.

3.3 Stetigkeit von Funktionen

Definition 3.13. Die Funktion f : X → ℝ heißt stetig an der Stelle x_{0} ∈ X genau dann, wenn

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(x) − f(x_{0})| < ε für |x − x_{0}| < δ, x ∈ X

Weiterhin heißt f stetig in X, wenn f in allen Punkten x ∈ X stetig ist.

Definition 3.14. Eine Funktion f : X → ℝ heißt stetig in x_{0} ∈ X, wenn es zu jeder Umgebung V von f(x_{0}) eine Umgebung U von x_{0} gibt, sodaß ∀x ∈ U ∩ X gilt: f(x) ∈ V, d.h. f(U ∩ X) ⊂ V.

Bemerkung. Definition 3.13 und 3.14 sind äquivalent. 3.13 folgt aus 3.14, denn: Ist f : X → ℝ stetig in x_{0}, so gibt es für jede Umgebung U_{ε} von f(x_{0}) eine Umgebung U_{δ} von x_{0} so, daß f(U_{δ} ∩ X) ⊂ U_{ε}, d.h. |f(x) − f(x_{0})| < ε für |x − x_{0}| < δ. Beispiel. • Polynome und rationale Funktionen sind stetig in jedem Punkt

ihres Definitionsbereiches.

• sgn(x) ist unstetig für x = 0 und stetig für alle x ≠ 0.

• |x| ist stetig.

• ⌊x⌋ ist unstetig für x ∈ ℤ und stetig für alle übrigen x.

• f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ ℚ \\ 0 & für x ∈ ℝ\ℚ \end{matrix} ist für kein x ∈ ℝ stetig, denn:

Sei x_{0} ∈ ℝ beliebig. Jede Umgebung U_{δ}(x_{0}) enthält sowohl rationale als auch irrationale Punkte und somit auch ein x ∈ ℝ, sodaß |f(x) − f(x_{0})| = 1 ist. Für ε < 1 gibt es damit aber kein δ, sodaß f(x) ∈ U_{ε}(f(x_{0})) ∀ x ∈ U_{δ}(x_{0}).

Satz 3.5 (Folgenkriterium). Eine Funktion f : X → ℝ ist stetig in x_{0} ∈ X dann und nur dann, wenn für jede Folge (x_{n})_{n} in X, die gegen x_{0} konvergiert, die Folge (f(x_{n}))_{n} gegen f(x_{0}) konvergiert.

Beweis. Sei lim (f(x_{n})) = f(x_{0}) für jede Folge (x_{n}) in X mit lim (x_{n}) = x_{0}. Man nehme an, es gäbe ein ε > 0, sodaß kein δ mit der Eigenschaft |f(x) − f(x_{0})| < ε ∀ x mit |x − x_{0}| < δ existiert. Dann müßte es eine Folge (x_{n})_{n} so geben, daß |x_{n} − x_{0}| < \frac{1}{n} und |f(x_{n}) − f(x_{0})| ≥ ε ist. Diese Folge hat den Grenzwert x_{0}, aber (f(x_{n}))_{n} konvergiert nicht gegen f(x_{0}). Sei nun f stetig in x_{0} im Sinne von Definition 3.14, d.h. ∀ ε > 0 ∃ U(x_{0}), sodaß |f(x) − f(x_{0})| < ε für x ∈ U. Hat die Folge (x_{n})_{n} in X den Grenzwert x_{0}, so liegen fast alle x_{n} in U. Und mit |f(x_{n}) − f(x_{0})| < ε für diese x_{n} ist die Folge (f(x_{n}))_{n} konvergent gegen f(x_{0}).

Definition 3.15. Ist f : X → ℝ eine Funktion und X̃ ⊂ X, dann heißt f|X̃ : X̃ → ℝ Einschränkung von f auf X̃.

Bemerkung. Ist f stetig, so auch f|X̃. Die Umkehrung gilt nicht, wie das Beispiel f(x) = sgn(x), X = ℝ, X̃ = ℝ^{+} zeigt.

Satz 3.6. Sind f, g : X → ℝ in x_{0} ∈ X stetig, dann auch f ± g und f · g. Ist ferner g(x_{0}) ≠ 0, so ist auch \frac{f}{g} stetig in x_{0}.

Beweis. Sei (x_{n}) eine Folge in X, die gegen x_{0} konvergiert. Mit der Stetigkeit von f und g und Satz 3.5 folgt lim (f(x_{n})) = f(x_{0}) und lim (g(x_{n})) = g(x_{0}). Damit ist lim ((f ± g)(x_{n})) = lim (f(x_{n}) ± g(x_{n})) = lim (f(x_{n})) ± lim (g(x_{n})) = f(x_{0}) ± g(x_{0}) = (f ± g)(x_{0}) und analog lim ((fg)(x_{n})) = fg(x_{0}), d.h. f ± g und fg sind stetig nach dem Folgenkriterium. Für g(x_{0}) ≠ 0 gibt es eine Umgebung von x_{0}, in der g keine Nullstelle hat. In dieser liegen fast alle Glieder der Folge (x_{n}), da diese gegen x_{0} konvergieren sollte. Somit existiert lim (\frac{f}{g} (x_{n})) und lim (\frac{f}{g} (x_{n})) = \begin{matrix}lim & (f(x_{n})) \\ lim & (g(x_{n})) \end{matrix} = \frac{f}{g} (x_{0})

Bemerkung. Aus dem vorangegangenen Beweis bleibt noch zu zeigen, daß es für eine in x_{0} stetige Funktion g mit g(x_{0}) ≠ 0 eine Umgebung U von x_{0} gibt, sodaß g in U keine Nullstelle hat. Dazu betrachte man eine Umgebung U von x_{0}, für die |g(x) − g(x_{0})| < ε := \frac{1}{2}|g(x_{0})| ∀x ∈ U ist. Diese muß existieren, weil g stetig ist. Mit der Dreicksungleichung folgt |g(x)| ≥ |g(x_{0})| − |g(x) − g(x_{0})| > |g(x_{0})| − ε = \frac{1}{2}|g(x_{0})| > 0 ∀ x ∈ U, d.h. g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ U und U ist die gesuchte Umgebung.

Satz 3.7. Sind f : X → ℝ und g : Y → ℝ, wobei f(X) ⊂ Y, zwei in x_{0} ∈ X bzw. f(x_{0}) ∈ Y stetige Funktionen, so ist auch g ∘ f stetig in x_{0}.

Beweis. Sei (x_{n})_{n} eine gegen x_{0} konvergente Folge in X. Dann ist (f(x_{n}))_{n} wegen der Stetigkeit von f eine Folge in Y mit dem Grenzwert f(x_{0}). Und da auch g stetig ist, konvergiert (g(f(x_{n})))_{n} gegen g(f(x_{0})).

Bemerkung. Aus Satz 3.7 folgt direkt, daß |f| an einer Stelle stetig ist, wenn dies für f gilt.

Satz 3.8. Sei f : [a, b] → ℝ streng monoton und stetig. Dann existiert die Umkehrfunktion und sie ist stetig.

Beweis: Übungsaufgabe 36.

Satz 3.9 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a, b] → ℝ eine stetige Funktion. Dann existiert für jedes γ ∈ [f(a), f(b)] ein c ∈ [a, b], sodaß f(c) = γ ist.

Beweis. Sei o.B.d.A. f(a) < γ < f(b). Zu der nichtleeren, nach oben beschränkten Menge M = {t ∈ [a, b] | f(t) < γ} gibt es nach dem Vollständigkeitsaxiom ein c = sup (M) ∈ [a, b]. Für eine Folge (t_{n}) in M, die gegen c konvergiert, muß mit dem Folgenkriterium lim (t_{n}) = f(c) ≤ γ gelten. Nun ist f(x) ≥ γ ∀ x ∈ [c, b] nach Definition von c. Somit gilt für eine Folge (x_{n}) in [c, b] mit lim (x_{n}) = c : lim (f(x_{n})) = f(c) ≥ γ. Also ist f(c) = γ für ein c ∈ [a, b].

Bemerkung. Der Zwischenwertsatz ist Grundlage zahlreicher Existenzbeweise der Analysis.

Folgerung. • Das Polynom p(x) = x^{n} − a hat für alle n ∈ ℕ und a > 0 eine positive Nullstelle, da zum einen p(0) = −a < 0 und mit der Bernoulli- Ungleichung zum anderen p(1 + a) > 0 ist.

• Allgemein läßt sich die Existenz von Nullstellen in einigen Fällen mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zeigen.

• Jedes reelle Polynom p(x) mit ungeradem Grad hat mindestens eine Nullstelle.

Beweis. Sei o.B.d.A. p(x) = x^{n} + q(x) mit q(x) = a_{1}x^{n−1} + … + a_{n}. Sei weiterhin b = 1 + |a_{1}| + … + |a_{n}|. Damit ist |q(±b)| ≤ |a_{1}|b^{n−1} +…+|a_{n}| ≤ (|a_{1}| + … + |a_{n}|) b^{n−1} = (b−1)b^{n−1} < b^{n} Mit der Voraussetzung n ist ungerade erhält man schließlich p(b) ≥ b^{n} − |q(b)| > 0 und p(−b) ≤ −b^{n} + |g(−b)| < 0 und die Existenz einer Nullstelle im Intervall [−b, b] nach dem Zwischenwertsatz.

Satz 3.10 (Minimum und Maximum). Jede in einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] stetige Funktion f : [a, b] → ℝ ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an, d.h. ∃ ξ_{1}, ξ_{2} ∈ [a, b] mit f(ξ_{1}) = sup {f(x), x ∈ [a, b]} und f(ξ_{2}) = inf {f(x), x ∈ [a, b]}.

Beweis. Der Beweis soll für das Maximum geführt werden. Die Betrachtung von −f liefert den Beweis für das Minimum. Sei A := sup {f(x), x ∈ [a, b]}. Dabei soll vorläufig auch A = ∞ zugelassen werden. Dann existiert eine Folge (x_{n})_{n} in [a, b], sodaß lim_{n→∞} f(x_{n}) = A gilt. Diese hat aufgrund ihrer Beschränktheit durch a und b nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß mindestens einen Häufungswert und daher gibt es eine gegen ξ_{1} ∈ [a, b] konvergente Teilfolge (x_{n_{k}})_{k}. Wegen der Stetigkeit von f muß damit A = lim (f(x_{n_{k}})) = f(ξ_{1}) sein, d.h. f ist nach oben beschränkt und nimmt ihr Maximum an.

Bemerkung. Satz 3.10 gilt nicht für offene oder halboffene Intervalle.

Beispiel. • Die reelle Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist im Intervall (0, 1] zwar stetig, jedoch nicht beschränkt.

• Die Funktion f : (0, 1) → ℝ mit f(x) = x ist beschränkt, nimmt aber weder ihr Minimum noch ihr Maximum an.

Definition 3.16. Eine Teilmenge K von ℝ heißt kompakt, wenn jede Folge von Punkten in K eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in K enthält.

Beispiel. • Jedes abgeschlossene Intervall [a, b] ⊂ ℝ ist kompakt.

• Offene, nichtleere Intervalle sind nicht kompakt.

Satz. Die Vereinigung endlich vieler und der Durchschnitt beliebig vieler kompakter Mengen sind wieder kompakt.

Siehe dazu auch Übungsaufgabe 38. Beispiel. Die Konstruktion des Cantorschen Diskontinuums beginnt mit dem Intervall C_{0} := [0, 1] ∈ ℝ. Dieses wird gedrittelt und die beiden äußeren Teilintervalle werden einschließlich der Ränder zu der Menge C_{1} := C_{0}\ (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) vereinigt. Die Menge C_{2} entsteht durch Drittelung der beiden Intervalle von C_{1} in gleicher Weise: C_{2} := C_{1}\ ((\frac{1}{9}, \frac{2}{9}) ∪ (\frac{7}{9}, \frac{8}{9})). Allgemein entsteht C_{i} durch Drittelung der Intervalle von C_{j−1}. Jede der Mengen C_{i} ist dann die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen. Daher ist auch C := ⋂ C_{i} kompakt.

Definition 3.17. f : X → ℝ heißt gleichmäßig stetig auf X, wenn

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(x) − f(x̃)| < ε ∀ x, x̃ ∈ X mit |x − x̃| < δ

Bemerkung. Gleichmäßige Stetigkeit impliziert normale Stetigkeit nach Definition 3.13 im gesamten Definitionsbereich. Die Umkehrung gilt nicht. Beispiel. Man betrachte die Funktion f : (0, 1) → ℝ, wobei f(x) = \frac{1}{x} ist. Sei nun x̃ ∈ (0, 1) und ε > 0. Mit δ = min (\frac{x̃}{2}, \frac{x̃^{2}ε}{2}) gilt ∀ x ∈ (0, 1) mit |x − x̃| < δ: x̃ − x ≤ |x − x̃| < \frac{x̃}{2} ⇒ x > \frac{x̃}{2} Und somit ist |f(x) − f(x̃)| = |\frac{1}{x} − \frac{1}{x̃} | = |\frac{x̃−x}{xx̃} | < \frac{2|x−x̃|}{x̃^{2}} < \frac{2δ}{x̃^{2}} ≤ ε, d.h. f ist stetig in allen x̃ ∈ (0, 1). Jedoch liegt keine gleichmäßige Stetigkeit vor, da beispielsweise für ε = 1 zu jedem δ > 0 ein n ∈ ℕ existiert, sodaß einerseits |\frac{1}{n} − \frac{1}{2n} | < δ und andererseits |f (\frac{1}{n}) − f (\frac{1}{2n})| = n ≥ ε ist.

Die Lage kann sich ändern, wenn der Definitionsbereich ein anderer ist: Beispiel. Die reelle Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist gleichmäßig stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] (a > 0), denn für alle ε > 0 gilt ∀ x, x̃ ∈ [a, b] mit |x − x̃| < δ := a^{2}ε: |f(x) − f(x̃)| = |\frac{1}{x} − \frac{1}{x̃} | = |\frac{x̃−x}{xx̃} | < \frac{δ}{a^{2}} = ε.

Satz 3.11. Jede stetige Funktion f : K → ℝ mit kompaktem Definitionsbereich K ist auch gleichmäßig stetig.

Beweis. Wäre f nicht gleichmäßig stetig, dann gäbe es ein ε > 0, sodaß stets zwei x_{n}, x̃_{n} ∈ K existieren, für die |x_{n} − x̃_{n}| < \frac{1}{n} und |f(x_{n}) − f(x̃_{n})| ≥ ε gilt. Die Folge (x_{n})_{n} enthält nach Definition der Kompaktheit eine gegen x̃ ∈ K konvergente Teilfolge (x_{n_{k}})_{k}. Und weil |x_{n_{k}} − x̃_{n_{k}}| < \frac{1}{n_{k}} ist, konvergiert auch (x̃_{n_{k}})_{k} gegen x̃. f ist stetig nach Voraussetzung; daher gilt aufgrund des Folgenkriteriums lim_{k→∞} (f(x_{n_{k}}) − f(x̃_{n_{k}})) = lim_{k→∞} (f(x_{n_{k}})) − lim_{k→∞} (f(x̃_{n_{k}})) = f(x̃) − f(x̃) = 0, was jedoch einen Widerspruch zu der Annahme |f(x_{n_{k}}) − f(x̃_{n_{k}})| ≥ ε ∀ x_{n_{k}}, x̃_{n_{k}} darstellt.

Eine Folgerung aus der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion ist die Approximierbarkeit dieser mittels stückweise konstanter Funktionen:

Satz 3.12. Ist die Funktion f : [a, b] → ℝ stetig, so gibt es zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen φ, ψ : [a, b] → ℝ mit φ(x) ≤ f(x) und ψ(x) ≥ f(x), sodaß |φ(x) − ψ(x)| ≤ ε ∀ x ∈ [a, b].

Beweis. Zunächst sei bemerkt, daß f wegen der Kompaktheit von [a,b] auch gleichmäßig stetig ist, d.h. zu dem gegebenen ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(x) − f(x̃)| < \frac{ε}{2} ∀ x, x̃ ∈ [a, b] mit |x − x̃| < δ. Nun wird [a, b] in n äquidistante Teilintervalle der Länge \frac{b−a}{n} zerlegt, wobei n so groß gewählt wird, daß die Gitterweite \frac{b−a}{n} < δ ist. Die Zahlen t_{k} = a + k \frac{b−a}{n}, k = 0 … n sind dann die Ränder der Teilintervalle. Sei für t_{k−1} < x ≤ t_{k}: φ(x) = f(t_{k}) + \frac{ε}{2} und ψ(x) = f(t_{k}) − \frac{ε}{2}. Die so definierten Treppenfunktionen erfüllen offensichtlich |φ(x) − ψ(x)| ≤ ε. Überdies ist φ(x) = ψ(x) = f(x), wenn x = a = t_{0} und für die übrigen x aus einem Intervall (t_{k−1}, t_{k}] gilt |x − t_{k}| < δ und damit −\frac{ε}{2} < f(x)−f(t_{k}) < \frac{ε}{2} ⇒ φ(x) = f(t_{k})− \frac{ε}{2} < f(x) < f(t_{k})+ \frac{ε}{2} = ψ(x).

Definition 3.18. Eine Menge X ⊂ ℝ heißt offen, falls

∀ x ∈ X ∃ ε > 0 : U_{ε}(x) ⊂ X

Eine Menge X heißt abgeschlossen, wenn jede Cauchy-Folge in X einen Grenzwert in X besitzt.

Beispiel. Sind a, b ∈ ℝ und ist a < b, so ist

• das offene Intervall (a, b) offen,

• das abgeschlossene Intervall [a, b] abgeschlossen

• und das halboffene Intervall (a, b] weder offen noch abgeschlossen.

∅ und ℝ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.

Satz 3.13. Die Menge X ⊂ ℝ ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement ℝ\X offen ist.

Beweis: Übungsaufgabe 38a.

Satz 3.14. Eine Menge K ⊂ ℝ ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Beweis. Sei K abgeschlossen und beschränkt. Dann ist auch jede Folge (x_{n})_{n} aus K beschränkt. Diese muß nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß und Satz 2.11 eine konvergente Teilfolge (x_{n_{k}})_{k} enthalten, deren Grenzwert nach Definition der Abgeschlossenheit in K liegt, d.h. K ist kompakt. In der umgekehrten Richtung soll die Kontraposition der zu zeigenden Aussage bewiesen werden, d.h. ist K nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt, dann auch nicht kompakt. Sei zunächst K nicht beschränkt. Dann gibt es eine Folge (x_{n}) in K, sodaß |x_{n}| > n ist. Für jede Teilfolge (x_{n_{k}})_{k} ist dann auch |x_{n_{k}}| > n_{k}, d.h. jede Teilfolge divergiert. Also besitzt nicht jede Folge in K eine konvergente Teilfolge; K ist nicht kompakt. Sei schließlich K nicht abgeschlossen. Dann existiert eine Cauchy- Folge (x_{n}) in K, deren Grenzwert g nicht in K liegt. Jede Teilfolge von (x_{n}) hat auch den Grenzwert g ∉ K. Somit ist K nicht kompakt.

Bemerkung. Neben der Folgenkompaktheit von Definition 3.16 gibt es noch die Überdeckungskompaktheit. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel^{17} besagt, daß in ℝ beide äquivalent zueinander sind.

Satz 3.15 (Verallgemeinerung von 3.10). Jede über einer nichtleeren, kompakten Menge stetige reelle Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maximum an.

Beweis. Wie jener von Satz 3.10, wobei die Existenz der konvergenten Teilfolge durch die Kompaktheit gesichert wird.

3.4 Funktionenfolgen und -reihen

Man betrachte die Folge (f_{n})_{n∈ℕ} von Funktionen f_{n} : X → ℝ.

Definition 3.19. Die Funktionenfolge (f_{n}) konvergiert punktweise gegen die Funktion f : X → ℝ, wenn ∀ x ∈ X gilt: lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x). In diesem Falle schreibt man f_{n} → f.

Beispiel. Sei (f_{n}) eine Folge von Funktionen mit dem Definitionsbereich [0, 1] und f_{n}(x) = x^{n}.

Sie konvergiert gegen f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x < 1 \\ 1 & für x = 1 \end{matrix}

Die einzelnen f_{n} sind stetig, nicht jedoch f. Die punktweise Konvergenz der Folge impliziert also nicht die Stetigkeit des Grenzwertes.

Definition 3.20. Die Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ} konvergiert gleichmäßig in X, falls ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ, sodaß ∀ n ≥ N und ∀ x ∈ X gilt: |f(x) − f_{n}(x)| < ε. Dann schreibt man f_{n} \overrightarrow{→} f.

