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Titel
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Mehrgitter-Homogenisierung für poröse Medien
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| Beteiligte Wissenschaftler
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Stephan Knapek,
Michael Griebel
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| Schlüsselworte
| Mehrgitter, Homogenisierung, Upscaling, Schurkomplement
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Beschreibung
| Physikalische Prozesse spielen sich oft auf unterschiedlichsten
Längenskalen ab. Ein wichtiges Beispiel ist die Modellierung
physikalischer Prozesse in stark inhomogenen Medien,
die zu der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen
mit sehr schnell variierenden Koeffizienten führt.
Ein einfaches, jedoch wichtiges Beispiel sind
skalare elliptische partielle Differentialgleichungen
zweiter Ordnung, wie sie z.B. bei der Simulation des
Fließens von "Ol in einem "Olreservoir benötigt werden,
siehe z.B. [Christie]. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel
für eine schnell variierenden Koeffizientenfunktion wie sie
in Erdölreservoirs vorkommt (Logarithmus skalarer Permeabilität).
Aufgrund der in den Modellen auftretenden
unterschiedlichen Längenskalen ist eine direkte numerische
Simulation solcher Probleme nur in Spezialfällen möglich.
Benötigt werden deswegen gemittelte bzw. homogenisierte Modelle,
bei denen das inhomogene, komplizierte Medium, (zumindest lokal)
durch ein äquivalentes homogenes ersetzt wird.
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In modernen Multilevel-Methoden
für Interface Probleme tritt ein analoges Problem auf.
Zur Beschleunigung der Konvergenz einfacher Iterationsverfahren werden
Unterräume konstruiert, in denen Korrekturen zu der
bereits erzielten approximativen Lösung berechnet werden.
Hierzu wurden in der Literatur Verfahren entwickelt, die die
Unterräume operatorabhängig und damit `physikalisch sinnvoll'
konstruieren.
Aufbauend auf dieser Beobachtung
wurde ein neues auf den
operatorabhängigen Unterraumkonstruktionen basierendes
(diskretes) Homogenisierungsverfahren für Diffusionsprobleme
entwickelt.
Hierbei werden durch diskrete Approximationen
Greenscher Funktionen rekursiv Unterräume konstruiert
und zugehörige Operatoren (Schurkomplementapproximationen)
berechnet. Aus diesen werden durch die Entwicklung in
eine lokale Basis von diskretisierten Differentialoperatoren
die Parameter für ein gemitteltes homogenes Medium extrahiert.
Dieses wurde auch auf allgemeinere Randbedingungen erweitert.
Die nächste Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen
Upscaling- und Homogenisierungsverfahren und Multilevel-Methoden.
Das Verfahren stellte sich in numerischen Experimenten als
zuverlässiger heraus als herkömmliche Methoden gleicher Komplexität.
Komplementär dazu wurde von Dendy, Hyman und Moulton ein
physikalisch motiviertes Verfahren zur Extraktion von
Parametern für periodische Probleme beschrieben.
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| Das Verfahren
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- Berechnung von Grobgitteroperatoren mittels der Galerkinapproximation
- Konstruktion der Approximationsräume über operatorabhängige Unterraumkonstruktionen,
genauer rekursiven Approximationen diskreter Greenscher Funktionen
(entspricht Schurkomplementapproximationen für die Grobgitteroperatoren)
- Extrahieren von effektiven Koeffizienten K aus den Grobgitteroperatoren mittels
Entwicklung in lokale Basis von diskretisierten Differentialoperatoren
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| Vorteile des Verfahrens
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- billig
- ``erkennt'' Anisotropien
- ist verläßlicher als herkömmliche Verfahren gleicher Komplexität
- für spezielle Modellprobleme ergibt sich das bekannte kontinuierliche
Homogenisierungsverfahren
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| Nachteile des Verfahrens
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- Bisher keine scharfen Fehlerabschätzungen vorhanden
- Für bestimmte Probleme (wie z.B. das Schachbrettproblem)
reduziert sich das Verfahren auf das arithmetische bzw. harmonische Mitteln
(abhängig von der gewählten Feingitter-Diskretisierung (FE/FV))
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| Literatur
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- M.A. Christie: Upscaling , J. Pet. Tech., (Nov. 1996), 1004-1010.
- J.E. Dendy, J.M. Hyman, J.D. Moulton: Black Box multigrid numerical homogenization algorithm , Los Alamos National Laboratory Report LAUR-96-3588,
Theoretical Division, Los Alamos Laboratory, 1994.
- M. Griebel, S. Knapek: A multigrid-homogenization method ,
Notes on Numerical Fluid Mechanics 59, Vieweg, 1997, 187-202.
- S. Knapek: Matrix-dependent multigrid--homogenization for diffusion problems , SIAM J. Sci. Comp., 1998, to appear.
- S. Knapek: Upscaling Techniques based on Subspace Correction and Coarse--Grid Approximations , In Situ 22(1), 1998.
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