Im Unterschied zur punktweisen Konvergenz ist bei der gleichmäßigen Konvergenz das N, für das |f_{n}(x) − f(x)| < ε ∀ n ≥ N, nicht vom Argument x abhängig. Analog dazu wurde definiert, daß eine Funktion f stetig in X ist, wenn ∀ x ∈ X, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, sodaß ∀ y ∈ X : |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε und f ist gleichmäßig stetig, wenn ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, sodaß ∀ x, y ∈ X : |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε. Bei gleichmäßiger Stetigkeit ist also das δ aus obiger Definition nicht vom Argument x abhängig.

17Eduard Heine (1821-1881), Emile Borel (1871-1956)

Satz 3.16. Sind die Funktionen f_{n} : X → ℝ stetig und die Folge (f_{n})_{n} konvergiert gleichmäßig gegen f, so ist auch f stetig.

Beweis. Sei x ∈ X und ε > 0. Sei überdies N so groß gewählt, daß ∀ y ∈ X : |f_{N}(y) − f(y)| < \frac{ε}{3}. Dies ist möglich wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (f_{n})_{n}. Weiterhin läßt sich aufgrund der Stetigkeit von f_{N} ein δ > 0 finden, sodaß |f_{N}(y) − f_{N}(x)| < \frac{ε}{3} ∀ y ∈ X mit |x − y| < δ. Damit folgt für alle y ∈ X mit |x − y| < δ: |f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f_{N}(x)| + |f_{N}(x) − f_{N}(y)| + |f_{N}(y) − f(y)| < ε.

Satz 3.17. Ist (f_{n}) eine gleichmäßig konvergente Folge gleichmäßig stetiger Funktionen, dann ist auch ihr Grenzwert f gleichmäßig stetig.

Beweis. Wie Satz 3.16.

Analoge Sätze lassen sich für Funktionenreihen formulieren.

Definition 3.21. Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung || · || : V → ℝ, für die gilt:

a) ||v|| ≥ 0 ∀ v ∈ V. Gleichheit gilt nur für v = 0.

b) ∀ v ∈ V, c ∈ ℝ ist ||cv|| = |c| ||v||.

c) ∀ x, y ∈ V ist ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w|| (Dreiecksungleichung)

Beispiel. • Der Betrag | · | einer reellen Zahl ist eine Norm auf dem reellen Vektorraum ℝ.

• Die euklidische Norm auf ℝ^{n} ist definiert als |(x_{1}, …, x_{n})| =\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + … + x_{n}^{2}}.

Definition 3.22. Sei X ⊂ ℝ. Der ℝ-Vektorraum der stetigen Funktionen auf X wird bezeichnet mit C^{0}(X) = {f : X → ℝ | f ist stetig auf X}. Sei || · ||_{X} : C^{0}(X) → ℝ ∪ {∞, −∞} eine Abbildung mit

||f||_{X} = sup {|f(x)|, x ∈ X}

Lemma 3.18. Ist K eine nichtleere, kompakte Teilmenge von ℝ, so ist || · ||_{K} wie in Definition 3.22 eine Norm auf C^{0}(X). Insbesondere ist ||f||_{K} ≠ ±∞ ∀ f ∈ C^{0}(X).

Beweis. Ist f stetig, so auch |f| nach Satz 3.7. Mit Satz 3.15 nimmt |f| ihr Minimum und Maximum auf K an, ist also beschränkt und ||f||_{K} ≠ ±∞ ∀ f ∈ C^{0}(X). Die übrigen Eigenschaften einer Norm können durch Nachrechnen verifiziert werden.

Bemerkung. Ist X nicht kompakt, dann ist ||f||_{X} = ∞ für einige f ∈ C^{0}. Damit ist eine Umformulierung der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen möglich: (f_{n}) heißt gleichmäßig konvergent, wenn ||f_{n} − f||_{X} → 0 für n → ∞.

Satz 3.19 (Weierstraßsches Konvergenzkriterium). Sei X ⊂ ℝ und f_{n} : X → ℝ. Falls ∑_{n=1}^{∞} ||f_{n}||_{X} existiert, dann konvergiert ∑_{n=1}^{∞} f_{n} absolut und gleichmäßig.

Beweis. Es ist ∑_{n=1}^{∞} ||f_{n}||_{X} eine Majorante zu jeder Reihe ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x), denn |f_{n}(x)| ≤ ||f_{n}||_{X} per definitionem, d.h. ∑_{n=1}^{∞} f_{n} konvergiert punktweise absolut. Sei f der Grenzwert: f(x) = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x). Weil ∑_{n=1}^{∞} ||f_{n}||_{X} konvergiert, gibt es ∀ ε > 0 ein N ∈ ℕ, sodaß für M ≥ N gilt: ∑_{n=M+1}^{∞} ||f_{n}||_{X} < ε. Damit und mit der verallgemeinerten Dreiecksungleichung für absolut konvergente Reihen ergibt sich |f(x) − ∑_{n=1}^{M} f_{n}(x)| = | ∑_{n=M+1}^{∞} f_{n}(x)| ≤ ∑_{n=M+1}^{∞} |f_{n}(x)| ≤ ∑_{n=M+1}^{∞} ||f_{n}||_{X} < ε. Dies gilt ∀x ∈ X; daher ist ∑_{n=1}^{∞} f_{n} gleichmäßig konvergent.

Satz 3.20. Sei P (x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R. Dann ist P |_{(−R,R)} stetig.

Beweis. Sei r ∈ (0, R), K = [−r, r] und f_{n} : K → ℝ mit f_{n}(x) = a_{n}x^{n}. Für jedes x ∈ X gilt |f_{n}(x)| = |a_{n}x^{n}| ≤ ||f_{n}||_{K} = |a_{n}r^{n}|. Nach Satz 2.29 konvergiert P in r absolut, also auch ∑_{n=0}^{∞} ||f_{n}||_{K}. Mit dem Weierstraßschen Konvergenzkriterium folgt, daß ∑_{n=0}^{∞} f_{n} gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Diese ist stetig nach Satz 3.16, da alle f_{n} und somit auch alle endlichen Summen von f_{n} stetig sind. Damit ist P |_{[−r,r]} stetig für alle r ∈ (0, R), d.h. P |_{(−R,R)} ist stetig.

Folgerung. exp(x) ist stetig auf ℝ.

3.5 Grenzwerte von Funktionen

Definition 3.23. Eine Zahl x_{0} ∈ ℝ heißt Häufungspunkt einer Menge X, wenn jede Umgebung von x_{0} unendlich viele Punkte von X enthält.

Beispiel. • Die Menge der Häufungspunkte von (a, b) ist [a, b].

• Die Menge der Häufungspunkte von ℚ ist ℝ.

• Der einzige Häufungspunkt von \{\frac{1}{n}\} ist 0.

Definition 3.24. Sei f : X → ℝ und x_{0} ∈ ℝ. Eine in x_{0} stetige Funktion, welche auf X\{x_{0}} mit f übereinstimmt, heißt stetige Fortsetzung von f in x_{0}.

Bemerkung. Der Begriff der stetigen Fortsetzung ist nur dann interessant, wenn x_{0} ein Häufungspunkt von X ist, da sonst jede Funktion, die auf X\{x_{0}} mit f übereinstimmt und in x_{0} irgendeinen Wert hat, eine stetige Fortsetzung von f ist.

Satz 3.21. Ist x_{0} Häufungspunkt von X, so hat jede Funktion f auf X\{x_{0}} höchstens eine stetige Fortsetzung in x_{0}.

Definition 3.25. Die Funktion f : X → ℝ hat im Häufungspunkt x_{0} von X den Grenzwert a, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodaß |f(x) − a| < ε für alle x ∈ X\{x_{0}} mit |x − x_{0}| < δ. In diesem Fall schreibt man lim_{x→x_{0}} f(x) = a oder f(x) → a für x → x_{0}.

Bemerkung. • Für Grenzwerte von Funktionen gelten die üblichen Rechenregeln: wenn f(x) → a und g(x) → b, so gilt f(x) ± g(x) → a ± b, f(x) · g(x) → ab und \frac{f(x)}{g(x)} → \frac{a}{b}, falls b ≠ 0.

• Wenn f(x) → a für x → x_{0} und die Funktion g in a stetig ist, so geht (g ∘ f)(x) → g(a) für x → x_{0}.

• Aus f ≤ g folgt lim_{x→x_{0}} f(x) ≤ lim_{x→x_{0}} g(x), falls die Grenzwerte existieren.

Satz 3.22 (Folgenkriterium). Die Funktion f : X → ℝ hat in x_{0} den Grenzwert a, wenn für jede Folge (x_{n}) in X\{x_{0}} mit (x_{n}) → x_{0} gilt: lim_{x→x_{0}} f(x_{n}) = a.

Satz 3.23 (Cauchy-Kriterium für Funktionen). f : X → ℝ ist konvergent in x_{0} genau dann, wenn ∀ ε > 0 ∃ U^{∗}(x_{0}), sodaß |f(x) − f(x′)| < ε ∀ x, x′ ∈ U^{∗}(x_{0}) ∩ X, wobei U^{∗}(x_{0}) eine Umgebung U(x_{0}) ohne den Punkt x_{0} ist.

Definition 3.26. Die Funktion f : X → ℝ hat in x_{0} den linksseitigen (rechtsseitigen) Grenzwert a, wenn ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |f(x) − a| < ε für alle x ∈ X ∩ (x_{0} − δ, x_{0}) (bzw. x ∈ X ∩ (x_{0}, x_{0} + δ)). Für den linksseitigen Grenzwert schreibt man a = lim_{x↗x_{0}} f(x) und für den rechtsseitigen a = lim_{x↘x_{0}} f(x).

Beispiel. Die Funktion f(x) = ⌊x⌋ hat in g ∈ ℤ den linksseitigen Grenzwert g − 1 und den rechtsseitigen Grenzwert g. Daraus folgt insbesondere, daß f unstetig in allen g ∈ ℤ ist. Bemerkung. Die Rechenregeln und Existenzkriterien für beidseitige Grenzwerte gelten analog auch für einseitige.

Definition 3.27. Sei f : X → ℝ und X nicht nach oben beschränkt. Dann heißt a Grenzwert von f bei ∞, wenn ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℝ, sodaß |f(x) − a| < ε ∀ x ∈ X mit x > N. In Zeichen: a = lim_{x→∞} f(x) oder f(x) → a für x → ∞. Analog läßt sich der Grenzwert von f bei −∞ definieren.

Bemerkung. Der Grenzwert einer Funktion bei ∞ verallgemeinert den Begriff des Grenzwertes einer Folge, denn die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine Funktion ℕ → ℝ. Beispiel. lim_{x→∞} (\sqrt{x + 1} −\sqrt{x}) = 0, denn für x > N = \frac{1}{4ε^{2}} > 0 gilt \sqrt{x + 1} −\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} < \frac{1}{2\sqrt{x}} < ε. Bemerkung. Auch für die Grenzwerte von Funktionen bei ±∞ bleiben die Rechenregeln und Konvergenzkriterien erhalten.

Definition 3.28. Die Funktion f : X → ℝ hat in x_{0} ∈ ℝ̄ = ℝ ∪ {∞, −∞} den uneigentlichen Grenzwert ∞ (−∞), falls ∀ K ∈ ℝ ∃ U^{∗}(x_{0}), sodaß f(x) > K (bzw. f(x) < K) für alle x ∈ U^{∗}(x_{0}) ∩ X. Die Schreibweise ist lim_{x→x_{0}} f(x) = ∞.

3.6 Spezielle Funktionen

Satz 3.24. Die Exponentialfunktion exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} hat den Wertebereich ℝ^{+}. exp : ℝ → ℝ^{+} ist bijektiv und streng monoton wachsend.

Beweis. Für x ≥ 0 ist exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} > 0. Mit 1 = exp(0) = exp(x − x) = exp(x) exp(−x) folgt auch exp(−x) > 0, also besteht der Wertebereich von exp(x) nur aus positiven reellen Zahlen. Sei x̃ > x. Dann läßt sich x̃ schreiben als x + h, wobei h > 0. Wegen letzterem ist exp(h) > 1 und somit exp(x̃) = exp(x + h) = exp(x) exp(h) > exp(x), d.h. exp(x) ist streng monoton wachsend und mithin injektiv. Weiterhin gilt exp(x) ≥ 1 + x für x ≥ 0 und damit lim_{x→∞} exp(x) = ∞, und mit exp(−x) = \frac{exp(0)}{exp(x)} folgt lim_{x→−∞} exp(x) = lim_{x→∞} \frac{1}{exp(x)} = 0. Zusammen mit dem Zwischenwertsatz liefert dies die Surjektivität von exp(x) : ℝ → ℝ^{+}.

Definition 3.29. Die Umkehrfunktion von exp(x) heißt der natürliche Logarithmus ln : ℝ^{+} → ℝ.

Satz 3.25 (Funktionalgleichung des Logarithmus). Für xy > 0 gilt ln(xy) = ln(x) + ln(y).

Beweis. Sei ξ = ln(x) und η = ln(y), d.h. exp(ξ) = x und exp(η) = y. ⇒ ln(xy) = ln(exp(ξ) exp(η)) = ln(exp(ξ + η)) = ξ + η = ln(x) + ln(y)

Bisher wurden Potenzen a^{b} erklärt für a ∈ ℝ und natürliche Exponenten b ∈ ℕ durch a^{b} = a · a … a, für ganzzahlige Exponenten b ∈ ℤ unter Zuhilfenahme von a^{−b} = (a^{b})^{−1} = \frac{1}{a^{b}} und für rationale Exponenten b = \frac{p}{q} ∈ ℚ durch a^{b} = ^{q} \sqrt{a^{p}}. Aufgrund des Additionstheorems für die Exponentialfunktion ist außerdem e^{\frac{p}{q}} = exp(\frac{p}{q}) mit e = exp(1).

Definition 3.30. Für x ∈ ℝ und a ∈ ℝ^{+} ist a^{x} = exp(x ln(a))

Man betrachte die Exponentialfunktion exp (x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} . Es ist

lim_{x→0} \frac{exp(x) − 1}{x} = 1 ,

denn exp(x) = 1 + x + R_{2}(x) mit |R_{2}(x)| ≤ \frac{2|x|^{2}}{2!} = |x|^{2}. ⇒ | exp(x) − x − 1| ≤ |x|^{2} ⇒ |\frac{exp(x)−1}{x} − 1| ≤ |x|, woraus die Behauptung folgt.

Weiterhin gilt

lim_{x→0} \frac{ln (1 + x)}{x} = 1 .

Satz 3.26. ∀ n ∈ ℕ ist lim_{x→∞} \frac{exp(x)}{x^{n}} = ∞ und lim_{x→−∞} \frac{exp(x)}{x^{−n}} = 0, d.h. für x → ∞ wächst die Exponentialfunktion schneller als jede positive Potenzfunktion und für x → −∞ fällt sie schneller als jede negative Potenzfunktion.

Beweis. Wegen exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} gilt für x > 0: exp(x) > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} ⇒ \frac{exp(x)}{x^{n}} > \frac{x}{(n+1)!} und somit lim_{x→∞} \frac{exp(x)}{x^{n}} = ∞. Die Substitution y = −x liefert zudem lim_{x→−∞} \frac{exp(x)}{x^{−n}} = lim_{y→∞} \frac{y^{n}}{exp(y)} = 0.

Satz 3.27.

lim_{x→∞} \frac{ln(x)}{\sqrt[n]{x}} = 0 ,

d.h. der Logarithmus wächst schwächer als jede Wurzelfunktion.

Definition 3.31. Die Eulersche Zahl ist

e := exp(1) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n}

Für die schnelle Berechnung von e^{x} wird das Argument getrennt: x = ⌊x⌋ + (x − ⌊x⌋) = g + ϑ, wobei g eine ganze und ϑ eine positive Zahl kleiner 1 ist. Damit wird e^{x} = e^{g}e^{ϑ}. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten lassen sich schnell berechnen, wenn die Basis e gegeben ist, und für exp(ϑ) = ∑_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + R_{n+1}(ϑ) gilt die Restgliedabschätzung |R_{n+1}(ϑ)| ≤ 2\frac{ϑ^{n+1}}{(n+1)!} < \frac{2}{(n+1)!}, d.h. der Fehler wird (bis auf den Faktor 2) durch den ersten fehlenden Summanden bestimmt und fällt überdies sehr schnell. Beispiel. Bei der Berechnung von e mittels der Exponentialreihe ist das Restglied |R_{n+1}| < \frac{2}{(n+1)!}. Somit ergibt sich z.B. für n = 10 R_{11} < \frac{2}{11!} ≈ 6 · 10^{−8}, d.h. eine Genauigkeit von etwa 8 Dezimalstellen. Bemerkung. Die Berechnung von e mit Hilfe der Exponentialreihe hat gegenüber der mittels der Folge (1 + \frac{1}{n})^{n} den Vorteil einer sehr schnellen Konvergenz. Die Reihe konvergiert in der Größenordnung \frac{1}{n!}, die Folge mit \frac{1}{n}. Siehe auch Programmieraufgabe 2. Eine weitere Anwendung der Restgliedabschätzung ist der folgende Satz.

Satz 3.28. e ist irrational.

Beweis. Wäre e rational, so gäbe es teilerfremde p ∈ ℤ und q ∈ ℕ mit e = \frac{p}{q}. Außerdem ist dann q ≥ 2, da e offensichtlich nicht ganzzahlig ist. ⇒ e · q! ∈ ℤ und somit auch q! (e − 1 − \frac{1}{1!} − \frac{1}{2!} − … − \frac{1}{q!}) = q!R_{q+1} ∈ ℤ.

Dabei ist R_{q+1} das entsprechende Restglied der Reihe, für welches jedoch R_{q+1} < \frac{2}{(q+1)!} gilt, also q!R_{q+1} < \frac{2}{q} ≤ 1, was q!R_{q+1} ∈ ℤ widerspricht.

Im Folgenden sollen noch einige Grenzwerte von speziellen Funktionen angegeben werden.

(1) lim_{a→∞} a^{x} = \{ \begin{matrix}∞ & für x > 0 \\ 0 & für x < 0 \end{matrix} ,

denn a^{x} = exp(x ln(a)) wächst für x > 0 monoton und der Wertebereich ist nicht nach oben beschränkt. Für x < 0 ist a^{x} = \frac{1}{a^{y}} mit −x = y > 0, also lim_{a→∞} a^{x} = 0

(2) lim_{a→0} a^{x} = \{ \begin{matrix}0 & für x > 0 \\ ∞ & für x < 0 \end{matrix}

(3) lim_{a→∞} \frac{ln(a)}{a^{x}} = 0 für x > 0, denn ∃ n ∈ ℕ : \frac{1}{n} ≤ x, womit ab a ≥ 1 gilt: 0 ≤ \frac{ln(a)}{a^{x}} ≤ \frac{ln(a)}{\sqrt[n]{a}} und nach Satz 3.27 geht \frac{ln(a)}{\sqrt[n]{a}} → 0.

(4) lim_{a→0} a^{x} ln(a) = 0 für x > 0.

(5) lim_{x→∞} (1 + \frac{c}{x})^{x} = e^{c} mit c ∈ ℝ.

Zur Begründung wird der Folgengrenzwert lim_{n→∞} (1 + \frac{c}{n})^{n} = e^{c} verallgemeinert: lim_{x→∞} (1 + \frac{c}{x})^{x} = lim_{ζ→0} (1 + cζ)^{\frac{1}{ζ}} = lim_{ζ→0} exp (\frac{ln(1+cζ)}{ζ}) Und weil die Exponentialfunktion stetig in ℝ ist, ist dies gleich exp (lim_{ζ→0} \frac{1+cζ}{ζ} ) = exp (c · lim_{y→0} \frac{1+y}{y} ) = exp(c). Dabei ist ζ = \frac{1}{x} und y = cζ.

Satz 3.29. ∀ s ∈ ℝ, x ∈ (−1, 1) gilt

(1 + x)^{s} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}x^{n} = 1 + sx + \binom{s}{2}x^{2} + …

und

ln(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} − \frac{x^{4}}{4} + …

Bemerkung. Die Logarithmusreihe divergiert für x > 1, obgleich die Logarithmusfunktion dort definiert ist. Im Falle x = 1 konvergiert sie und demnach ist ln(2) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − . . .. Gregory^{18} fand 1668 eine Möglichkeit, Logarithmen für beliebige y > 0 zu berechnen: Die Reihen für ln(1 − x) und ln(1 + x) konvergieren absolut für x ∈ (−1, 1). Somit ist ln (\frac{1+x}{1−x}) = ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{2n−1}}{2n−1} = 2 (x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + …).

18James Gregory (1638-1675)

Beispiel. 2 = \frac{1+ \frac{1}{3}}{1− \frac{1}{3}} ⇒ ln(2) = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3})^{3} + …). Dabei liefern 6 Summanden bereits ca. 6 Dezimalstellen. Bisher wurden Folgen und Reihen in ℝ betrachtet. Die Überlegungen dazu lassen sich weitgehend auf die komplexen Zahlen ℂ übertragen.

Definition 3.32. Die Menge ℝ × ℝ zusammen mit den Verknüpfungen + und ·, definiert durch

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

heißt Menge der komplexen Zahlen ℂ. Anstelle von (a, b) schreibt man a + ib, wobei a, b ∈ ℝ sind. Re (a + ib) = a ist der Realteil, Im (a + ib) = b der Imaginärteil von a + ib. \overline{z} = a − ib ist die zu z = a + ib konjugiert komplexe Zahl. Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib wird definiert als |z| := \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.

Bemerkung. ℂ bildet einen nicht anordnenbaren Körper (vgl. Übungsaufgabe 15). Der Betrag einer komplexen Zahl ist eine Norm auf ℂ. Komplexe Zahlen lassen sich mit der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Dabei repräsentiert ein Punkt (a, b) der Ebene ℝ^{2} die komplexe Zahl a + ib. Der Betrag der Zahl entspricht dem Abstand des Punktes zum Ursprung.

Die Summe zweier Zahlen z = a + ib und w = c + id ist dann der vom Ursprung verschiedene Endpunkt einer Diagonalen des Parallelogramms, welches von (a, b), (c, d) ∈ ℝ^{2} aufgespannt wird:

Zur Interpretation der Multiplikation zweier komplexer Zahlen z und w betrachte man die Polarkoordinaten (r_{1}, φ) und (r_{2}, ψ) von z bzw. w. Das Produkt zw hat dann die Koordinaten (r_{1}r_{2}, φ + ψ).

Definition 3.33. Sei x ∈ ℝ. Dann ist

cos(x) := Re (exp(ix)) = \frac{exp(ix) + exp(−ix)}{2}
sin(x) := Im (exp(ix)) = \frac{exp(ix) − exp(−ix)}{2i}

Aus der Definition folgt

exp(ix) = cos(x) + i sin(x)

Sodann ergeben sich Additionstheoreme für den Sinus und Cosinus: cos(x + y) + i sin(x + y) = exp(i(x + y)) = exp(ix) exp(iy) = (cos(x) + i sin(x))(cos(y) + i sin(y)) = (cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)) + i(sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x))

⇒ cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)

Überdies sind Sinus- und Cosinusfunktion periodisch (Übungsaufgabe 45): cos(x + 2π) = cos(x) und sin(x + 2π) = sin(x) Weiterhin gilt cos(−x) = cos(x) und sin(−x) = − sin(x) und damit

1 = cos(0) = cos(x − x) = cos(x) cos(−x) − sin(x) sin(−x) = cos^{2}(x) + sin^{2}(x)

Die Reihendarstellung von Sinus und Cosinus erhält man aus der Exponentialreihe. Nach dem großen Umordnungssatz ist exp(ix) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(ix)^{n}}{n!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} + ∑_{n=0}^{∞} \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!} = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + i∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

⇒ cos(x) = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − …

sin(x) = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} − …

Bemerkung. Die Sinus- und die Cosinusreihe konvergieren absolut für ∀ x ∈ ℝ.

Mit Hilfe der Exponentialreihe erhält man eine Abschätzung für die Restglieder: cos(x) = ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n+2}(x) mit |R_{2n+2}(x)| ≤ \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} für |x| ≤ 2n + 3 und sin(x) = ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x) mit |R_{2n+3}(x)| ≤ \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!} für |x| ≤ 2n + 4 Bemerkung. Diese Restgliedabschätzung gilt sogar für alle x ∈ ℝ, was später gezeigt werden soll.

Folgerung 3.30.

lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1

Beweis. sin(x) = x + R_{3}(x) mit |R_{3}(x)| ≤ \frac{|x|^{3}}{3!} ⇒ | sin(x) − x| ≤ \frac{|x|^{3}}{6} ⇒ |\frac{sin(x)}{x} − 1| ≤ \frac{|x|^{2}}{6} und mit lim_{x→0} \frac{|x|^{2}}{6} = 0 folgt die Behauptung.

Definition 3.34. Für x ∈ ℝ\\{\frac{π}{2} + kπ , k ∈ ℤ\} ist tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}. Für x ∈ ℝ\\{kπ , k ∈ ℤ\} ist cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}.

Die Cosinusfunktion ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend, bildet also dieses Intervall bijektiv auf [−1, 1] ab. Die Sinusfunktion ist in [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] monoton wachsend und bildet das Intervall bijektiv auf [−1, 1] ab. tan(x) wächst streng monoton in (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) und lim_{x→± \frac{π}{2}} tan(x) = ±∞. Schließlich ist der Cotangens monoton fallend in (0, \frac{π}{2} ) und lim_{x→0} cot(x) = ∞, sowie lim_{x→π} cot(x) = −∞. Somit lassen sich die Umkehrfunktionen definieren.

Definition 3.35. Die Umkehrfunktion des

• cos ist arccos : [−1, 1] → ℝ (Arcuscosinus)

• sin ist arcsin : [−1, 1] → ℝ (Arcussinus)

• tan ist arctan : ℝ → ℝ (Arcustangens)

• cot ist arccot : ℝ → ℝ (Arcuscotangens)

Definition 3.36 (Hyperbelfunktionen). Sei x ∈ ℝ. Dann ist

• cosh(x) = \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) (Cosinus hyperbolicus)

• sinh(x) = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) (Sinus hyperbolicus)

• tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} = \frac{e^{x}−e^{−x}}{e^{x}+e^{−x}} (Tangens hyperbolicus)

• coth(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} = \frac{e^{x}−e^{−x}}{e^{x}+e^{−x}}, falls x ≠ 0 (Cotangens hyperbolicus)

Die Inversen der Hyperbelfunktionen sind arsinh (Areasinus hyperbolicus), arcosh, artanh und arcoth.

4 Differentialrechnung

Eine klassische Fragestellung der Differentialrechnung ist das Tangentenproblem. Dabei wird zu einer gegebenen Funktion die Tangente an deren Graphen in einem Punkt gesucht. Optimierungsprobleme können häufig dadurch gelöst werden, daß mit Hilfe der Differentialrechnung Extremwerte von Funktionen gefunden werden. Ferner ist die Differentialrechnung Grundlage für Differentialgleichungen, welche zahlreiche Sachverhalte der Naturwissenschaft und Technik modellieren.

4.1 Differentiation

Definition 4.1. Sei X ⊂ ℝ und f : X → ℝ eine reelle Funktion. f heißt differenzierbar in x_{0} ∈ X, wenn der Grenzwert

f′(x_{0}) := lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}

existiert. Er heißt Differentialquotient (oder Ableitung) von f an der Stelle x_{0}. Statt f′(x_{0}) schreibt man auch \frac{df}{dx}(x_{0}) oder Df(x_{0}). f heißt differenzierbar in X, wenn f differenzierbar in allen x ∈ X ist.

Alternativ dazu läßt sich auch f′(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{f(x_{0}+h)−f(x_{0})}{h} formulieren. Die geometrische Interpretation der Ableitung erschließt sich durch Betrachtung der Funktion s(x) = f(x_{0}) + \frac{f(x_{0}+h)−f(x_{0})}{h}(x − x_{0}). Ihr Graph ist die Sekante des Graphen von f durch die Punkte (x_{0}, f(x_{0})) und (x_{0} + h, f(x_{0} + h)). Ist f differenzierbar in x_{0}, so geht mit h → 0 die Steigung \frac{f(x_{0}+h)−f(x_{0})}{h} von s(x) gegen die der Tangenten an den Graphen von f im Punkt (x_{0}, f(x_{0})).

Beispiel. • f(x) = c ⇒ f′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{c−c}{x−x_{0}} = 0

• f(x) = cx ⇒ f′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{cx−cx_{0}}{x−x_{0}} = c

• f(x) = x^{n} ⇒ f′(x_{0}) = lim_{h→0} \frac{(x_{0}+h)^{n}−x_{0}^{n}}{h} = lim_{h→0} ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n}{k}x_{0}^{k}h^{n−k−1} = \binom{n}{n−1}x_{0}^{n−1} = nx_{0}^{n−1}

• f(x) = \frac{1}{x} ⇒ f′(x) = lim_{h→0} \frac{1}{h} (\frac{1}{x_{0}+h} − \frac{1}{x_{0}} ) = lim_{h→0} \frac{x_{0}−(x_{0}+h)}{hx_{0}(x_{0}+h)} = lim_{h→0} \frac{−1}{x_{0}(x_{0}+h)} = −\frac{1}{x_{0}^{2}}

• f(x) = \frac{1}{x^{n}} ⇒ f′(x) = \frac{−n}{x^{n+1}}

• f(x) = ln(x) ⇒ f′(x) = lim_{h→0} \frac{ln(x+h)−ln(x)}{h} = lim_{h→0} \frac{ln(1+ \frac{h}{x})}{x \frac{h}{x}} =

\frac{1}{x} lim_{h→0} \frac{ln(1+ \frac{h}{x})}{\frac{h}{x}} = \frac{1}{x}

• exp′(x) = exp(x)

Bemerkung. Die Exponentialfunktion ist invariant unter Differentiation.

• f(x) = sin(x) ⇒ f′(x) = lim_{h→0} \frac{sin(x+h)−sin(x)}{h} =

lim_{h→0} \frac{2 cos(\frac{2x+h}{2}) sin(\frac{h}{2})}{h} = lim_{h→0} cos (x + \frac{h}{2}) lim_{h→0} \frac{sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} = cos(x),

denn sin(x) − sin(y) = sin (\frac{x+y}{2} + \frac{x−y}{2} ) − sin (\frac{x+y}{2} − \frac{x−y}{2} ) = 2 cos (\frac{x+y}{2} ) sin (\frac{x−y}{2} )

• f(x) = cos(x) ⇒ f′(x) = − sin(x)

• abs(x) = |x| ist in 0 nicht differenzierbar, denn:

Sei h_{n} = (−1)^{n} \frac{1}{n}. Dann ist lim (h_{n}) = 0. Die Folge

q_{n} = \frac{|h_{n}+0|−|0|}{h_{n}} = (−1)^{n} besitzt jedoch keinen Grenzwert, d.h. abs ist in 0 nicht differenzierbar.

Definition 4.2. Die Funktion f : X → ℝ heißt in x_{0} von links differenzierbar, wenn der Grenzwert f′_{−}(x_{0}) = lim_{x↗x_{0}} \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} existiert. Analog dazu heißt f von rechts differenzierbar, falls f′_{+}(x_{0}) = lim_{x↘x_{0}} \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} existiert.

Bemerkung. Die Absolutfunktion ist in 0 von rechts und von links differenzierbar. So ist abs′_{+}(0) = 1 und abs′_{−}(0) = −1.

Satz 4.1. Sei a ∈ X und es existiere eine Folge (x_{n})_{n∈ℕ} in X\{a} mit lim (x_{n}) = a. Dann ist f : X → ℝ genau dann differenzierbar in a, wenn ∃ c ∈ ℝ : f(x) = f(a) + c(x − a) + φ(x) mit lim_{x→a} \frac{φ(x)}{x−a} = 0. Es ist dann c = f′(a).

Bemerkung. Die Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x_{0} ist gleichbedeutend mit der Approximierbarkeit durch eine lineare Funktion, welche die Tangente an den Graphen von f im Punkt (a, f(a)) beschreibt.

Satz 4.2. Ist die Funktion f : X → ℝ differenzierbar in a ∈ X, so ist sie dort auch stetig.

Beweis. Nach Satz 4.1 ∃ c ∈ ℝ : f(x) = f(a) + c(x − a) + φ(x) mit lim_{x→a} \frac{φ(x)}{x−a} = 0. ⇒ lim_{x→a} f(x) = f(a) + lim_{x→a} c(x − a) + lim_{x→a} (x − a)\frac{φ(x)}{x−a} = f(a) + lim_{x→a} (x − a) · lim \frac{φ(x)}{x−a} = f(a), d.h. f ist stetig in a.

Satz 4.3. Sind f, g : X → ℝ differenzierbar in x ∈ X und ist λ ∈ ℝ, dann sind auch f ± g, λf, fg : X → ℝ, sowie \frac{f}{g} : X → ℝ mit g(x) ≠ 0 differenzierbar an der Stelle x und es gilt:

(1) (f ± g)′(x) = f′(x) ± g′(x)

(2) (λf)′(x) = λf′(x)

(3) (fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) (Produktregel)

(4) (\frac{f}{g} )′ (x) = \frac{f′(x)g(x)−f(x)g′(x)}{[g(x)]^{2}} (Quotientenregel)

Beweis. Die Behauptungen (1) und (2) folgen direkt aus den Rechenregeln für Grenzwerte.

zu (3) (fg)′(x) = lim_{h→0} \frac{f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)}{h} = lim_{h→0} \frac{f(x+h)(g(x+h)−g(x))}{h} + lim_{h→0} \frac{g(x)(f(x+h)−f(x))}{h} =

f(x) lim_{h→0} \frac{g(x+h)−g(x)}{h} + g(x) lim_{h→0} \frac{(f(x+h)−f(x))}{h} =
g′(x)f(x) + g(x)f′(x)

zu (4) g ist stetig in x und g(x) ≠ 0; somit gibt es eine Umgebung U_{ε}(x) mit g(y) ≠ 0 ∀ y ∈ U_{ε}. Für |h| < ε folgt

(\frac{1}{g})′ (x) = lim_{h→0} \frac{1}{h} (\frac{1}{g(x+h)} − \frac{1}{g(x)}) =
lim_{h→0} \frac{g(x)−g(x+h)}{h} lim_{h→0} \frac{1}{g(x)g(x+h)} = \frac{−g′(x)}{[g(x)]^{2}}
Mit (3) folgt daraus (\frac{f}{g} )′ (x) = \frac{f′(x)g(x)−f(x)g′(x)}{[g(x)]^{2}}.

Beispiel. • f_{n}(x) = x^{n} ⇒ f′_{n}(x) = nx^{n−1}, denn für n = 0 ist dies offenbar wahr und aus f′_{n−1}(x) = (n − 1)x^{n−2} folgt f′_{n}(x) = (f_{n−1}f_{1})′(x) = (n − 1)x^{n−2} · x + x^{n−1} = nx^{n−1}.

• Für f(x) = \frac{1}{x^{n}} folgt aus der Quotientenregel f′(x) = \frac{−nx^{n−1}}{x^{2n}} = −\frac{n}{x^{n+1}} • f(x) = tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} ⇒ f′(x) = \frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = \frac{1}{cos^{2}(x)}

oder f′(x) = \frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = 1 + tan^{2}(x)

Satz 4.4 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei X ⊂ ℝ abgeschlossen und f : X → ℝ stetig und streng monoton. Weiterhin sei φ : f(X) → ℝ die Umkehrfunktion von f. Ist dann f differenzierbar in x und f′(x) ≠ 0, so auch φ und es gilt φ′(y) = \frac{1}{f′(φ(y))}.

Beispiel. • ln ist die Umkehrfunktion von exp. Mit Satz 4.4 folgt daraus ln′(x) = \frac{1}{exp′(ln(x))} = \frac{1}{x}.

• arcsin′(x) = \frac{1}{cos(arcsin(x))} = \frac{1}{\sqrt{1−sin^{2}(arcsin(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}}

• arctan′(x) = \frac{1}{1+tan^{2}(arctan(x))} = \frac{1}{1+x^{2}}

Satz 4.5 (Kettenregel). Ist f : X → ℝ differenzierbar in x ∈ X und g : Y → ℝ mit f(X) ⊂ Y differenzierbar in f(x), so ist g ∘ f differenzierbar in x und es gilt (g ∘ f)′(x) = g′(f(x)) · f′(x).

Beispiel. • Wenn f : ℝ → ℝ differenzierbar und F (x) = f(ax + b), dann ist F′(x) = a · f(ax + b)

• Sei α ∈ ℝ und x ∈ ℝ^{+}. Mit x^{α} = exp(α ln(x)) folgt \frac{dx^{α}}{dx} = exp(α ln(x)) (α\frac{1}{x}) = x^{α} \frac{α}{x} = αx^{α−1} für beliebige α ∈ ℝ.

• Mit Hilfe der Kettenregel läßt sich die Quotientenregel herleiten: Ist g : X → ℝ differenzierbar in x, dann gilt (\frac{1}{g})′ (x) = −\frac{1}{[g(x)]^{2}} · g′(x)

und somit (\frac{f}{g} )′ (x) = \frac{f′(x)g(x)−f(x)g′(x)}{[g(x)]^{2}} aufgrund der Produktregel.

• (logarithmische Ableitung) Ist f : [a, b] → ℝ in [a, b] differenzierbar und hat dort keine Nullstelle, so ist ln |f| differenzierbar in (a, b) mit (ln |f|)′ = \frac{f′}{f}. Beispiel. (ln cosh)′ = \frac{sinh}{cosh} = tanh

Seien f_{1}, f_{2}, …, f_{n} in (a, b) differenzierbar und dort ohne Nullstelle. Für F := |f_{1}|^{a_{1}}|f_{2}|^{a_{2}} · . . . · |f_{n}|^{a_{n}} mit a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ ℝ gilt dann

\frac{F′}{F} = a_{1} \frac{f′_{1}}{f_{1}} + a_{2} \frac{f′_{2}}{f_{2}} + … + a_{n} \frac{f′_{n}}{f_{n}} ,

denn \frac{F′}{F} = (ln |F |)′ = (a_{1} ln |f_{1}| + a_{2} ln |f_{2}| + … + a_{n} ln |f_{n}|)′. Wegen F′ = \frac{F′}{F} F lassen sich mit dieser Regel Produkte ableiten.

Beispiel. F (x) = \sqrt{\frac{1+x^{2}}{1−x^{2}}} , wobei |x| < 1 gelten soll.
F (x) = (1 + x^{2})^{\frac{1}{2}} (1 − x^{2})^{− \frac{1}{2}}
⇒ \frac{F′}{F} (x) = \frac{1}{2} \frac{2x}{1+x^{2}} + \frac{1}{2} \frac{2x}{1−x^{2}} = \frac{2x}{(1+x^{2})(1−x^{2})}
⇒ F′(x) = \frac{2x}{(1+x^{2})(1−x^{2})} \sqrt{\frac{1+x^{2}}{1−x^{2}}}

Definition 4.3. Sei f differenzierbar. Ist auch f′ differenzierbar, dann heißt \frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}} = f′′(x) := (f′(x))′ die zweite Ableitung von f nach x. Analog dazu ist die k-te Ableitung (k ∈ ℕ) von f, sofern sie existiert, rekursiv definiert durch f^{k}(x) = \frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}} := \frac{d}{dx} (\frac{d^{k−1}f(x)}{dx^{k−1}}) und f^{0} = f. f heißt k mal stetig differenzierbar, falls die k-te Ableitung von f existiert und stetig ist.

4.2 Extrema und Mittelwertsätze

Definition 4.4. Die Funktion f : X → ℝ hat in x_{0} ∈ X ein globales Maximum, wenn f(x) ≤ f(x_{0}) ∀ x ∈ X. f hat in x_{0} ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U(x_{0}) gibt, sodaß f(x) ≤ f(x_{0}) ∀ x ∈ U ∩ X

Lokales und globales Minimum werden analog definiert. Bemerkung. Jede auf einer nichtleeren, kompakten Menge stetige Funktion hat dort nach Satz 3.15 stets ein globales Minimum und Maximum.

Satz 4.6. Ist f : (a, b) → ℝ differenzierbar in x ∈ (a, b) und hat dort ein lokales Extremum, so folgt f′(x) = 0.

Beweis. Sei x eine lokale Minimumsstelle. Dann ∃ ε > 0 : (x − ε, x + ε) ⊂ (a, b) und f(ξ) ≥ f(x) ∀ ξ ∈ (x − ε, x + ε). ⇒ f′_{+}(x) = lim_{ξ↘x} \frac{f(ξ)−f(x)}{ξ−x} ≤ 0 und f′_{−}(x) = lim_{ξ↗x} \frac{f(ξ)−f(x)}{ξ−x} ≥ 0. Da nun f differenzierbar in x ist, folgt f′_{+}(x) = f′_{−}(x) = f′(x) und damit f′(x) = 0.

Bemerkung. • Mit vorangegangenem Satz ist die notwendige Bedingung f′(x) = 0 für ein lokales Extremum in x gegeben. Sie ist nicht hinreichend, wie das Beispiel f(x) = x^{3} zeigt; es ist f′(0) = 0, jedoch hat f kein lokales Extremum.

• Ist der Definitionsbereich der Funktion f ein kompaktes Intervall, so besitzt f immer ein Extremum. Liegt dieses am Rand, so muß die Ableitung dort nicht 0 sein. Beispiel. f : [0, 1] → ℝ , f(x) = x ⇒ f(x) ≤ f(1) ∀ x ∈ [0, 1] , f′(1) = 1 Satz 4.7 (Satz von Rolle^{19}). Ist f [a, b] → ℝ stetig in [a, b], differenzierbar in (a, b) und es gilt f(a) = f(b), dann

∃ ξ ∈ (a, b) : f′(ξ) = 0

Beweis. Ist f konstant, so ist f′(ξ) = 0 ∀ ξ ∈ (a, b). Falls f nicht konstant ist, so nimmt sie in einem ξ ∈ (a, b) ihr Maximum oder Minimum an. Nach Satz 4.6 ist f′(ξ) = 0 für dieses ξ.

Bemerkung. Insbesondere folgt aus dem Satz von Rolle, daß zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion stets eine Nullstelle der Ableitung liegt.

Satz 4.8 (Mittelwertsatz). Ist f [a, b] → ℝ stetig in [a, b] und differenzierbar in (a, b), dann

∃ ξ ∈ (a, b) : \frac{f(a) − f(b)}{a − b} = f′(ξ)

Beweis. Die Hilfsfunktion F : [a, b] → ℝ sei definiert durch F (x) = f(x) − \frac{f(a)−f(b)}{a−b}(x − a). Sie ist ebenso wie f stetig in [a, b] und differenzierbar in (a, b). Außerdem gilt F (a) = F (b) = f(a). Damit folgt aus dem Satz von Rolle die Existenz eines ξ ∈ (a, b), für das F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(a)−f(b)}{a−b} = 0, also \frac{f(a)−f(b)}{a−b} = f′(ξ) ist.

Als Folgerung ergibt sich

Satz 4.9 (Monotoniekriterium). Sei f : (a, b) → ℝ differenzierbar in (a, b). Wenn f′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b), so ist f monoton wachsend in (a, b). f wächst streng monoton, falls f′(x) > 0 ∀ x gilt. Wenn f′(x) ≤ 0 (f′(x) < 0) ∀ x ∈ (a, b) gilt, dann fällt f in (a, b) (streng) monoton.

19nach Michel Rolle (1652-1719)

Bemerkung. Für eine in (a, b) differenzierbare Funktion, die außerdem in a und b stetig ist, gilt Satz 4.9 auch im abgeschlossenen Intervall [a, b].

Satz 4.10. Sei f : (a, b) → ℝ differenzierbar in (a, b) und f′(x_{0}) = 0 für ein x_{0} ∈ (a, b). Dann hat f in x_{0} ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung (α, β) von x_{0} gibt, sodaß f′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (α, x_{0}) und f′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (x_{0}, β) ist. Analog hat f in x_{0} ein lokales Maximum, falls es eine Umgebung (α, β) von x_{0} gibt, sodaß f′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (α, x_{0}) und f′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (x_{0}, β) ist.

Satz 4.11. Eine Funktion f : (a, b) → ℝ sei zweimal stetig differenzierbar und für x_{0} ∈ (a, b) sei f′(x_{0}) = 0. Dann besitzt f in x_{0} ein lokales Minimum (Maximum), wenn f′′(x_{0}) > 0 (f′′(x_{0}) < 0) ist.

Beweis. Da f′′ stetig ist, existiert für den Fall f′′(x_{0}) > 0 eine Umgebung (α, β) von x_{0}, in der f′′(x) > 0 ist. Also ist f′ nach Satz 4.9 streng wonoton wachsend in (α, β). Mit der Voraussetzung f′(x_{0}) = 0 und Satz 4.10 folgt, daß f in x_{0} ein lokales Minimum hat. Wenn f′′(x_{0}) < 0 ist, dann existiert eine Umgebung (α, β) von x_{0}, in der f′′(x) < 0 ist, womit f′ streng monoton fällt und f ein lokales Maximum in x_{0} hat.

Das Kriterium f′(x) = 0, f′′(x) ≠ 0 für ein lokales Extremum von f in x ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. Beispiel. f(x) = x^{4} hat in 0 ein lokales Minimum und es ist f′′(x) = 0.

Eine weitere Folgerung aus dem Mittelwertsatz ist

Satz 4.12. Sei f : [a, b] → ℝ stetig in [a, b] und differenzierbar in (a, b). Ist die Ableitung von f beschränkt, d.h. ∃ m, M ∈ ℝ mit m ≤ f′(ξ) ≤ M ∀ ξ ∈ (a, b), dann gilt ∀ x, y ∈ [a, b] mit x ≤ y : m(y − x) ≤ f(y) − f(x) ≤ M(y − x).

Für M = m = 0 ergibt sich

Folgerung 4.13. Ist f : [a, b] → ℝ stetig in [a, b], differenzierbar in (a, b) und f′(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b), so ist f eine konstante Funktion.

Damit läßt sich die Exponentialfunktion durch eine Differentialgleichung charakterisieren:

Satz 4.14. Ist f : ℝ → ℝ überall differenzierbar, c ∈ ℝ und es gilt f′(x) = c · f(x) ∀ x, dann folgt f(x) = Ae^{cx} mit A = f(0).

Beweis. Sei F (x) = f(x)e^{−cx}. ⇒ F′(x) = f′(x)e^{−cx} − cf(x)e^{−cx} = e^{−cx}(f′(x) − cf(x)) = 0 Also ist F wegen Folgerung 4.13 eine konstante Funktion. ⇒ F (x) = F (0) = f(0) = A, d.h. f(x) kann höchstens Ae^{cx} sein. Einsetzen von f(x) = Ae^{cx} in die Differentialgleichung ergibt, daß dieses f auch wirklich eine Lösung ist.

Beispiel (Methode der kleinsten Quadrate). Zu gegebenen a_{1}, a_{2}, … a_{n} ∈ ℝ wird ein a ∈ ℝ gesucht, sodaß ∑_{i=1}^{n} (a − a_{i})^{2} minimal ist, d.h. es ist dasjenige Argument von f(x) = (x − a_{1})^{2} + (x − a_{2})^{2} + … + (x − a_{n})^{2} zu finden, in dem f ein Minimum hat. f′(x) = 2((x − a_{1})^{2} + … + (x − a_{2})^{2}) = 0 ⇒ x = \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}, d.h. das arithmetische Mittel a = \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} der a_{i} ist die einzige potentielle (lokale) Extremstelle. f′′(a) = 2n > 0 zeigt, daß f in a tatsächlich ein Minimum hat.

Satz 4.15 (Erweiterter Mittelwertsatz). Seien f, g : [a, b] → ℝ stetig im Definitionsbereich und differenzierbar in (a, b). Sei überdies g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a, b). Dann ist g(a) ≠ g(b) und ∃ ξ ∈ (a, b) mit

\frac{f(a) − f(b)}{g(a) − g(b)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}

Beweis. Es ist g(a) ≠ g(b), da es andernfalls ein ξ ∈ (a, b) mit f(ξ) = 0 gäbe, was laut Voraussetzung nicht der Fall ist. Sei nun F (x) = f(x) − \frac{f(a)−f(b)}{g(a)−g(b)}(g(x) − g(a)). F ist stetig in [a, b] und differenzierbar in (a, b). Es gilt F (a) = F (b) = f(a), daher ∃ ξ ∈ (a, b) mit F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(a)−f(b)}{g(a)−g(b)}g′(ξ) = 0.

Der folgende Satz ist eine Anwendung des erweiterten Mittelwertsatzes.

Satz 4.16 (Regel von de l’Hôspital^{20}). Sind f, g : (a, b) → ℝ differenzierbar, g′(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a, b) und es gilt lim_{x↘a} f(x) = lim_{x↘a} g(x) = 0 oder lim_{x↘a} f(x) = lim_{x↘a} g(x) = ∞, so folgt: Wenn lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)} existiert, dann auch lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)} und

lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}

Beispiel. lim_{x↘0} x ln(x) = lim_{x↘0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x↘0} \frac{\frac{1}{x}}{− \frac{1}{x^{2}}} = 0 Bemerkung. In einigen Fällen läßt sich der Grenzwert einer Funktion erst durch mehrmaliges Anwenden der Regel von de l’Hôspital bestimmen.

20Guillaume de l’Hôspital (1661-1704)

4.3 Taylorpolynome

Wegen Satz 4.1 läßt sich eine in a ∈ X differenzierbare Funktion f : X → ℝ durch die Funktion L(x) = f(a) + f′(a)(x − a) linear approximieren, wobei für den Fehler R(x) = f(x) − L(x) gilt: lim_{x→a} \frac{R(x)}{x−a} = 0. Es ist außerdem L(a) = f(a) und L′(a) = f′(a). Sei nun f eine in a n mal differenzierbare Funktion. Gesucht wird ein Polynom T mit T (a) = f(a), T′(a) = f′(a), … T^{(n)}(a) = f^{(n)}(a). Der Ansatz T (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}(x − a)^{k} liefert mit T^{(k)}(a) = a_{k}k! = f^{(k)}(a) die Koeffizienten a_{k} = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}

Definition 4.5. Sei f : X → ℝ eine in a ∈ X n-mal differenzierbare Funktion. Dann heißt

T_{n}f(x, a) := f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x − a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x − a)^{2} + … + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

das n-te Taylorpolynom^{21} von f in a.

Für eine Funktion f mit der Darstellung f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x − a)^{k} ist das n-te Taylorpolynom die n-te Partialsumme der Reihe.

Satz 4.17 (Lagrange-Form des Restgliedes^{22}). Sei f : [a, b] → ℝ eine in (a, b) n+1 mal differenzierbare und in [a, b] n mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gibt es zu jedem x ∈ (a, b] ein ξ ∈ (a, x), sodaß gilt

R_{n+1}(x) := f(x) − T_{n}f(x, a) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1}

Beweis. Sei g : [a, b] → ℝ definiert durch g(y) := f(x)−f(y)− \frac{f′(y)}{1!}(x−y)− \frac{f′′(y)}{2!}(x−y)^{2}−…− \frac{f^{(n)}(y)}{n!}(x−y)^{n}−m\frac{(x−y)^{n+1}}{(n+1)!} mit der Konstanten m = R_{n+1}(x)\frac{(n+1)!}{(x−a)^{n+1}} . Diese Funktion ist stetig in [a, b] und differenzierbar in (a, b), da f in diesen Intervallen n mal stetig differenzierbar bzw. n+1 mal differenzierbar ist. g′(y) = −f′(y) − (\frac{f′′(y)}{1!}(x − y) − \frac{f′(y)}{1!}) − (−2\frac{f′′(y)}{2!}(x − y) + \frac{f′′′(y)}{2!}(x − y)^{2}) − (\frac{f^{(4)}(y)}{3!}(x − y)^{3} − 3\frac{f′′′(y)}{3!}(x − y)^{2}) − (−4\frac{f^{(4)}(y)}{4!}(x − y)^{3} + \frac{f^{(5)}(y)}{4!}(x − y)^{4})

21nach Brook Taylor (1685-1731)

22nach Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

− . . . . . . − (\frac{f^{(n+1)}(y)}{n!}(x − y)^{n} − n\frac{f^{(n)}(y)}{n!}(x − y)^{n−1}) + m\frac{(x−y)^{n}}{n!} = −\frac{f^{(n+1)}(y)}{n!}(x − y)^{n} + m\frac{(x−y)^{n}}{n!} Es gilt g(x) = 0 und g(a) = R_{n+1}(x) − m\frac{(x−a)^{n+1}}{(n+1)!} = 0. Nach dem Satz von Rolle existiert daher ein ξ zwischen a und x, sodaß g′(ξ) = −\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{n!}(x − ξ)^{n} + m\frac{(x−ξ)^{n}}{n!} = 0, also m = f^{(n+1)}(ξ) ist. Mit der Definition von m folgt daraus die Behauptung.

Beispiel. Der Cosinus hat eine Darstellung als cos x = ∑_{k=0}^{∞} (−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} = ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n+2} Aus dem vorangegangenen Satz folgt für das Restglied |R_{2n+2}| = \frac{|cos^{(2n+2)}(ξ)|}{(2n+2)!}|x|^{2n+2} ≤ \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} Als weitere Anwendung von Satz 4.17 läßt sich Satz 4.11 verallgemeinern: Beispiel. Sei f n mal stetig differenzierbar und es seien f′(a), f′′(a), … f^{(n−1)}(a) = 0, sowie f^{(n)}(a) ≠ 0. Dann hat f in a

(i) ein lokales Minimum, falls n gerade und f^{(n)}(a) > 0 ist, denn ist U eine Umgebung von a, in der f^{(n)}(x) > 0 ist, so gilt f(x) = f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x − a) + … + \frac{f^{(n−1)}(a)}{n!}(x − a)^{n−1} + \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} = f(a) + \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} > f(a) ∀ x ∈ U

(ii) ein lokales Maximum, falls n gerade und f^{(n)}(a) < 0 ist.

(iii) kein Extremum, falls n ungerade ist, denn: Sei f^{(n)}(x) > 0 in einer Umgebung von a. Dort ist dann R_{n}(x) = \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} > 0 für x > a und R_{n}(x) < 0 für x < a, d.h. f(x) = f(a) + R_{n}(x) > f(a), falls x > a und f(x) < f(a) für x < a.

Folgerung 4.18 (Qualitative Taylorformel). Ist f : I → ℝ n mal stetig differenzierbar auf dem Intervall I, so gibt es eine auf I stetige Funktion r mit r(a) = 0 und

f(x) = T_{n}f(x, a) + (x − a)^{n}r(x)

Beweis. Nach Satz 4.17 existiert ein ξ zwischen a und x, sodaß f(x) − T_{n−1}f(x, a) = \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} ist. Mit r(x) = \frac{1}{n!}(f^{(n)}(ξ) − f^{(n)}(x)) = \frac{1}{(x−a)^{n}} (f(x) − T_{n−1}f(x, a) − \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x − a)^{n}) = \frac{1}{(x−a)^{n}} (f(x) − T_{n}f(x, a)) ergibt sich f(x) = T_{n}f(x, a) + (x − a)^{n}r(x) und da f^{(n)} stetig ist und ξ zwischen a und x liegt, gilt zudem lim_{x→a} r(x) = 0.

Definition 4.6. Ist f : X → ℝ eine in a ∈ X beliebig oft differenzierbare Funktion, dann heißt die Potenzreihe

T f(x, a) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k}

Taylorreihe von f in a. Konvergiert T f(x, a) gegen f(x) für alle x aus einer Umgebung U von a, so besitzt f in U eine Taylorentwicklung mit Entwicklungspunkt a.

Bemerkung. • Hat die Funktion f eine Darstellung als Potenzreihe f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x − a)^{k}, so ist dies die Taylorreihe von f in a.

• Die Taylorreihe T f(x, a) kann für x ≠ a divergieren. Auch muß im Konvergenzfall der Grenzwert nicht mit f(x) übereinstimmen.

Beispiel. f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} & für x > 0 \\ 0 & für x ≤ 0 \end{matrix}

ist in 0 unendlich oft differenzierbar, T f(x, 0) = 0 ∀ x und f(x) ≠ 0 ∀ x > 0.

Definition 4.7. Eine Funktion f : [a, b] → ℝ heißt analytisch in x_{0} ∈ [a, b], wenn es ein δ > 0 und eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ≥ δ gibt, sodaß f(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(x − a)^{k} ∀ x ∈ U_{δ}(x_{0}). f ist analytisch in [a, b], wenn f analytisch in allen x ∈ [a, b] ist.

Bemerkung. Ist f eine analytische Funktion, so ist f ∈ C^{∞}. Die Umkehrung gilt nicht; es gibt unendlich oft differenzierbare, nichtanalytische Funktionen.

4.4 Konvexität

Definition 4.8. Eine Funktion f : [a, b] → ℝ heißt konvex, falls ∀ x_{1}, x_{2} ∈ [a, b], λ ∈ (0, 1) gilt:

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2})

f heißt konkav, wenn −f konvex ist.

Geometrisch interpretiert bedeutet die Konvexität einer Funktion, daß ihr Graph in jedem Intervall [x_{1}, x_{2}] unterhalb der Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})) liegt.

Bemerkung. Wird in Definition 4.8 die Gleichheit ausgeschlossen, dann heißt die Funktion streng konvex (bzw. streng konkav). Bemerkung. Konvexität einer Funktion impliziert nicht die Differenzierbarkeit dieser. Beispiel. f(x) = |x| ist konvex, in 0 jedoch nicht differenzierbar.

Satz 4.19. Ist die Funktion f : (a, b) → ℝ zweimal differenzierbar in (a, b), so ist sie genau dann konvex, wenn f′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) ist.

Beweis. ”⇐“: Sei f′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b). Dann folgt aus Satz 4.9, daß f′ auf (a, b) monoton wachsend ist. Seien nun x_{1}, x_{2} ∈ (a, b), wobei o.B.d.A. x_{1} < x_{2} ist, sowie λ ∈ (0, 1) und x = λx_{1} + (1 − λ)x_{2}. Nach dem Mittelwertsatz ∃ ξ_{1} ∈ (x_{1}, x), ξ_{2} ∈ (x, x_{2}), sodaß \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} = f′(ξ_{1}) ≤ f′(ξ_{2}) = \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x}. Mit x − x_{1} = (1 − λ)(x_{2} − x_{1}) und x_{2} − x = λ(x_{2} − x_{1}) ergibt sich \frac{f(x)−f(x_{1})}{1−λ} ≤ \frac{f(x_{2})−f(x)}{λ} ⇒ f(x) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}), d.h. f ist konvex. ”⇒“: Sei nun f konvex. Man nehme an, es gäbe ein x_{0} ∈ (a, b) mit f′′(x_{0}) < 0. Die Funktion φ(x) := f(x) − f′(x_{0})(x − x_{0}) ist zweimal differenzierbar und φ′(x_{0}) = 0, φ′′(x_{0}) = f′′(x_{0}) < 0. Ähnlich wie im Beweis von Satz 4.11 läßt sich zeigen, daß φ in x_{0} ein isoliertes Maximum hat, d.h. ∃ U_{ε}(x_{0}) : φ|_{U_{ε}\{x_{0}}} < φ(x_{0}). Sei nun h > 0 so gewählt, daß x_{0} + h, x_{0} − h ∈ U_{ε} also φ(x_{0} − h) < φ(x_{0}) und φ(x_{0} + h) < φ(x_{0}) sind (z.B. h = \frac{ε}{2}). Damit folgt: f(x_{0}) = φ(x_{0}) > \frac{1}{2} (φ(x_{0} − h) + φ(x_{0} + h)) = \frac{1}{2} (f(x_{0} − h) + f(x_{0} + h)) Setzt man schließlich x_{1} = x_{0} − \frac{h}{2}, x_{2} = x_{0} + \frac{h}{2} und λ = \frac{1}{2}, so erhält man f(λ(x_{1}) + (1 − λ)(x_{2})) > λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) im Widerspruch zur Konvexität von f.

Definition 4.9. Sei f : (a, b) → ℝ stetig. (x_{0}, f(x_{0})) heißt Wendepunkt von f, wenn es Intervalle (α, x_{0}) und (x_{0}, β) gibt, sodaß f

(1) in (α, x_{0}) konvex und in (x_{0}, β) konkav

oder

(2) konvex in (x_{0}, β) und konkav in (α, x_{0}) ist.

Bemerkung. Für eine zweimal differenzierbare Funktion f ist Forderung (1) aus Definition 4.9 äquivalent zu f′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (α, x_{0}) ∧ f′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (x_{0}, β) Analog ist dazu ist Forderung (2) aus Definition 4.9 für zweimal differenzierbare f äquivalent zu f′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (α, x_{0}) ∧ f′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (x_{0}, β), d.h. (x_{0}, f(x_{0})) ist Wendepunkt von f, wenn f′ ein lokales Extremum in x_{0} hat. Eine notwendige Bedingung dafür ist f′′(x_{0}) = 0. Ist f in einer Umgebung von x_{0} dreimal stetig differenzierbar, dann ist f′′(x_{0}) = 0, f′′′(x_{0}) ≠ 0 eine hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt (vgl Satz 4.11). Mit dem Begriff der Konvexität lassen sich einige wichtige Ungleichungen formulieren.

Satz 4.20 (Jensensche Ungleichung^{23}). Sei f eine im Intervall I konvexe Funktion und für λ_{1}, λ_{2}, … λ_{n} ∈ ℝ^{+} gelte ∑_{i} λ_{i} = 1. Dann gilt ∀ x_{1}, x_{2}, … x_{n} ∈ I:

f(λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + … + λ_{n}x_{n}) ≤ λ_{1}f(x_{1}) + λ_{2}f(x_{2}) + … + λ_{n}f(x_{n})

Ist f auch streng konvex, dann tritt Gleichheit nur für x_{1} = x_{2} = … = x_{n} ein.

Der Beweis kann mittels vollständiger Induktion über n geführt werden. Beispiel. Die Funktion f(x) = ln(x) ist konkav, denn f′′(x) = −\frac{1}{x^{2}} < 0 ∀ x. Somit gilt wegen der Jensenschen Ungleichung für x_{1}, x_{2}, … x_{n} ∈ ℝ^{+} und λ_{1}, λ_{2}, … λ_{n} ∈ ℝ^{+} mit ∑_{i} λ_{i} = 1: ln(λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + … + λ_{n}x_{n}) ≥ λ_{1} ln(x_{1}) + λ_{2} ln(x_{2}) + … + λ_{n} ln(x_{n}) Die Exponentialfunktion ist überall streng monoton wachsend, daher folgt λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + … + λ_{n}x_{n} ≥ exp(λ_{1} ln(x_{1})) exp(λ_{2} ln(x_{2})) · . . . · exp(λ_{n} ln(x_{n})) = x_{1}^{λ_{1}}x_{2}^{λ_{2}} … x_{n}^{λ_{n}}, also die Ungleichung zwischen dem gewichteten geometrischen und artithetischen Mittel:

x_{1}^{λ_{1}}x_{2}^{λ_{2}} … x_{n}^{λ_{n}} ≤ λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} + … + λ_{n}x_{n}

Setzt man alle λ_{i} = \frac{1}{n}, so erhält man den Spezialfall

\sqrt[n]{x_{1}x_{2} … x_{n}} ≤ \frac{x_{1} + x_{2} + … + x_{n}}{n}

23nach Johan Jensen (1859-1925)

Bemerkung. Gleichheit tritt nur für x_{1} = x_{2} = … = x_{n} ein, da der ln streng konkav ist. Folgerung 4.21 (Youngsche Ungleichung ^{24}). Seien a, b ≥ 0, p, q > 1 und \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Dann gilt

ab ≤ \frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{q}b^{q}

Definition 4.10. Sei p ∈ ℝ^{+} und (x_{1}, x_{2}, … x_{n}) ∈ ℝ^{n}. Dann heißt

||x||_{p} = \sqrt[p]{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}}

die p-Norm von x.

||x||_{∞} = max |x_{i}|

heißt Maximumsnorm (oder Supremumsnorm) von x. Die Euklidische Norm ist nach dieser Bezeichnung die 2-Norm. Bemerkung. Es ist lim_{x→∞} ||x||_{p} = ||x||_{∞}. Beweis: Übungsaufgabe 57. ||x||_{p} ist eine Norm auf ℝ^{n} gemäß Definition 3.21, denn

• ||x||_{p} ≥ 0 und ||x||_{p} = 0 ⇔ x = 0

• ||cx||_{p} = |c| · ||x||_{p} mit c ∈ ℝ.

• Die Dreiecksungleichung gilt (Satz 4.24). Satz 4.22 (Höldersche Ungleichung^{25}). Seien p, q > 1 mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 oder p = 1, q = ∞. Seien weiter x, y ∈ ℝ^{n}. Dann gilt

||x • y||_{1} ≤ ||x||_{p} · ||y||_{q} ,

wobei x • y das Skalarprodukt von x und y bezeichnet. Beweis. Für p = 1, q = ∞ ist die Behauptung trivial, ebenso für x = 0 oder y = 0. Sei nun also ||x||_{p}||y||_{q} ≠ 0. \frac{||x•y||_{1}}{||x||_{p}||y||_{q}} ≤ ∑_{i=1}^{n} \frac{|x_{i}y_{i}|}{||x||_{p}||y||_{q}} ≤ ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{p} \frac{|x_{i}|^{p}}{||x||_{p}^{p}} + \frac{1}{q} \frac{|x_{i}|^{q}}{||x||_{q}^{q}} (Youngsche Ungleichung)

= \frac{1}{p} ^{\begin{matrix}∑ & |x_{i}|^{p} \\ ||x||_{p} & ^{p} \end{matrix}} + \frac{1}{q} ^{\frac{∑ |x_{i}|^{q}}{||x||_{q}^{q}}} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

24nach William Young (1863-1942)

25nach Otto Hölder (1859-1937)

Setzt man p = q = 2, so erhält man

Folgerung 4.23 (Cauchy-Schwarz^{26}sche Ungleichung).

||x • y||_{1} ≤ ||x||_{2} · ||y||_{2}

Satz 4.24 (Minkowski-Ungleichung^{27}). Sei p ≥ 1 oder p = ∞ und x, y ∈ ℝ^{n}. Dann folgt

||x + y||_{p} ≤ ||x||_{p} + ||y||_{p}

Beweis. Für p = 1 und p = ∞ ergibt sich die Dreiecksungleichung in ℝ. Sei nun p > 1 und q = \frac{p}{p−1}. Dann gilt \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Damit ist ||x + y||_{p}^{p} = ∑ |x_{i} + y_{i}|^{p} = ∑ |x_{i} + y_{i}| · |x_{i} + y_{i}|^{p−1} ≤ ∑ |x_{i}| · |x_{i} + y_{i}|^{p−1} + ∑ |y_{i}| · |x_{i} + y_{i}|^{p−1} Aufgrung der Höldersche Ungleichung ist dies ≤ (∑ |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} (∑ |x_{i} + y_{i}|^{(p−1)q})^{\frac{1}{q}} + (∑ |y_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} (∑ |x_{i} + y_{i}|^{(p−1)q})^{\frac{1}{q}}

= (||x||_{p} + ||y||_{p}) ||x + y||p^{\frac{p}{q}}

Letzteres folgt aus (p − 1)q = p. Für ||x + y||_{p} = 0 ist die Behauptung trivial; für die übrigen Fälle liefert die Division durch ||x + y||p^{\frac{p}{q}}: ||x + y||_{p} = ||x + y||_{p}^{p− \frac{p}{q}} ≤ ||x||_{p} + ||y||_{p}

Bemerkung. Die Ungleichungen können auf Reihen und Funktionen verallgemeinert werden. (Integralnormen)

5 Integralrechnung

Im Folgenden soll das Problem der Bestimmung von Flächeninhalten behandelt werden. Die Fläche eines Dreiecks (A = \frac{g·h}{2}, wenn g die Grundseite und h die Höhe ist) oder eines Rechtecks (A = a · b, wobei a und b die Seitenlängen sind) läßt sich relativ einfach einfach berechnen. Anders verhält es sich beispielsweise mit der Fläche eines Kreises. Diese kann durch den Flächeninhalt vieler einfacher Figuren approximiert werden; in der Hoffnung, daß die Abweichung vom tatsächlichen Wert kleiner wird, je feiner die Approximation ist.

26Herman Schwarz (1843-1921)

27nach Hermann Minkowski (1864-1909)

Um diese Idee zu verallgemeinern und analytisch umzusetzen, wird nun der Inhalt der Fläche, die von dem Graphen einer Funktion, der Abszisse und zwei zur Ordinate parallelen Geraden eingeschlossen wird, betrachtet.

5.1 Treppenfunktionen

Definition 5.1. Sei a < b. Eine Funktion t : [a, b] → ℝ heißt Treppenfunktion, falls es eine Unterteilung von [a, b] in endlich viele Punkte x_{0} = a < x_{1} < … < x_{N−1} < x_{N} = b gibt, sodaß t auf jedem Intervall (x_{i−1}, x_{i}) mit i = 1, … N konstant ist. Die Menge der Treppenfunktionen auf [a, b] ist T (a, b) := {t : [a, b] → ℝ : t istTreppenfunktion}

Satz 5.1. T (a, b) ist ein ℝ-Vektorraum.

Beweis. Seien t_{1}, t_{2} ∈ T (a, b) zu den Unterteilungen x_{1}^{1}, x_{2}^{1}, … x_{n}^{1} und x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, … x_{n}^{2}. Dann ist t_{1} + t_{2} eine Treppenfunktion zu der Unterteilung mit den Punkten {x_{i}^{1}} ∪ {x_{i}^{2}}. Die übrigen Eigenschaften eines Vektorraums lassen sich ebenso leicht überprüfen.

Definition 5.2. I : T (a, b) → ℝ ist die Abbildung mit

I(t) = ∑_{i=1}^{n} (x_{i} − x_{i−1}) · t (\frac{x_{i−1} + x_{i}}{2} ) ,

falls x_{0}, x_{1}, … x_{n} eine Unterteilung zu t ist. I(t) heißt Integral der Treppenfunktion t über [a, b].

I(t) ist der Flächeninhalt unter der Treppenfunktion t. Im Folgenden soll gezeigt werden, daß I(t) wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Unterteilung zu t ist. Dazu seien x_{1}, x_{2}, … x_{M} und y_{1}, y_{2}, … y_{N} Unterteilungen zu t. Dann ist auch {z_{i}} = {x_{i}} ∪ {y_{i}} eine Unterteilung zu t. Seien nun 0 = j_{0} < j_{1} < … < j_{M} = K so gewählt, daß x_{i} = z_{j_{i}} für alle i ist. Dann gilt: ∑_{i=1}^{M} (x_{i} − x_{i−1}) t (\frac{x_{i−1}+x_{i}}{2} ) = ∑_{i=1}^{M} (∑_{j=j_{i−1}+1}^{j_{i}} (z_{j} − z_{j−1})) t (\frac{x_{i−1}+x_{i}}{2} ) = ∑_{j=1}^{K} (z_{j−1} − z_{j}) t (\frac{z_{j−1}+z_{j}}{2} )

Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil t in jedem Intervall (x_{i−1}, x_{i}) konstant ist. Mit analoger Argumentation folgt ∑_{i=1}^{N} (y_{i} − y_{i−1}) t (\frac{y_{i−1}+y_{i}}{2} ) = ∑_{j=1}^{K} (z_{j−1} − z_{j}) t (\frac{z_{j−1}+z_{j}}{2} ), also ∑_{i=1}^{N} (y_{i} − y_{i−1}) t (\frac{y_{i−1}+y_{i}}{2} ) = ∑_{i=1}^{M} (x_{i} − x_{i−1}) t (\frac{x_{i−1}+x_{i}}{2} ). Bemerkung. Die Funktionswerte einer Treppenfunktion t an den Unterteilungsstellen sind unerheblich für I(t). Satz 5.2. Die Abbildung I : T (a, b) → ℝ ist linear und monoton, d.h. t_{1} ≤ t_{2} ⇒ I(t_{1}) ≤ I(t_{2}).

5.2 Das Riemann-Integral

Definition 5.3. Sei f : [a, b] → ℝ eine beschränkte Funktion. Dann heißt

∫_{a}^{b ∗} f(x)dx := inf {I(t) : t ∈ T (a, b), t ≥ f}

das Oberintegral und

∫_{a ∗}^{b} f(x)dx := sup {I(t) : t ∈ T (a, b), t ≤ f}

das Unterintegral von f über [a, b]. Abkürzend wird im Folgenden auch ∫^{∗} f anstelle von ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx und ∫_{∗} f statt ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx geschrieben Satz 5.3. Seien f, g : [a, b] → ℝ beschränkt und λ ∈ ℝ. Dann gilt

(a) ∫^{∗}(f + g) ≤ ∫^{∗} f + ∫^{∗} g

(b) ∫_{∗}(f + g) ≥ ∫_{∗} f + ∫_{∗} g

(c) ∫^{∗} λf = λ ∫^{∗} f, falls λ ≥ 0

(d) ∫_{∗} λf = λ ∫_{∗} f, falls λ ≥ 0

(e) ∫^{∗} λf = λ ∫_{∗} f, falls λ ≤ 0

(f) ∫_{∗} f ≤ ∫^{∗} f Beweis. (a) Zu ε > 0 gibt es φ, ψ ∈ T (a, b) mit φ ≥ f, ψ ≥ g, I(φ) ≤ ∫_{∗} f + ε und I(ψ) ≤ ∫^{∗} g + ε. ⇒ φ + ψ ≥ f + g ⇒ ∫^{∗}(f + g) ≤ I(φ + ψ) = I(φ) + I(ψ) ≤ ∫^{∗} f + ∫^{∗} g + 2ε Diese Relation bleibt für ε → 0 erhalten.

⇒ ∫^{∗}(f + g) ≤ ∫^{∗} f + ∫^{∗} g

(c) Zu ε > 0 existiert φ ∈ T (a, b), sodaß φ ≥ f und I(φ) ≤ ∫^{∗} f + ε ist. Damit ist auch λφ ≥ λf, denn λ ≥ 0 nach Voraussetzung. ⇒ ∫^{∗} λf ≤ I(λφ) = λI(φ) ≤ λ ∫^{∗} f + λε Für ε → 0 ergibt sich daraus ∫^{∗} λf ≤ λ ∫^{∗} f. Die Behauptung ist trivial für λ = 0; andernfalls gibt es ein \overline{ψ} ∈ T (a, b) mit \overline{ψ} ≥ λf und I(\overline{ψ}) ≤ ∫^{∗} λf + ε. ⇒ ψ := \frac{\overline{ψ}}{λ} ≥ f ⇒ λ ∫^{∗} f ≤ λI(ψ) = I(λψ) = I(\overline{ψ}) ≤ ∫^{∗} λf + ε. Für ε → 0 folgt ∫^{∗} λf ≥ λ ∫^{∗} f und schließlich ∫^{∗} λf = λ ∫^{∗} f. Mit ∫_{∗} f = − ∫^{∗} (−f) folgen die Behauptungen (b), (d) und (e).

(f) ist eine direkte Folgerung aus der Monotonie von I.

Beispiel. Sei f : [0, 1] → ℝ definiert durch f(x) = x^{2}. Zu N ∈ ℕ betrachte man die äquidistante Unterteilung des Intervalls [0, 1] mit den Punkten x_{i} = \frac{i}{N} , i = 0 … N und die Treppenfunktion t_{N} ∈ T (0, 1) mit t_{N}|_{(x_{i}−1,x_{i}]} = f(x_{i}).

f wächst streng monoton, daher ist t_{N} ≥ f. I(t_{N}) = ∑_{i=1}^{N} (x_{i} − x_{i−1}) t_{N} (\frac{x_{i}+x_{i−1}}{2} ) = ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{N} (\frac{i}{N} )^{2} = \frac{1}{N^{3}} ∑_{i=1}^{N} i^{2} = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6N^{3}} Somit ist lim_{N→∞} I(t_{N}) = \frac{1}{3} und damit ∫_{0}^{1 ∗} x^{2}dx ≤ \frac{1}{3}. Analog läßt sich ∫_{0 ∗}^{1} x^{2}dx ≥ \frac{1}{3} zeigen. Mit Satz 5.3 (f) folgt ∫_{0 ∗}^{1} x^{2}dx = ∫_{0}^{1 ∗} x^{2}dx = \frac{1}{3}.

Beispiel. Sei f : [0, 1] → ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x ∈ ℚ \\ 0 & für x ∈ ℝ\ℚ \end{matrix}

ℚ liegt dicht in ℝ, daher gilt für jedes t ∈ T (0, 1) mit t ≥ f : t(x) ≥ 1 für alle x, bis auf die Unterteilungsstellen zu t. ⇒ ∫_{0}^{1 ∗} f(x)dx ≥ 1 Zudem ist t_{0} = 1 eine Treppenfunktion mit der Eigenschaft t_{0} ≥ f und I(t_{0}) = 1 ⇒ ∫_{0}^{1 ∗} f(x)dx = 1. In ähnlicher Weise folgt ∫_{0 ∗}^{1} f(x)dx = 0. Dieses Beispiel zeigt, daß Ober- und Unterintegral einer Funktion im allgemeinen nicht übereinstimmen müssen.

Definition 5.4. Sei f : [a, b] → ℝ beschränkt. f heißt Riemann-integrierbar,^{28} falls ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx ist. Der Wert

∫_{a}^{b} f(x)dx := ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx

heißt Riemann-Integral von f über [a, b].

Satz 5.4. Die Menge V = {f : [a, b] → ℝ , f ist Riemann − integrierbar} bildet einen reellen Vektorraum. Das Riemann-Integral ist eine Linearform auf V (eine lineare Abbildung V → ℝ) und monoton, d.h.

(a) f, g ∈ V ⇒ f + g ∈ V und ∫_{a}^{b} f(x)dx + ∫_{a}^{b} g(x)dx = ∫_{a}^{b} (f(x) + g(x))dx

(b) f ∈ V, λ ∈ ℝ ⇒ λf ∈ V und ∫_{a}^{b} λf(x)dx = λ ∫_{a}^{b} f(x)dx

(c) f, g ∈ V, f ≤ g ⇒ ∫_{a}^{b} f(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} g(x)dx

Der Beweis erfolgt mit Satz 5.3. Im Folgenden wird auch ”integrierbar“ anstelle von ”Riemann-integrierbar“ geschrieben.

Satz 5.5. Ist die Funktion f : [a, b] → ℝ stetig, so ist sie auch integrierbar.

Beweis. Nach Satz 3.12 gibt zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen φ, ψ ∈ T (a, b) mit φ ≤ f ≤ ψ und ψ − φ ≤ ε. Damit wird ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx − ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx ≤ I(ψ) − I(ϕ) = I(ψ − ϕ) ≤ (b − a)ε. Für ε → 0 hat dies den Grenzwert 0, woraus ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx = ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx, d.h. die Integrierbarkeit von f folgt.

Satz 5.6. Ist f : [a, b] → ℝ monoton, dann ist f auch integrierbar.

Beweis. O.B.d.A. sei f monoton wachsend. Die Treppenfunktionen t_{∗}, t^{∗} ∈ T (a, b) zu der Unterteilung mit den Punkten x_{i} = \frac{i(b−a)}{N}, N ∈ ℕ seien durch t_{∗}|_{(x_{i−1},x_{i})} = f(x_{i−1}) und t^{∗}|_{(x_{i−1},x_{i})} = f(x_{i}) definiert. Dann gilt t_{∗} ≤ f ≤ t^{∗} und somit ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx − ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx ≤ I(t^{∗}) − I(t_{∗}) = I(t^{∗} − t_{∗}) = ∑_{i=1}^{N} \frac{1}{N} (f(x_{i}) − f(x_{i−1})) = \frac{1}{N} (f(b) − f(a)) Für N → ∞ bleibt die Relation erhalten, d.h. ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx − ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx ≤ lim_{N→∞} \frac{1}{N} (f(b) − f(a)) = 0 ⇒ ∫_{a}^{b ∗} f(x)dx = ∫_{a ∗}^{b} f(x)dx Definition 5.5. Sei f : [a, b] → ℝ eine reelle Funktion, a = x_{0} < x_{1} < … < x_{N} = b eine Unterteilung von [a, b] und ξ_{i} ∈ [a, b] , i = 1 … N Stützstellen. Dann heißt

28Bernhard Riemann (1826-1866)

∑_{i=1}^{N} (x_{i} − x_{i−1})f(ξ_{i})

die Riemannsche Summe von f bezüglich der Unterteilung a = x_{0} < x_{1} < … < x_{N} = b und der Stützstellen ξ_{1}, … ξ_{N}. Die Zahl η := max{|x_{i} − x_{i−1}|, i = 1 … N} heißt Feinheit der Unterteilung.

Satz 5.7. f : [a, b] → ℝ sei Riemann-integrierbar. Dann existiert zu jedem ε > 0 ein η > 0, sodaß für jede Unterteilung a = x_{0} < … x_{N} = b der Feinheit ≤ η und jede Wahl von Stützstellen ξ_{i} ∈ [x_{i−1}, x_{i}] gilt:

|∫_{a}^{b} f(x)dx − ∑_{i=1}^{N} (x_{i} − x_{i−1})f(ξ_{i})| ≤ ε

Beweis. Sei ε > 0. Nach Voraussetzung ist f integrierbar, d.h. ∃ φ, ψ ∈ T (a, b) mit φ ≤ f ≤ ψ und I(ψ − φ) ≤ \frac{ε}{2}. Sei a = y_{0} < y_{1} < … < y_{M} = b die gemeinsame Unterteilung zu φ und ψ. Es ist −B ≤ ψ, sowie φ ≤ B, wobei B = ||f||_{[a,b]}. Nun wähle man η := \frac{ε}{8BM} Zu einer Unterteilung a = x_{0} < … < x_{N} = b von [a, b] der Feinheit ≤ η und Stützstellen ξ_{i} ∈ [x_{i−1}, x_{i}] sei t ∈ T (a, b) die Treppenfunktion der dazugehörigen Riemann- Summe, d.h. t|_{(x_{i−1},x_{i})} = f(ξ_{i}). Dann ist φ − 2B ≤ −B ≤ t ≤ B ≤ ψ + 2B Falls [x_{i−1}, x_{i}] ⊂ (y_{j−1}, y_{j}) ist, dann gilt sogar φ(x) ≤ t(x) ≤ ψ(x) ∀ x ∈ [x_{i−1}, x_{i}] Sei eine weitere Treppenfunktion s ∈ T (a, b) definiert durch

s(x) = \{ \begin{matrix}0 & falls ∃ i, j : x ∈ (x_{i−1}, x_{i}) und [x_{i−1}, x_{i}] ⊂ (y_{j−1}, y_{j}) \\ 2B & sonst \end{matrix}

Es folgt φ − s ≤ t ≤ ψ + s. Überdies gibt es maximal 2M Intervalle [x_{i−1}, x_{i}], auf denen s = 2B ist. Damit wird ∫_{a}^{b} f(x)dx ≤ I(φ) + \frac{ε}{2} ≤ I(φ − s) + \frac{ε}{2} + η · (2M) · (2B) = I(φ − s) + ε ≤ I(t) + ε und ∫_{a}^{b} f(x)dx ≥ I(ψ) − \frac{ε}{2} ≥ I(ψ + s) − ε ≥ I(t) − ε, also |∫_{a}^{b} f(x) − I(t)dx| ≤ ε.

Bemerkung. Es gilt auch die Umkehrung von Satz 5.7 (vgl. Übungsaufgabe 60).

Beispiel. Für a > 0 soll ∫_{0}^{a} cos(x)dx bestimmt werden. Die Riemann-Summe bzgl. der äquidistanten Unterteilung von [0, a] mit den Punkten x_{k} = \frac{ka}{n} und der Stützstellen ξ_{k} = x_{k} ist s_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{a}{n} cos (\frac{ka}{n}).

Lemma. Ist t ∈ ℝ kein ganzzahliges Vielfaches von 2π, dann gilt ∀ n ∈ ℕ:

\frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{n} cos(kt) = \frac{sin (t (n + \frac{1}{2}))}{2 sin (\frac{t}{2})}

Beweis. cos kt = \frac{1}{2} (e^{ikt} + e^{−ikt}). ⇒ \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{n} cos(kt) = \frac{1}{2} ∑_{k=−n}^{n} e^{ikt} = \frac{1}{2}e^{−int} ∑_{k=0}^{2n} e^{ikt} = \frac{1}{2}e^{−int} \frac{1−e^{(2n+1)it}}{1−e^{it}}

= \frac{1}{2} \frac{−e^{−i \frac{t}{2}} (e^{−int} − e^{(n+1)it})}{−e^{−i \frac{t}{2}} (1 − e^{it})} = \frac{1}{2} \frac{e^{i(n+ \frac{1}{2})t} − e^{−i(n+ \frac{1}{2})t}}{e^{i \frac{t}{2}} − e^{−i \frac{t}{2}}} = \frac{sin (t (n + \frac{1}{2}))}{2 sin (\frac{t}{2})}

Damit ist

s_{n} = \frac{a}{n} (\frac{sin (\frac{a}{n} (n + \frac{1}{2}))}{2 sin (\frac{a}{2n})} − \frac{1}{2}) = \frac{\frac{a}{2n}}{sin(\frac{a}{2n})} sin (a + \frac{a}{2n}) − \frac{a}{2n}

Zusammen mit lim_{n→∞} \frac{\frac{a}{2n}}{sin( \frac{a}{2n})} = 1 liefert dies

∫_{0}^{a} cos(x)dx = lim_{n→∞} s_{n} = sin(a)

Definition 5.6. Sei f : X → ℝ eine reelle Funktion. Dann ist

f_{+} := \{ \begin{matrix}f(x) & falls f(x) > 0 \\ 0 & sonst \end{matrix}

f_{−} := \{ \begin{matrix}−f(x) & falls f(x) < 0 \\ 0 & sonst \end{matrix}

Es gilt f = f_{+} − f_{−}, sowie |f| = f_{+} + f_{−}.

Satz 5.8. Sind f, g : [a, b] → ℝ integrierbar, dann folgt

• f_{+} und f_{−} sind integrierbar

• ∀ p ∈ [1, ∞) ist |f|^{p} integrierbar.

• fg : [a, b] → ℝ ist integrierbar.

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ∀ ε > 0 Treppenfunktionen φ, ψ ∈ T (a, b) mit φ ≤ f ≤ ψ und ∫_{a}^{b} (φ − ψ)(x)dx ≤ ε. Also sind φ_{+}, ψ_{+} Treppenfunktionen mit φ_{+} ≤ f_{+} ≤ ψ_{+} und ∫_{a}^{b} (φ_{+} − ψ_{+})(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} (φ − ψ)(x)dx ≤ ε, d.h. f_{+} ist integrierbar.

Entsprechend folgt die Integrierbarkeit von f_{−}. Wegen Satz 5.4 und |f| = f_{+} + f_{−} ist damit auch |f| integrierbar. Insbesondere ist |f| beschränkt auf [a, b]. Nun soll gezeigt werden, daß |f|^{p} integrierbar ist. Sei dazu zunächst 0 ≤ ||f||_{[a,b]} ≤ 1. |f| ist integrierbar, d.h. ∀ ε > 0 ∃ φ, ψ ∈ T (a, b) mit 0 ≤ φ ≤ |f| < ψ und ∫_{a}^{b} (ψ − φ)(x) dx ≤ \frac{ε}{p}. Dann sind φ^{p}, ψ^{p} Treppenfunktionen mit φ^{p} ≤ |f|^{p} ≤ ψ^{p}. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ∃ ξ ∈ [φ(x), ψ(x)], sodaß \frac{(ψ(x))^{p}−(φ(x))^{p}}{ψ(x)−φ(x)} = (\frac{d}{dα}α^{p}) (ξ) = p ξ^{p−1} ist. ⇒ ψ^{p} − φ^{p} ≤ p(ψ − φ) ⇒ ∫_{a}^{b} (ψ^{p} − φ^{p})(x) dx ≤ p ∫_{a}^{b} (ψ − φ)(x) dx ≤ ε, d.h. |f|^{p} ist integrierbar. Für den Fall ||f||_{[a,b]} > 1 sei f̃:= \frac{1}{||f||_{[a,b]}} f. Dann ist ||f̃||_{[a,b]} ≤ 1. Somit ist |f̃|^{p} und nach Satz 5.4 auch |f|^{p} = ||f||_{[a,b]}^{p} · |f̃|^{p} integrierbar. Schließlich folgt aus obigem, daß auch

fg = \frac{1}{4} [(f + g)^{2} − (f − g)^{2}]

integrierbar ist.

Man beachte, daß im allgemeinen ∫_{a}^{b} f(x)g(x)dx ≠ ∫_{a}^{b} f(x)dx ∫_{a}^{b} g(x)dx ist.

Satz 5.9 (Mittelwertsatz der Integralrechnung). Sind f, φ : [a, b] → ℝ stetig und ist φ ≥ 0, so existiert ein ξ ∈ [a, b] mit

∫_{a}^{b} f(x)φ(x)dx = f(ξ) ∫_{a}^{b} φ(x)dx

Für den Spezialfall φ = 1 ergibt sich

∫_{a}^{b} f(x)dx = f(ξ)(b − a)

Beweis. Sei m = inf{f(x) : x ∈ [a, b]} und M = sup{f(x) : x ∈ [a, b]}. Dann ist mφ ≤ fφ ≤ Mφ. Mit Satz 5.4 folgt daraus m ∫_{a}^{b} φ(x)dx ≤ ∫_{a}^{b} f(x)φ(x)dx ≤ M ∫_{a}^{b} φ(x)dx. Daher existiert ein μ ∈ [m, M] mit ∫_{a}^{b} f(x)φ(x)dx = μ ∫_{a}^{b} φ(x)dx. Und nach dem Zwischenwertsatz ist μ = f(ξ) für ein ξ ∈ [a, b].

Satz 5.10. Sei a < b < c. f : [a, c] → ℝ ist dann und nur dann integrierbar, wenn f|_{[a,b]} und f_{[b,c]} dies sind und ∫_{a}^{c} f(x)dx = ∫_{a}^{b} f(x)dx + ∫_{b}^{c} f(x) gilt.

Der Beweis kann unter Verwendung von Treppenfunktionen und der Definition des Integrals erfolgen.

5.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

An dieser Stelle sei nocheinmal herausgestellt, daß es sich bei der Differenzierbarkeit einer Funktion um eine lokale Eigenschaft handelt; daher ist die Ableitung einer Funktion in natürlicher Weise wieder eine Funktion. Das Integral hingegen ist über einem Intervall des Definitionsbereiches, also global definiert. Es ist ein reeller Wert, welcher der Funktion und dem Intervall zugeordnet ist, läßt sich also als Funktion von der oberen Integrationsgrenze auffassen: F (x) = ∫_{a}^{x} f(x)dx

Satz 5.11. Ist f : I → ℝ stetig auf dem Intervall I und a ∈ I, dann ist F : I → ℝ mit F (x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt differenzierbar auf I und es gilt F′ = f.

Beweis. Für h ≠ 0 ist \frac{F (x+h)−F (x)}{h} = \frac{1}{h} (∫_{a}^{x+h} f(t)dt − ∫_{a}^{x} f(t)dt) = \frac{1}{h} (∫_{a}^{x} f(t)dt + ∫_{x}^{x+h} f(t)dt − ∫_{a}^{x} f(t)dt) = \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} f(t)dt. Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert ein ξ_{h} ∈ [x, x + h] (bzw. ξ_{h} ∈ [x + h, x], falls h < 0), sodaß f(ξ_{h}) · h = ∫_{x}^{x+h} f(t)dt ist. Mit der Stetigkeit von f folgt daraus F′(x) = lim_{h→0} \frac{F (x+h)−F (x)}{h} = lim_{h→0} f(ξ_{h}) = f(x)

Definition 5.7. Eine Funktion F : I → ℝ heißt Stammfunktion von f : I → ℝ, falls sie differenzierbar und F′ = f ist.

Satz 5.12. Ist F : I → ℝ eine Stammfunktion von f : I → ℝ, so ist G : I → ℝ genau dann Stammfunktion von f, wenn F − G konstant ist.

Beweis. Zunächst sei F − G = c für ein c ∈ ℝ. ⇒ G′ = (F − c)′ = F′ = f, d.h. G ist eine Stammfunktion von f. Die Umkehrung folgt aus Satz 4.13: G′ = f = F′ ⇒ G′ − F′ = 0 ⇒ G − F = const.

Satz 5.13 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f : I → ℝ stetig und F eine Stammfunktion von f. Dann gilt ∀ a, b ∈ I:

∫_{a}^{b} f(x)dx = F (b) − F (a)

Statt F (b) − F (a) wird auch F (x)|_{a}^{b} geschrieben.

Beweis. Nach Satz 5.11 ist F_{0} : I → ℝ, F_{0}(x) = ∫_{a}^{x} f(t)dt eine Stammfunktion von f. Es ist F_{0}(a) = 0 und F_{0}(b) = ∫_{a}^{b} f(t)dt. Für jede weitere Stammfunktion F von f gibt es ein c ∈ ℝ mit F − F_{0} = c. ⇒ F (b) − F (a) = F_{0}(b) − F_{0}(a) = ∫_{a}^{b} f(t)dt Anstelle von ∫_{a}^{b} f(x)dx = F (x)|_{a}^{b} schreibt man auch ∫ f(x)dx = F (x). Beispiel. • Für s ∈ ℝ, s ≠ −1 ist ∫_{a}^{b} x^{s} dx = \frac{x^{s+1}}{s+1} |_{a}^{b}.

Dabei sind die Integationsgrenzen für s ∈ ℕ beliebig, für s ∈ ℤ, s ≤ −2 müssen entweder a, b > 0 oder a, b < 0 sein und für s ∉ ℤ müssen a, b > 0 sein.

• ∫ sin(x) dx = − cos(x), ∫ cos(x) dx = sin(x)

• ∫ exp(x) dx = exp(x)

• ∫ \frac{1}{1+x^{2}} dx = arctan(x)

5.4 Integrationsregeln

Zusammen mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergeben sich aus den Differentiationsregeln Möglichkeiten, Integrale umzuformen bzw. zu lösen.

Satz 5.14 (Partielle Integration). Sind f, g : [a, b] → ℝ stetig differenzierbar, so ist

∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx

Beweis. Für F = f · g gilt aufgrund der Produktregel F′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) Und mit dem Hauptsatz folgt daraus ∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx + ∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx = F (x)|_{a}^{b} = f(x)g(x)|_{a}^{b}

Satz 5.15 (Substitutionsregel). Ist f : I → ℝ stetig, φ : [a, b] → ℝ stetig differenzierbar und φ([a, b]) ⊂ I, dann ist

∫_{a}^{b} f(φ(t))φ′(t) dt = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx

Beweis. Sei F : I → ℝ eine Stammfunktion von f. ⇒ (F ∘ φ)′(t) = F′(φ(t))φ′(t) = f(φ(t))φ′(t) ⇒ ∫_{a}^{b} f(φ(t))φ′(t) dt = F (φ(b)) − F (φ(a)) = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx

Mit dφ(t) = φ′(t)dt schreibt sich obige Substitutionsregel als ∫_{a}^{b} f(φ(t)) dφ = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(x) dx.

Beispiel. Zur Substitutionsregel:

• ∫_{a}^{b} f(ct + d) dt = \frac{1}{c} ∫_{ac+d}^{bc+d} f(x) dx Hier wurde ct + d = φ(t) substituiert.

• ∫_{a}^{b} 2tf(t^{2}) dt = ∫_{a^{2}}^{b^{2}} f(x) dx mit der Substitution t^{2} = φ(t)

• ∫_{a}^{b} \frac{t}{\sqrt{1−t^{2}}} dt = ∫_{1−a^{2}}^{1−b^{2}} \frac{−1}{2\sqrt{x}} dx = −\sqrt{x} |_{1−a^{2}}^{1−b^{2}} = −\sqrt{1 − t^{2}} |_{a}^{b} mit x = 1 − t^{2}.

Zur partiellen Integration:

• ∫_{a}^{b} ln(x) dx = ∫_{a}^{b} 1 · ln(x) dx = x ln(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} 1 dx = x(ln(x) − 1)|_{a}^{b}

• ∫_{a}^{b} arcsin(x) dx = x arcsin(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} \frac{x}{\sqrt{1−x^{2}}} dx = (x arcsin(x) + \sqrt{1 − x^{2}}) |_{a}^{b}

Beispiel. Sei I_{m} = ∫ sin^{m} x dx. Durch partielle Integration ergibt sich für m ≥ 2: I_{m} = − cos x sin^{m−1} x + (m − 1) ∫ cos^{2} x sin^{m−2} x dx = − cos x sin^{m−1} x + (m − 1) ∫ (1 − sin^{2} x) sin^{m−2} x dx = − cos x sin^{m−1} x + (m − 1)(I_{m−2} − I_{m}) Es folgt die Rekursionsformel I_{m} = −\frac{1}{m} cos x sin^{m−1} x + \frac{m−1}{m}I_{m−2} mit I_{0} = x und I_{1} = − cos x. Setzt man die Integrationsgrenzen 0 und \frac{π}{2} ein, so ergibt sich für

A_{m} = ∫0^{\frac{π}{2}} sin^{m} x dx die Rekursion A_{m} = \frac{m−1}{m}A_{m−2}, A_{0} = \frac{π}{2} , A_{1} = 1;

somit ist A_{2n} = \frac{(2n−1)(2n−3)...3·1}{2n(2n−2)...4·2} \frac{π}{2} , A_{2n+1} = \frac{2n(2n−2)...4·2}{(2n+1)(2n−1)...3}. Für x ∈ [0, \frac{π}{2} ] ist sin^{2n+2} x ≤ sin^{2n+1} x ≤ sin^{2n} x und folglich A_{2n+2} ≤ A_{2n+1} ≤ A_{2n}. ⇒ \frac{A_{2n+2}}{A_{2n}} ≤ \frac{A_{2n+1}}{A_{2n}} ≤ 1 Mit lim_{n→∞} \frac{A_{2n+2}}{A_{2n}} = lim_{n→∞} \frac{2n+1}{2n+2} = 1 folgt daraus lim_{n→∞} \frac{A_{2n+1}}{A_{2n}} = lim_{n→∞} \frac{2n·2n...4·4·2·2}{(2n+1)(2n−1)...5·3·3·1} \frac{2}{π} = 1.

⇒ \frac{π}{2} = ∏_{n=1}^{∞} \frac{4n^{2}}{4n^{2} − 1}

Dieser als Wallissches^{29} Produkt bekannte Ausdruck ist nach dem Vietaschen Produkt^{30} die zweite bekannt gewordene analytische Darstellung für die Zahl π.

Satz 5.16. Sei f : [a, b] → ℝ stetig differenzierbar und F (k) = ∫_{a}^{b} f(x) sin kx dx, k ∈ ℝ. Dann ist lim_{|k|→∞} F (k) = 0.

Beweis. Für k ≠ 0 liefert partielle Integration F (k) = ∫_{a}^{b} f(x) sin kx dx = −f(x)\frac{cos kx}{k} |_{a}^{b} + \frac{1}{k} ∫_{a}^{b} f′(x) cos kx dx Nach Voraussetzung sind f und f′ stetig auf [a, b].

29nach John Wallis (1616-1703)

30nach François Viéte (1540-1603)

⇒ ∃ M ∈ ℝ : |f(x)| ≤ M, |f′(x)| ≤ M ∀ x ∈ [a, b] Überdies ist | cos kx| ≤ 1. ⇒ |F (k)| ≤ \frac{2M}{|k|} + \frac{M}{|k|}(b − a) ⇒ lim_{|k|→∞} F (k) = 0.

Beispiel. Für 0 < x < 2π ist

∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k} = \frac{π − x}{2} ,

denn: Mit \frac{sin kx}{k} = ∫_{π}^{x} cos kt dt und der in 5.2 bewiesenen Beziehung ∑_{k=1}^{n} cos kt = \frac{sin ((n+ \frac{1}{2})t)}{2 sin \frac{t}{2}} − \frac{1}{2} folgt S_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{sin kx}{k} = ∫_{π}^{x} \frac{1}{2 sin \frac{t}{2}} sin ((n + \frac{1}{2}) t) dt − ∫_{π}^{x} \frac{1}{2} dt Und nach vorangegangenem Satz ist lim_{n→∞} S_{n} = − ∫_{π}^{x} \frac{1}{2} dt = \frac{π−x}{2}.

Eine weitere Anwendung der partiellen Integration ist die Trapezregel.

Satz 5.17 (Trapezregel). Ist f : [0, 1] → ℝ zweimal stetig differenzierbar, so ∃ ξ ∈ [0, 1] :

∫_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{2} (f(0) + f(1)) − \frac{1}{12}f′′(ξ)

Beweis. Für die Hilfsfunktion φ(x) := \frac{1}{2}x(1 − x) gilt φ ≥ 0 ∀ x ∈ [0, 1], φ′(x) = \frac{1}{2} − x und φ′′ = −1. Zweimalige partielle Integration von f führt zu ∫_{0}^{1} f(x) dx = − ∫_{0}^{1} φ′′(x)f(x) dx = −φ′(x)f(x)|_{0}^{1} + ∫_{0}^{1} φ′(x)f′(x) dx = \frac{1}{2} (f(0) + f(1)) + φ(x)f′(x)|_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} φ(x)f′′(x) dx = \frac{1}{2} (f(0) + f(1)) − ∫_{0}^{1} φ(x)f′′(x) dx Und nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ∃ ξ ∈ [0, 1] : ∫_{0}^{1} φ(x)f′′(x) dx = f′′(ξ) ∫_{0}^{1} φ(x) dx = \frac{1}{12}f′′(ξ).

Damit gelangt man zu einer einfachen numerischen Quadraturformel mit Fehlerabschätzung:

Satz 5.18. Sei f : [a, b] → ℝ zweimal stetig differenzierbar und k := ||f′′||_{[a,b]}. Weiter sei h = \frac{b−a}{n}, n ∈ ℕ die Länge eines Teilintervalls der äqidistanten Unterteilung von [a, b] mit den Punkten a + ih, i = 0, …, n. Dann ist

∫_{a}^{b} f(x) dx = h · (\frac{1}{2}f(a) + ∑_{i=1}^{n−1} f(a + ih) + \frac{1}{2}f(b)) + R

mit |R| ≤ \frac{k}{12}(b − a)h^{2}, d.h. der Fehler |R| nimmt quadratisch mit der Anzahl der Gitterpunkte ab.

Beweis. Für jedes i = 0, …, n − 1 sei g_{i} : [0, 1] → ℝ definiert durch g_{i}(x) = f(a + ih + hx). g_{i} ist zweimal stetig differenzierbar; g′′_{i}(x) = h^{2}f′′(a + ih + hx). Außerdem gilt g_{i}(0) = f(a + ih) und g_{i}(1) = f(a + (i + 1)h). Nach Satz 5.17 ∃ ξ_{i} ∈ [0, 1] mit ∫_{0}^{1} g_{i}(x) dx = \frac{1}{2} (g_{i}(0) + g_{i}(1)) − \frac{1}{12}g′′_{i}(ξ_{i}) = \frac{1}{2} (f(a + ih) + f(a + (i + 1)h)) − \frac{h^{2}}{12} f′′(ξ̃_{i}), wobei ξ̃_{i} = a + ih + hξ_{i}, also ξ̃_{i} ∈ [a + ih, a + (i + 1)h] ist. ⇒ I_{i}f = ∫_{a+ih}^{a+(i+1)h} f(x) = h ∫_{0}^{1} g_{i}(x) dx

= \frac{h}{2} (f(a + ih) + f(a + (i + 1)h)) − \frac{h^{3}}{12} f′′(ξ̃_{i})

⇒ ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∑_{i=0}^{n−1} I_{i}f = h · (\frac{1}{2}f(a) + ∑_{i=1}^{n−1} f(a + ih) + \frac{1}{2}f(b)) + R mit R = −\frac{h^{3}}{12} ∑_{i=0}^{n−1} f′′(ξ̃_{i}), für das gilt: |R| ≤ \frac{h^{3}}{12} ∑_{i=0}^{n−1} k = \frac{h^{3}}{12} nk = \frac{k}{12}(b − a)h^{2}

Dies ist ein Beispiel für eine Quadraturformel des Typs I_{n}f = ∑_{i=0}^{n} γ_{i}f(x_{i}).

5.5 Uneigentliche Integrale

In den vorangegangenen Abschnitten wurden stets Integrale von beschränkten Funktionen über endlichen Intervallen betrachtet. Nun werden Fälle betrachtet, in denen die Funktion im Integrationsgebiet teilweise unbeschränkt ist oder in denen über einem unendlichen Intervall integriert werden soll.

Definition 5.8. Ist f : [a, ∞) → ℝ über jedem Intervall [a, R] integrierbar und es existiert lim_{R→∞} ∫_{a}^{R} f(x) dx, dann heißt ∫_{a}^{∞} f(x) dx konvergent und

∫_{a}^{∞} f(x) dx := lim_{R→∞} ∫_{a}^{R} f(x) dx

Das uneigentliche Integral ∫_{−∞}^{a} f(x) dx wird analog definiert. Beispiel. ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{s}} dx konvergiert für s > 1 und divergiert, falls s ≤ 1 ist, denn: Für s ≠ 1 ist ∫_{1}^{R} \frac{1}{x^{s}} dx = \frac{1}{(1−s)(x^{s−1})} |_{1}^{R} = \frac{1}{s−1} (1 − \frac{1}{R^{s−1}} ). Im Falle s > 1 ist lim_{R→∞} \frac{1}{R^{s−1}} = 0, also ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x^{s}} dx = \frac{1}{s−1}. Für s < 1 ist lim_{R→∞} \frac{1}{R^{s−1}} = ∞. Das Integral divergiert auch, wenn s = 1: ∫_{1}^{R} \frac{dx}{x} = ln(R).

Definition 5.9. Ist f : (a, b] → ℝ über jedem Intervall [a + ε, b] mit 0 < ε < b − a integrierbar und es existiert lim_{ε↘0} ∫_{a+ε}^{b} f(x) dx, dann heißt ∫_{a}^{b} f(x) dx konvergent und

∫_{a}^{b} f(x) dx := lim_{ε↘0} ∫_{a+ε}^{b} f(x) dx

Beispiel. ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{s}} dx konvergiert für s < 1 und divergiert, wenn s ≥ 1 ist, denn: ∫_{ε}^{1} \frac{1}{x^{s}} dx = \frac{1}{(1−s)(x^{s−1})} |_{ε}^{1} = \frac{1}{1−s} (1 − ε^{1−s}), falls s ≠ 1. Für s < 1 ist lim_{ε↘0} ε^{1−s} = 0, also ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{s}} dx = \frac{1}{1−s}. Im Fall s > 1 ergibt sich lim_{ε↘0} ε^{1−s} = ∞. s = 1 liefert ∫_{ε}^{1} \frac{dx}{x} = − ln(ε) und lim_{ε→0} − ln(ε) = ∞.

Definition 5.10. f : (a, b) → ℝ mit a ∈ ℝ ∪ {−∞}, b ∈ ℝ ∪ {∞} sei über jedem Intervall [α, β] ⊂ (a, b) integrierbar. Falls lim_{α↘a} ∫_{α}^{c} f(x) dx und lim_{β↗b} ∫_{c}^{β} f(x) dx existieren, wobei c ∈ (a, b) beliebig ist, so ist ∫_{a}^{b} f(x) dx konvergent und hat den Wert

∫_{a}^{b} f(x) dx := lim_{α↘a} ∫_{α}^{c} f(x) dx + lim_{β↗b} ∫_{c}^{β} f(x) dx

Beispiel. • ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1−x^{2}}} = lim_{ε↘0} ∫_{ε−1}^{0} \frac{dx}{\sqrt{1−x^{2}}} + lim_{ε↘0} ∫_{0}^{1−ε} \frac{dx}{\sqrt{1−x^{2}}} = − lim_{ε↘0} arcsin (ε − 1) + lim_{ε↘0} arcsin (1 − ε) = π

• ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1+x^{2}} = lim_{R→∞} ∫_{−R}^{0} \frac{dx}{1+x^{2}} + lim_{R→∞} ∫_{0}^{R} \frac{dx}{1+x^{2}} = lim_{R→∞} arctan (−R) + lim_{R→∞} arctan (R) = π

• ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{x^{s}} divergiert ∀ s ∈ ℝ, denn: für s ≠ 1 ist ∫_{ε}^{R} \frac{dx}{x^{s}} = ∫_{ε}^{1} \frac{dx}{x^{s}} + ∫_{1}^{R} \frac{dx}{x^{s}} = \frac{1}{1−s} (1 − ε^{1−s}) + \frac{1}{s−1} (1 − \frac{1}{R^{s−1}} ) Der erste Summand konvergiert nur für s < 1, in diesem Fall aber divergiert der zweite Summand. Letzterer konvergiert, falls s > 1 ist; dann jedoch divergiert der erste Summand. Für s = 1 divergiert sowohl ∫_{ε}^{1} \frac{dx}{x}, als auch ∫_{1}^{R} \frac{dx}{x}.

Definition 5.11. Ist f : [a, b]\{c} → ℝ mit c ∈ (a, b) über jedem Intervall [a, c − ε], 0 < ε < c − a und [c + ε, b], 0 < ε < b − c integrierbar und es existiert lim_{ε↘0} ∫_{a}^{c−ε} f(x) dx, sowie lim_{ε↘0} ∫_{c+ε}^{b} f(x) dx, dann ist

∫_{a}^{b} f(x) dx := lim_{ε↘0} ∫_{a}^{c−ε} f(x) dx + lim_{ε↘0} ∫_{c+ε}^{b} f(x) dx

In einigen Fällen kann durch Betrachtung uneigentlicher Integrale eine Aussage über die Konvergenz einer unendlichen Reihe gemacht werden:

Satz 5.19 (Integralkriterium). Ist f : [1, ∞) → ℝ monoton fallend, so konvergiert ∑_{n=1}^{∞} f(n) dann und nur dann, wenn ∫_{1}^{∞} f(x) dx konvergiert.

Beweis. Nach Voraussetzung fällt f monoton; damit folgt f ≥ 0, wenn ∫_{1}^{∞} f(x) dx oder ∑_{n=1}^{∞} f(n) konvergiert. Für n − 1 ≤ x ≤ n ist f(n) ≤ f(x) ≤ f(n − 1). ⇒ f(n) ≤ ∫_{n−1}^{n} f(x) dx ≤ f(n − 1) ⇒ ∑_{n=2}^{N} f(n) ≤ ∫_{1}^{N} f(x) dx ≤ ∑_{n=1}^{N−1} f(n), d.h. falls ∫_{1}^{∞} f(x) dx konvergiert, dann ist ∑_{n=1}^{N} f(n) beschränkt und wegen f ≥ 0 monoton wachsend, also konvergent. Ist andererseits ∑_{n=1}^{N} f(n) konvergent, so ist ∫_{1}^{N} f(x) dx beschränkt und monoton wachsend.

Beispiel. ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} konvergiert für s > 1 und divergiert, falls s < 1 ist.

5.6 Weitere Anwendungen der Integralrechnung

In Abschnitt 4.3 wurde eine n mal differenzierbare Funktionen f : I → ℝ als Summe eines Taylorpolynoms T_{n}f(x, a) = f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x − a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x − a)^{2} + … + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} , a ∈ I und eines Restgliedes R_{n+1}(x) = f(x) − T_{n}f(x, a) dargestellt. Für n+1 mal stetig differenzierbare Funktionen ergab sich die Lagrangesche Form des Restgliedes: R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x − a)^{n+1} mit ξ zwischen a und x. Nun soll eine weitere Restgliedform vorgestellt werden.

Satz 5.20 (Integralform des Restgliedes). Sei f : I → ℝ n+1 mal stetig differenzierbar auf I und a ∈ I. Dann gilt für alle x ∈ I:

R_{n+1}(x) = f(x) − T_{n}f(x, a) = \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt

Beweis. Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über n. Für n = 0 ist nach Satz 5.13 R_{1} = f(x) − f(a) = ∫_{a}^{x} f(t) dt. Die Behauptung sei wahr für n − 1, d.h. f(x) − T_{n−1}f(x, a) = \frac{1}{(n−1)!} ∫_{a}^{x} (x − t)^{n−1}f^{(n)}(t) dt. Durch partielle Integation ergibt sich daraus f(x) − T_{n−1}f(x, a) = −\frac{(x−t)^{n}}{n!} f^{(n)}(t)|_{a}^{x} + \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} + \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt ⇒ f(x) − T_{n}f(x, a) = \frac{1}{n!} ∫_{a}^{x} (x − t)^{n}f^{(n+1)}(t) dt

Die Ungleichungen für Normen aus 4.4 lassen sich auf Integralnormen erweitern. Im Folgenden wird dies am Beispiel der Hölderschen Ungleichung dargestellt.

Definition 5.12. Sei f : [a, b] → ℝ Riemann-integrierbar und p ≥ 1. Die p-Norm von f bezüglich [a, b] ist

||f||_{p} = (∫_{a}^{b} |f(x)|^{p} dx)^{\frac{1}{p}}

Die so definierte p-Norm erfüllt die Bedingungen von Definition 3.21.

Satz 5.21 (Höldersche Ungleichung). Sind f, g : [a, b] → ℝ integrierbar und p, q > 0 mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q}, so gilt

||fg||_{1} = ∫_{a}^{b} |f(x)g(x)| dx ≤ ||f||_{p} · ||g||_{q}

Beweis. Man betrachte eine äquidistante Zerlegung von [a, b] in Teilintervalle der Länge h_{n} = \frac{b−a}{n}, n ∈ ℕ und beliebige Stützstellen ξ_{i} ∈ [a + ih_{n}, a + (i + 1)h_{n}], i = 0, …, n − 1. Für die dazugehörigen Riemann-Summen wurde die Höldersche Ungleichung schon gezeigt (Satz 4.22).

∑_{k=1}^{n} |h_{n}f(ξ_{k})g(ξ_{k})| = ∑_{k=1}^{n} |(hn^{\frac{1}{p}} f(ξ_{k})) (hn^{\frac{1}{q}} g(ξ_{k}))|

≤ (∑_{k=1}^{n} |hn^{\frac{1}{p}} f(ξ_{k})|^{p})^{\frac{1}{p}} (∑_{k=1}^{n} |hn^{\frac{1}{q}} g(ξ_{k})|^{q})^{\frac{1}{q}}

= (∑_{k=1}^{n} h_{n} |f(ξ_{k})|^{p})^{\frac{1}{p}} (∑_{k=1}^{n} h_{n} |g(ξ_{k})|^{q})^{\frac{1}{q}}

Nach Satz 5.7 ist lim_{n→∞} (∑_{k=1}^{n} h_{n} |f(ξ_{k})|^{p}) = ∫_{a}^{b} |f(x)|^{p} dx und lim_{n→∞} (∑_{k=1}^{n} h_{n} |g(ξ_{k})|^{q}) = ∫_{a}^{b} |g(x)|^{q} dx. Damit folgt die Behauptung.

5.7 Integation und Grenzübergang

Satz 5.22. Sei I ein endliches Intervall und (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge stetiger Funktionen f_{n} : I → ℝ, die gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Weiterhin sei F_{n} eine Stammfunktion von f_{n} und für ein x_{0} ∈ I existiere lim_{n→∞} F_{n}(x_{0}). Dann konvergiert (F_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen eine Stammfunktion F von f. Interpretation: ∀ a, b ∈ I : lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x) dx = F |_{a}^{b} = ∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{a}^{b} lim_{n→∞} f_{n}(x) dx

Beweis. L möge die Länge des Intervalls I bezeichnen. Man setze F (x) := lim_{n→∞} F_{n}(x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x} f(t) dt. Dann ist F eine Stammfunktion von f und es bleibt noch F_{n} \overrightarrow{→} F zu zeigen.

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist |F_{n}(x) − F (x)| = |F_{n}(x_{0}) + ∫_{x_{0}}^{x} f_{n}(t) dt − F (x_{0}) − ∫_{x_{0}}^{x} f(t) dt| ≤ |F_{n}(x_{0}) − F (x_{0})| + | ∫_{x_{0}}^{x} (f_{n}(t) − f(t)) dt| ≤ |F_{n}(x_{0}) − F (x_{0})| + L||f_{n} − f||_{I} Da (f_{n})_{n} gleichmäßig gegen f konvergiert, existiert zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ : ||f_{n} − f||_{I} < \frac{ε}{2L} ∀ n ≥ N. Außerdem gibt es nach Voraussetzung ein N′ ∈ ℕ : |F_{n}(x_{0}) − F (x_{0})| < \frac{ε}{2} ∀ n ≥ N′. ⇒ ∀ n ≥ max (N, N′) : ∀ x ∈ I : |F_{n}(x) − F (x)| < ε.

Bemerkung. Die Konvergenz von (F_{n}) in einem Punkt x_{0} läßt sich immer erreichen: Ist G_{n} eine Stammfunktion von f_{n}, dann auch F_{n}(x) = G_{n}(x) − G_{n}(x_{0}) und für F_{n} gilt F_{n}(x_{0}) = 0 ∀ n, d.h. lim_{n→∞} F_{n} existiert. Bemerkung. Bei Reihen vertauschen Integration und Grenzwertbildung in analoger Weise. Eine mögliche Anwendung von Satz 5.22 ist die gliedweisen Integration gleichmäßig konvergenter Reihen. Beispiel. e^{x} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} . Im Beweis von Satz 3.20 wurde gezeigt, daß Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius gleichmäßig konvergieren. ⇒ ∫ e^{x} dx = ∑_{n=0}^{∞} ∫ \frac{x^{n}}{n!} dx = ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x} − 1

Satz 5.23. Ist (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge Riemann-integrierbarer Funktionen, welche gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, so ist die Folge (∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx)_{n} konvergent und lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} lim_{n→∞} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Beispiel. Für |t| < 1 betrachte man (1 − t^{2})^{− \frac{1}{2}} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{− \frac{1}{2}}{n}(−1)^{n}t^{2n}. Diese Reihe ist in jedem kompakten Teilintervall von [−1, 1] gleichmäßig konvergent. Für |x| < 1 gilt somit: ∫_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1−t^{2}}} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{− \frac{1}{2}}{n}(−1)^{n} ∫_{0}^{x} t^{2n} Mit \binom{− \frac{1}{2}}{n} = (−1)^{n} \frac{1·3·5...(2n−1)}{2^{n}n!} ergibt sich daraus eine Darstellung von arcsin x als Reihe: ∫_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{1−t^{2}}} = arcsin x = x + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1·3·5...(2n−1)}{2^{n}n!(2n+1)}x^{2n+1}

Bemerkung (Satz von Arzela-Osgood^{31}). Konvergiert (f_{n})_{n∈ℕ} punktweise gegen eine Funktion f, so ist (∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx)_{n} konvergent, wenn (||f_{n}||)_{n} beschränkt ist. In diesem Fall gilt lim_{n→∞} ∫_{a}^{b} f_{n}(x)dx = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

31Cesare Arzela (1847-1912), William Osgood (1864-1943)

6 Fourier-Reihen

Analytische Funktionen sind dadurch charakterisiert, daß sie sich mit Hilfe von Potenzreihen darstellen lassen. Eine weitere Möglichkeit der Darstellung von Funktionen als Reihe bieten die trigonometrischen Reihen.

6.1 Trigonometrische Polynome und Fourier-Reihen

Definition 6.1.

T (x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k}e^{ikx}

mit c_{k} ∈ ℂ und x ∈ ℝ heißt trigonometrisches Polynom vom Grad n.

Bemerkung. Summen und Produkte trigonometrischer Polynome sind wieder trigonometrische Polynome. Aus der Beziehung e^{ikx} = cos kx + i sin kx ergibt sich eine alternative Darstellung trigonometrischer Polynome:

T (x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} a_{k} cos kx + b_{k} sin kx

mit a_{0} = 2c_{0} , a_{k} = c_{k} + c_{−k} , b_{k} = i(c_{k} − c_{−k}) bzw. c_{k} = \frac{1}{2}(a_{k} − ib_{k}) , c_{−k} = \frac{1}{2}(a_{k} + ib_{k}). Es besteht die Orthogonalitätsrelation

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{iμx}e^{−iνx}dx = δ_{μν}

Damit ist c_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} T (x)e^{−ikx}dx und die Koeffizienten c_{k} sind für gegebenes T (x) eindeutig bestimmt. T (x) ist reell, wenn \overline{c_{k}} = c_{−k} ist, d.h. alle a_{k} und b_{k} reell sind.

Definition 6.2.

∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx}

mit c_{k} ∈ ℂ und x ∈ ℝ heißt trigonometrische Reihe. Sie konvergiert, wenn lim_{n→∞} ∑_{k=−n}^{n} c_{k}e^{ikx} existiert.

Hat die Funktion f eine Darstellung als trigonometrische Reihe ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx} und kann diese gliedweise integriert werden, was nach Satz 5.23 z.B. bei gleichmäßiger Konvergenz der Fall ist, so gilt

c_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx ,

denn wegen der Orthogonalitätsrelation ist ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx = ∑_{n=−∞}^{∞} ∫_{0}^{2π} c_{n}e^{in}e^{−ik} = 2πc_{k} Es folgt a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos kx dx und b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) sin kx dx. Bemerkung. Bei der Bestimmung der Koeffizienten kann über ein beliebiges Intervall der Länge 2π integriert werden, da die Integranden 2π-periodisch sind. Ist f eine gerade Funktion, so ist b_{k} = 0 ∀ k; für ungerade Funktionen sind alle a_{k} = 0. Somit sind die Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe eindeutig bestimmt, wenn diese punktweise konvergiert und gliedweise integriert werden darf.

Satz 6.1. Konvergiert ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n} absolut, dann ist die Funktion f(x) = ∑_{−∞}^{∞} c_{n}e^{inx} stetig und 2π-periodisch. Die Darstellung von f als ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inx} ist eindeutig.

Beweis. Für jedes nichtleere, abgeschlossene Intervall I ⊂ ℝ ist ||c_{n}e^{inx}||_{I} = |c_{n}|. Mit dem Weierstraßschen Konvergenzkriterium folgt, daß ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inx} gleichmäßig konvergiert. Wegen Satz 3.16 ist die Grenzfunktion f damit stetig. Überdies ist die Reihe gliedweise integrierbar, d.h. die Koeffizienten c_{n} sind nach obigen Betrachtungen eindeutig bestimmt. f ist 2π-periodisch, weil jedes e^{inx} dies ist.

Beispiel. Für s > 1 sind f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{s}} und g(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{s}} stetige Funktionen mit der Periode 2π. Es stellt sich nun nicht mehr allein die Frage, ob die Reihe ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx} konvergiert, sondern ob sie auch gegen die gegebene Funktion f konvergiert, wenn sich die Koeffizienten c_{k} aus c_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx ergeben, d.h. inwiefern f durch eine trigonometrische Reihe dargestellt werden kann.

Definition 6.3. Ist die Funktion f 2π-periodisch und es existiert ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx, so sind die Zahlen c_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx die Fourier-Koeffizienten^{32} von f.

Definition 6.4. Sind c_{k} die Fourier-Koeffizienten der 2π-periodischen Funktion f, dann heißt ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx} die zu f gehörige Fourier-Reihe.

Beispiel. Sei f : [0, 2π] → ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}−x + \frac{π}{2} & für x ≤ π \\ x − \frac{3}{2}π & für x > π \end{matrix}

und g(x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n} cos nx + i sin nx die zu f gehörige Fourier-Reihe. f ist gerade, daher sind die Koeffizienten b_{n} = 0. a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} (−x + \frac{π}{2} ) cos nx dx + \frac{1}{π} ∫_{π}^{2π} (x − \frac{3}{2}π) cos nx dx ⇒ a_{0} = 0 und für n ≥ 1 ergibt sich mittels partieller Integration a_{n} = \frac{2}{πn^{2}} (1 − (−1)^{n}), d.h. g(x) = \frac{4}{π} (cos x + \frac{cos 3x}{3^{2}} + \frac{cos 5x}{5^{2}} + …). g ist stetig, da ∑_{n=1}^{∞} \frac{1−(−1)^{n}}{n^{2}} absolut konvergiert. Beispiel. Man betrachte die an den Stellen (2k + 1) · π, k ∈ ℤ unstetige

32nach Joseph Fourier (1768-1830)

Funktion f(x) = \{ \begin{matrix}x − 2π⌊\frac{x}{2π} ⌋ − π & für x ≠ (2k + 1)π, k ∈ ℤ \\ 0 & für x = (2k + 1)π \end{matrix}

Diese Funktion ist ungerade, daher hat die zugehörige Fourier-Reihe die Form ∑_{n=1}^{∞} b_{n} sin nx. b_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} x sin nx dx = \frac{2(−1)^{n+1}}{n}; damit ist 2 (sin x − \frac{sin 2x}{2} + \frac{sin 3x}{3} − …) die Fourier-Reihe von f. Sie konvergiert punktweise gegen die gegebene Funktion. Beispiel. Sei f(x) = ln (2 cos (\frac{x}{2})). f ist gerade und die uneigentlichen Integrale a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} ln (2 cos (\frac{x}{2})) cos nx dx sind absolut konvergent: a_{n} = \frac{(−1)^{n+1}}{n}. Die zu f gehörige Fourier-Reihe ist somit cos x − \frac{cos2x}{2} + \frac{cos3x}{3} − . . .. Sie divergiert für x = (2k + 1)π k ∈ ℤ. Die Frage nach der Darstellbarkeit einer Funktion durch ihre Fourier-Reihe ist auch Gegenstand des folgenden Abschnitts.

6.2 Der Satz von Fejér

Definition 6.5. Eine Funktion f : [a, b] → ℝ heißt Regelfunktion, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen g_{n} ∈ T (a, b) gibt, die gleichmäßig gegen f konvergiert.

Bemerkung. f : [a, b] → ℝ ist genau dann eine Regelfunktion, wenn sie in a einen rechtsseitigen, in b einen linksseitigen und in jedem x ∈ (a, b) einen rechts- und linksseitigen Grenzwert hat.

Satz 6.2 (Satz von Fejér). ^{33} Sei f eine 2π-periodische Regelfunktion und für alle x_{0} gelte f(x_{0}) = \frac{1}{2} (lim_{x↗x_{0}} f(x) + lim_{x↘x_{0}} f(x)). Weiter seien c_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx , s_{m}(x) = ∑_{k=−m}^{m} c_{k}e^{ikx} und σ_{n}(x) = \frac{1}{n}(s_{0}(x) + s_{1}(x) + … + s_{n−1}(x)). Dann konvergiert σ_{n} punktweise gegen f und (||σ_{n}||)_{n∈ℕ} ist beschränkt.

Beweis. Zunächst soll eine Integraldarstellung für σ_{n}(x) hergeleitet werden. s_{m}(x) = ∑_{k=−m}^{m} (e^{ikx} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ikt}f(t) dt) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} (∑_{k=−m}^{m} e^{ik(x−t)}f(t)) dt Die Substitution x − t = y führt zu s_{m}(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} (∑_{k=−m}^{m} e^{iky}f(x + y)) dy Die Summe im Integranden läßt sich zusammenfassen: ∑_{k=−m}^{m} e^{iky} = ∑_{k=0}^{m} e^{iky} + ∑_{k=0}^{m} e^{ik(−y)} − 1 = \frac{1−e^{iy(m+1)}}{1−e^{iy}} + \frac{1−e^{−iy(m+1)}}{1−e^{−iy}} − 1 = \frac{(e^{imy}+e^{−imy})−(e^{i(m+1)y}+e^{−i(m+1)y})−(e^{iy}+e^{−iy})+2}{2−(e^{iy}+e^{−iy})} − 1 = \frac{cos my−cos (m+1)y}{1−cos y} Damit wird s_{m}(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{cos my−cos (m+1)y}{1−cos y} f(x + y) dy Der Integrand ist in 0 nicht definiert; das Integral jedoch konvergiert. Es folgt σ_{n}(x) = \frac{1}{2πn}∫_{−π}^{π} \frac{1−cos ny}{1−cos y} f(x + y) dy und mit cos 2α = 1 − 2sin^{2}α ist

33Lipót Fejér (1880-1959)

σ_{n}(x) = \frac{1}{2πn} ∫_{−π}^{π} (\begin{matrix}sin & \frac{ny}{2} \\ sin & \frac{y}{2} \end{matrix} )^{2} f(x + y) dy

Definition 6.6.

K_{n}(y) = \frac{1}{2πn} (\begin{matrix}sin & \frac{ny}{2} \\ sin & \frac{y}{2} \end{matrix} )^{2}

heißt n-ter Fejérscher Kern.

Die Fejérschen Kerne haben einige nützliche Eigenschaften:

• K_{n} ≥ 0

• K_{n}(y) = K_{n}(−y), d.h. die Kerne sind gerade Funktionen.

• ∫_{−π}^{π} K_{n}(y) dy = 1

• Für alle δ > 0 konvergiert (K_{n}|_{[−π,−δ]∪[δ,π]})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen 0.

Mit dieser Definition schreibt sich σ_{n}(x) als ∫_{−π}^{π} K_{n}(y)f(x − y) dy, d.h. σ_{n} ist das Faltungsprodukt von f und K̃_{n}(x) := \{ \begin{matrix}K_{n}(x) & für x ∈ [−π, π] \\ 0 & sonst \end{matrix} Mit der Voraussetzung f(x) = \frac{1}{2} (f(x_{+}) + f(x_{−})), wobei f(x_{+}) = lim_{x̃↘x} f(x) und f(x_{−}) = lim_{x̃↗x} f(x) ist, folgt f(x) = \frac{1}{2} ∫_{−π}^{π} K_{n}(y)(f(x_{+}) + f(x_{−})) dy Außerdem gilt wegen K_{n}(y) = K_{n}(−y): σ_{n}(x) = \frac{1}{2} ∫_{−π}^{π} K_{n}(y)(f(x + y) + f(x − y)) dy.

Hiernach ist σ_{n}(x) − f(x) = ∫_{−π}^{π} K_{n}g(y) dy mit g(y) = \frac{1}{2}(f(x + y) + f(x − y) − f(x_{+}) − f(x_{−})). Nun wird die punktweise Konvergenz von σ_{n} gezeigt. Die Funktion g ist stetig in 0 und verschwindet dort, daher existiert ∀ ε > 0 ein (von x abhängiges) δ > 0, sodaß ∀ y : |y| < δ ⇒ |g(y)| < ε. Zusammen mit K_{n} ≥ 0 liefert dies die Abschätzung |∫_{−δ}^{δ} K_{n}(y)g(y) dy| ≤ ∫_{−δ}^{δ} K_{n}(y)|g(y)| dy ≤ ε ∫_{−δ}^{δ} K_{n}(y) dy < ε ∫_{−π}^{π} K_{n}(y) dy = ε Für die beiden anderen Teile des Integrals für σ_{n} nutze man K_{n}(y) ≤ \frac{1}{2πn} · \frac{1}{sin^{2} \frac{y}{2}} , was direkt aus der Definition der Fejérschen Kerne folgt und |g(y)| ≤ 2||f||: | ∫_{−π}^{δ} K_{n}g(y) dy| ≤ \frac{1}{n} \frac{||f||}{sin^{2} \frac{δ}{2}} , | ∫_{δ}^{π} K_{n}g(y) dy| ≤ \frac{1}{n} \frac{||f||}{sin^{2} \frac{δ}{2}} . ⇒ |σ_{n}(x) − f(x)| ≤ ε + \frac{1}{n} · \frac{2||f||}{sin^{2} \frac{δ}{2}} Somit läßt sich für alle x und ε̃ > 0 ein N ∈ ℕ mit |σ_{n}(x) − f(x)| < ε̃ ∀ n ≥ N finden, d.h. (σ_{n}) konvergiert punktweise gegen f. Mithin ist (||σ_{n}||)_{n∈ℕ} beschränkt: ||σ_{n}|| = || ∫_{−π}^{π} K_{n}(y)f(x − y) dy|| ≤ ||f|| ∫_{−π}^{π} K_{n}(y) dy = ||f||

Bemerkung. Ist die Funktion f stetig und 2π-periodisch, so ist sie auch gleichmäßig stetig. Damit läßt sich δ in vorangegangenem Beweis unabhängig von x wählen, womit σ_{n} gleichmäßig gegen f konvergiert. Demzufolge kann jede stetige, periodische Funktion gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximiert werden.

6.3 Konvergenz in der Hilbert-Norm

Bemerkung. Die komplexwertigen Regelfunktionen der Periode 2π bilden einen Vektorraum über ℂ. Definition 6.7. Seien f, g : ℝ → ℂ Regelfunktionen. Dann heißt

⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{2π} f(x)\overline{g(x)} dx

Skalarprodukt von f und g. Bemerkung. Für ⟨·, ·⟩ gilt

• ⟨f, g⟩ = \overline{⟨g, f⟩}. Sind f und g reell, so ist ⟨f, g⟩ reell und ⟨f, g⟩ = ⟨g, f⟩ • ⟨·, ·⟩ ist linear in der ersten Kompoente, d.h.

⟨f_{1} + f_{2}, g⟩ = ⟨f_{1}, g⟩ + ⟨f_{2}, g⟩ und ⟨λf, g⟩ = λ⟨f, g⟩ mit λ ∈ ℂ und konjugiert linear in der zweiten Komponente, d.h. ⟨f, g_{1} + g_{2}⟩ = ⟨f, g_{1}⟩ + ⟨f, g_{2}⟩ und ⟨f, λg⟩ = \overline{λ}⟨f, g⟩ mit λ ∈ ℂ

• Für stetige f ist ⟨·, ·⟩ positiv definit, d.h. ⟨f, f⟩ ≥ 0 und ⟨f, f⟩ = 0 ⇔ f = 0

• ⟨f, g⟩\overline{⟨f, g⟩} ≤ ⟨f, f⟩⟨g, g⟩ (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

⟨·, ·⟩ induziert eine Norm auf dem Vektorraum der komplexwertigen 2π-periodischen Regelfunktionen.

Definition 6.8.

||f||_{2} := \sqrt{⟨f, g⟩} = \sqrt{∫_{0}^{2π} |f(x)|^{2} dx}

heißt Hilbert-Norm von f. f und g heißen orthogonal zueinander, wenn ⟨f, g⟩ = 0 ist.

Definition 6.9. Sei A eine beliebige Indexmenge. (f_{α})_{α∈A} heißt Orthonormalsystem, falls ⟨f_{α}, f_{β}⟩ = δ_{αβ} gilt.

Beispiel. (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{inx})_{n∈ℤ} ist ein Orthonormalsystem. Bemerkung. Jedem f sind bezüglich eines Orthonormalsystems (f_{α})_{α∈A} eindeutig Zahlen c_{α} = ⟨f, f_{α}⟩ zugeordnet. Sie heißen Fourier-Koeffizienten von f bzgl. (f_{α})_{α∈A}.

Satz 6.3. Sei (f_{α})_{α∈A} ein Orthonormalsystem und E eine endliche Teilmenge von A. Dann wird die Hilbert-Norm ||f − ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}||_{2} mit u_{α} ∈ ℂ minimal, wenn u_{α} die Fourier-Koeffizienten, also u_{α} = c_{α} = ⟨f, f_{α}⟩ sind.

Beweis. ||f − ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}||_{2}^{2} = ⟨f − ∑_{α∈E} u_{α}f_{α} , f − ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}⟩ = ⟨f, f⟩ − ∑_{α∈E} u_{α}⟨f_{α}, f⟩ − ∑_{α∈E} \overline{u_{α}}⟨f, f_{α}⟩ + ⟨∑_{α∈E} u_{α}f_{α} , ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}⟩ Die f_{α} bilden ein Orthonormalsystem; folglich ist ⟨∑_{α∈E} u_{α}f_{α} , ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}⟩ = ∑_{α∈E} u_{α}\overline{u_{α}}

⇒ ||f − ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}||_{2}^{2} = ||f||_{2}^{2} − ∑_{α∈E} |c_{α}|^{2} + ∑_{α∈E} |c_{α} − u_{α}|^{2} (∗)

Dieser Ausdruck wird minimal, wenn der letzte Term verschwindet.

Bemerkung. Aus (∗) ergibt sich die Ungleichung 0 ≤ ||f||_{2}^{2} − ∑_{α∈E} |c_{α}|^{2} = ||f − ∑_{α∈E} c_{α}f_{α}||_{2}^{2} ≤ ||f − ∑_{α∈E} u_{α}f_{α}||_{2}^{2} mit c_{α}, u_{α} wie oben. Es folgt weiter Satz 6.4 (Besselsche Ungleichung^{34}). Für jede Teilmenge B ⊂ A ist ∑_{α∈B} |c_{α}|^{2} konvergent und ∑_{α∈B} |c_{α}|^{2} ≤ ||f||_{2}^{2}.

Definition 6.10. Eine Funktionenfolge (g_{n})_{n∈ℕ} konvergiert in der Hilbert-Norm gegen f, wenn lim_{n→∞} ||f − g_{n}||_{2} = 0.

Es stellt sich nun die Frage, ob für ein gegebenes Orthonormalsystem (f_{α})_{α∈A} die Summe ∑_{α∈A} ⟨f, f_{α}⟩f_{α} gegen f konvergiert. Wegen ||f − ∑_{α∈E} c_{α}f_{α}||_{2}^{2} = ||f||_{2}^{2} − ∑_{α∈E} |c_{α}|^{2} aus (∗) ist dies äquivalent zu ||f||_{2}^{2} = ∑_{α∈A} |c_{α}|^{2}.

Definition 6.11. Ein Orthonormalsystem (f_{α})_{α∈A} heißt vollständig, falls für alle f gilt: ||f||_{2}^{2} = ∑_{α∈A} |⟨f, f_{α}⟩|^{2}.

Bemerkung. Ist (f_{α})_{α∈A} ein vollständiges Orthonormalsystem, so gilt für alle f, g die Parsevalsche Gleichung^{35}

⟨f, g⟩ = ∑_{α∈A} ⟨f, f_{α}⟩\overline{⟨g, f_{α}⟩}

Beispiel. (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{inx})_{n∈ℤ} ist ein vollständiges Orthonormalsystem. Dies soll als Satz formuliert werden:

Satz 6.5. Ist f eine Regelfunktion der Periode 2π, dann konvergiert die Fourier-Reihe von f in der Hilbert-Norm gegen f, d.h. ||f − ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx}||_{2} = 0 mit c_{k} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{0}^{2π} f(t)e^{−ikt} dt. Das Orthonormalsystem (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{inx})_{n∈ℤ} ist vollständig, d.h. ∫_{0}^{2π} |f(x)|^{2} dx = ∑_{k=−∞}^{∞} |c_{k}|^{2}

Beweis. Sei s_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k}e^{ikx} und σ_{n+1}(x) = \frac{1}{n+1}(s_{0}(x) + … + s_{n}(x)). Nach Satz 6.2 konvergiert (σ_{n})_{n} punktweise gegen f und (||σ_{n}||)_{n} ist beschränkt, woraus mit dem Satz von Arzela-Osgood lim_{n→∞} ||f − σ_{n+1}||_{2} = ∫_{−π}^{π} lim_{n→∞} |f(x) − σ_{n+1}(x)|^{2} dx = 0 folgt. Nach Satz 6.3 gilt außerdem 0 ≤ ||f − s_{n}||_{2}^{2} ≤ ||f − σ_{n+1}||_{2}^{2} ; somit ist auch lim_{n→∞} ||f − σ_{n}||_{2} = 0.

6.4 Ausblick: Punktweise Konvergenz

Satz 6.6. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen, s_{n} = a_{1} + a_{2} + … + a_{n} und σ_{n} = \frac{1}{n}(s_{1} + s_{2} + … + s_{n}).

34nach Wilhelm Bessel (1784-1846)

35nach Marc-Antoine Parseval (1755-1836)

Konvergiert σ_{n} gegen eine Zahl s und |a_{n}| ≤ \frac{s}{n} ∀ n, so konvergiert auch (s_{n})_{n∈ℕ} gegen s.

Mit dem Satz von Fejér folgt daraus

Satz 6.7. Ist f eine Regelfunktion der Periode 2π, c_{k} die Fourier-Koeffizienten von f und es existiert ein c ≥ 0, mit |c_{k}| ≤ \frac{c}{|k|} ∀ k ∈ ℤ\\{0\}, dann konvergiert die Fourier-Reihe ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{ikx} punktweise gegen f.

Dies ist z.B. der Fall, wenn f eine stetig differenzierbare Funktion ist, denn dann gilt für k ≠ 0: ∫_{−π}^{π} f(t)e^{−ikt} dt = f(t)\frac{i}{k} e^{−ikt}|_{−π}^{π} − \frac{i}{k} ∫_{−π}^{π} f′(t)e^{−ikt} dt = −\frac{i}{k} ∫_{−π}^{π} f′(t)e^{−ikt} dt, also |c_{k}| ≤ \frac{||f′||}{|k|} Auch 2π-periodische Treppenfunktionen erfüllen die Voraussetzung von Satz 6.7. Ist −π = x_{0} < x_{1} < … < x_{r} = π eine Zerlegung von [−π, π] und g ∈ T (−π, π) mit g|_{(x_{i−1},x_{i})} = γ_{i}, γ_{i} ∈ ℂ, i = 1, 2, … n, dann sind die Fourier- Koeffizienten von g c_{k} = \frac{1}{2π} ∑_{j=1}^{r} ∫_{x_{j−1}}^{x_{j}} γ_{j}e^{−ikt} dt = \frac{1}{2π} \frac{i}{k} ∑_{j=1}^{r} γ_{j}(e^{−ikx_{j}} − e^{−ikx_{j−1}}) ⇒ |c_{k}| ≤ \frac{1}{|k|} |\frac{i}{2π} ∑_{j=1}^{r} γ_{j}(e^{−ikx_{j}} − e^{−ikx_{j−1}})|

Satz 6.8. Jede stückweise stetig differenzierbare 2π-periodische Funktion wird durch ihre Fourier-Reihe dargestellt.